李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

1、第一講第一講李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論目錄l 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念l 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義 及李雅普諾夫第一，第二方法及李雅普諾夫第一，第二方法l 拉塞爾不變集理論拉塞爾不變集理論l BarbalatBarbalat引理引理l 類李雅普諾夫引理類李雅普諾夫引理l 穩(wěn)定性分析方法概述穩(wěn)定性分析方法概述l 一致最終有界一致最終有界1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)的定義非線性系統(tǒng)的定義：含有非線性元件的系統(tǒng)，稱之為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的的分類：分類：l非本質(zhì)非線性能夠用小偏差線性化

2、方法進行線性化處理的非線性。l本質(zhì)非線性用小偏差線性化方法不能解決的非線性。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)外，很重要的一點是與系統(tǒng)起始偏離的大小密切相連。（2）不能籠統(tǒng)地泛指某個非線性系統(tǒng)穩(wěn)定與否，而必須明確是在什么條件、什么范圍下的穩(wěn)定性。1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)的運動形式非線性系統(tǒng)的運動形式（1）非線性系統(tǒng)在小偏離時單調(diào)變化，大偏離時很可能就出現(xiàn)振蕩。 （2）非線性系統(tǒng)的動態(tài)響應不服從疊加原理。1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)的自振非線性系統(tǒng)的自振

3、非線性系統(tǒng)的自振卻在一定范圍內(nèi)能夠長期存在，不會由于參數(shù)的一些變化而消失。 1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念幾種典型的非線性特性幾種典型的非線性特性1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)（死區(qū)）特性（死區(qū)）特性 表示輸入 表示輸出 表示不靈敏區(qū)， 也常稱死區(qū)。1x2x1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念l 當系統(tǒng)前向通道中串有死區(qū)特性的元件時，最主要的影響是增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。l 減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，減弱動態(tài)響應的振蕩傾向。不靈敏區(qū)（死區(qū)）特性的影響不靈敏區(qū)（死區(qū)）

4、特性的影響1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念飽和特性飽和特性 ，等效增益為常值，即線性段斜率；而 ，輸出飽和，等效增益隨輸入信號的加大逐漸減小。 ax 1ax 11.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念l飽和特性使系統(tǒng)開環(huán)增益下降， 對動態(tài)響應的平穩(wěn)性有利。l如果飽和點過低，則在提高系統(tǒng)平穩(wěn)性的同時，將使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度有所下降。l帶飽和的控制系統(tǒng)，一般在大起始偏離下總是具有收斂的性質(zhì)，系統(tǒng)最終可能穩(wěn)定，最壞的情況就是自振，而不會造成愈偏愈大的不穩(wěn)定狀態(tài)。 1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念飽和特性的影響飽和特性

5、的影響回環(huán)回環(huán)（間隙）特性（間隙）特性 表示輸入 表示輸出b 表示間隙。1x2x1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念l 降低了定位精度，增大了系統(tǒng)的靜差。l 使系統(tǒng)動態(tài)響應的振蕩加劇，穩(wěn)定性變壞?；丨h(huán)（間隙）特性的影響回環(huán)（間隙）特性的影響1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念繼電器特性繼電器特性(a)理想繼電特性 (b)死區(qū)繼電特性 (c)一般的繼電特性1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念l理想繼電控制系統(tǒng)最終多半處于自振工作狀態(tài)。l可利用繼電控制實現(xiàn)快速跟蹤。l帶死區(qū)的繼電特性，將會增加系統(tǒng)的定位誤差，對其他動態(tài)性能的影

6、響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果。1.1 1.1 非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念繼電器特性的影響繼電器特性的影響線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架穩(wěn)定性分析的理論框架 第一方法第二方法穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析1892年俄國數(shù)學家李雅普諾夫SISO的代數(shù)分析方法解析方法Routh判據(jù)Houwitz判據(jù)根據(jù)SISO閉環(huán)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)狀態(tài)方程A陣判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法 關(guān)于李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念關(guān)于李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念 李雅普諾夫第二方法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)及時變系統(tǒng)穩(wěn)定性

7、的分析的方法。李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)初始條件外界信號的類型和大小非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)狀態(tài)軌跡：狀態(tài)軌跡：設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為 , xf x t(1-1) 設(shè)(1-1)在給定初始條件 00()t x下,有唯一解： 00( , )xt x t(1-2) 式中：xn維狀態(tài)矢量；f與x同維的矢量函數(shù)；是 和時間t的函數(shù)；一般f 為時變的非線性函數(shù)，如果不含t，則為

8、定常的非線性函數(shù).。ix式(1-2)描述了系統(tǒng)(1-1)在n維狀態(tài)空間中從初始條件 出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，簡稱為系統(tǒng)的運動和狀態(tài)軌線。00()t x1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：若系統(tǒng)(1-1)存在狀態(tài)矢量 ex使得：，對所有t，(, )0efxt(1-3) 成立，則稱 ex為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 說明說明 1）對于任一個系統(tǒng),不一定都存在平衡狀態(tài).2) 如果一個系統(tǒng)存在平衡狀態(tài),其平衡狀態(tài)也不一定是唯一的.3) 當平衡態(tài)的任意小鄰域內(nèi)存在系統(tǒng)的別的平衡態(tài)時，稱此平衡態(tài)為孤 立的平衡態(tài)。 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅

9、普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法5) 由于任意一個已知的平衡狀態(tài),都可以通過坐標變換將其變換到坐標原點 處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標原點處的穩(wěn)定性就可以了。0ex 6) 穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。(這一點從線性定常系統(tǒng)中的描述中可以得到理解)7) 如果一個系統(tǒng)有多個平衡點多個平衡點。由于每個平衡點處系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能是不同的。對有多個平衡點的系統(tǒng)來說，要討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性必須逐個對各平衡點的穩(wěn)定性都要逐個逐個討論討論。4) 對于線性定常系統(tǒng) ，當A為非奇異矩陣時， 的解 是系統(tǒng)唯一存在的平衡狀態(tài)，當A為非奇異時，則 會有無窮多個。0eAx 0ex ex , xf x tAx&am

10、p;1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法：狀態(tài)向量x與平衡狀態(tài) xe 的距離。exxexx為歐幾里德范數(shù)。當很小時，則稱s()為xe的鄰域。點集s()：以xe為中心，為半徑的超球體。若xs() ：如系統(tǒng)的解00( ;,)xtxt位于球域s()內(nèi)，則： 000( ;,),etxtxtt表明系統(tǒng)由初態(tài)x0或短暫擾動所引起的自由響應是有界的。 exx 與穩(wěn)定性相關(guān)的與穩(wěn)定性相關(guān)的幾個定義幾個定義1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法則，其中李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定

11、性定義為四種四種情況：情況：李雅普諾夫意義李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定。穩(wěn)定、不穩(wěn)定。 李雅普諾李雅普諾夫意義下夫意義下的穩(wěn)定的穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定大范圍漸大范圍漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法如果系統(tǒng)對于任意選定的實數(shù)0，都存在另一實數(shù)(，t0)0，使當： 00(,)exxt時，從任意初態(tài)x0出發(fā)的解都滿足： 000( ;,),et xtxtt 則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。李雅普諾夫李雅普諾夫意義下穩(wěn)定意義下穩(wěn)定 其中實數(shù)與有關(guān)，一般情況下也與t0有關(guān)。如果與

12、t0無關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法若對應于每一個s()，都存在一個s()，使當t無限增長使，從s()出發(fā)的狀態(tài)軌線(系統(tǒng)的響應)總不離開s()，即系統(tǒng)響應的幅值是有界的，則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定。 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當t無限增長時，軌線不僅不超出s()，而且最終收斂于xe，則稱這種平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定。漸漸近穩(wěn)定近穩(wěn)定從工程意義上說，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定更重要。但漸近穩(wěn)定是一個局部概念，通常只確定某平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性

13、并不意味著整個系統(tǒng)就能正常運行。 因此，如何確定漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域，并且盡可能擴大其范圍是尤其重要的。1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，稱這種平衡狀態(tài)xe大范圍漸近穩(wěn)定。大大范圍漸近穩(wěn)定范圍漸近穩(wěn)定顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)來說，由于滿足疊加原理，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則必然是大范圍漸近穩(wěn)定的。對于非線性系統(tǒng)，使xe為漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)的球域s()一般是不大的，常稱這種平衡狀態(tài)為小范圍漸近穩(wěn)定。 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定

14、性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法如果對于某個實數(shù)0和任一實數(shù)0，不管這個實數(shù)多么小，由s()內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過s()，則稱這種平衡狀態(tài)xe不穩(wěn)定。不穩(wěn)定不穩(wěn)定1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法球域s()限制著初始狀態(tài)x0的取值，球域s()規(guī)定了系統(tǒng)自由 響應 的邊界。00( )( ;,)x ttxt0)(limttx則稱 xe 漸近穩(wěn)定如果x(t)為有界，則稱xe穩(wěn)定。如果x(t)不僅有界而且有：如果x(t)為無界，則稱xe不穩(wěn)定。在經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱做穩(wěn)定系統(tǒng)。只在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)則稱臨界

15、穩(wěn)定系統(tǒng)，這在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。 漸近穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定Lyapunov意義下穩(wěn)定 (Re(s)0)經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法李雅普諾夫李雅普諾夫第一法第一法xAxbu0ex 以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng) （A，b，c）李雅普諾夫第一法簡稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似

16、得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ycx（1-4）平衡狀態(tài) 漸進穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部。1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法 如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng) （A，b，c）輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)（1-5） 1W sc sIAb的極點全部位于s的左半平面。例例 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為101011xxu 10yx試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。解 （1）由A陣的特征方程110IA可得特征值 。故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進穩(wěn)定的。121;1 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定

17、性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法 （2）由系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 111011110011(1)(1)1ssW sc sIABssss 可見傳遞函數(shù)的極點s1位于s的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。這是因為具有正實部的特征值 +1被系統(tǒng)的零點s+1對消了，所以在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒被表現(xiàn)出來。由此可見，只有當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W（s）不出現(xiàn)零、極點對消現(xiàn)象，并且矩陣A的特征值與系統(tǒng)傳遞函數(shù)W（s）的極點相同，此時系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性相一致。21.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法李雅普諾夫李雅普諾夫第二法第二法李氏第二法（直接法）：通過構(gòu)造李氏函數(shù)，從能量的角度

18、直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。逐漸衰減至最小值漸近穩(wěn)定儲能不變李氏穩(wěn)定儲能越來越大不穩(wěn)定系統(tǒng)被激勵儲能隨時間思路：對于一個給定的系統(tǒng)，如果能夠找到一個正定的標量函數(shù)V(x)（廣義能量函數(shù)）,顯然可以根據(jù)該函數(shù)的導數(shù) 來確定能量隨著時間的推移是減小的，還是增加的，或者是保持不變的。( )V x1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法（3） ，則稱 是負定負定的。預備預備知識知識設(shè) 是向量 x 的標量函數(shù)，且在 x=0 處，恒有 對所有在定義域中的任何非零向量 x，如果成立： V x(0)0V ，( )0V x ( )V x（1） ，則稱 是正定正定的。( )V x 0( )V

19、x（2） ，則稱 是半正定半正定( (非負定非負定) )的。( )0V x ( )V x（4） ，則稱 是半負定半負定( (非正定非正定) )的。( )0V x ( )V x（5） ，或 則稱 是不定不定的。( )0V x ( )V x( )0V x 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法設(shè) 為n個變量，則其二次型標量函數(shù)可寫為：二次型二次型標量函數(shù)標量函數(shù)12nx ,x,x11121121222121( )nTnnnnnpppxppxV xx Pxxxxppx12221122312323110( )2110001xV xxx xxxxxxxx其中，P為實對稱矩陣

20、。例如：1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識4/11/2022二次型函數(shù)，若P為實對稱陣，則必存在正交矩陣T，通過變換 ，使之化為：xTx1221( )()0 0TTTTTTnTiiinV xx Pxx T PTxxT PT xx Pxxxx此稱為二次型函數(shù)的標準型， 為P的特征值，則 正定的充要條件正定的充要條件是P的特征值 均大于0。ii( )V x1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識矩陣P的符號性質(zhì)定義如下：設(shè) P 為nn實對稱陣， 為由 P 決定的二次型函數(shù)，則（1） 正定，則 P 正定矩陣

21、，記為 P0;（2） 負定，則 P 負定矩陣，記為 P0;（3） 半正定，則 P 半正定矩陣，記為 P0;（4） 半負定，則 P 半負定矩陣，記為 P0;( )TV xx Px( )V x( )V x( )V x( )V x1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識希爾維斯特希爾維斯特判據(jù)判據(jù)設(shè)實對稱陣 為其各階順序主子式，即矩陣P或V(x)定號性的充要條件是：1112121221,nijjinnnpppppPppppi111211122122,npppPpp 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識(2)若

22、 ，則 P 負定；(1)若 ，則 P 正定；(3)若 ，則 P 半正定；(4)若 ，則 P 半負定；0 (1,2, )iin 0(0(iii為偶數(shù))為奇數(shù))0(0(iii=1,2, ,n-1)=n)0(0(iiii為偶數(shù))0 為奇數(shù))=n)1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識 解：二次型 可以寫為1T123231012( )141211xV xx Pxxxxxx010 04111010121414022 16 1 100211 0)(xV( )V x,2221231 2231 3( )104224V xxxxx xx xx x 例 證明如下二次型

23、函數(shù)是正定的。可見此二次型函數(shù)是正定的，即1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法預備預備知識知識 定理定理1 1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果平衡狀態(tài) 即 。如果存在標量函數(shù)V(x)滿足： 1） 對所有x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。 2） 是正定的；3）若 是半負定的。則平衡狀態(tài) 為在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。幾幾個穩(wěn)定性判據(jù)個穩(wěn)定性判據(jù)( )V x0,ex ()0ef x( )V xex( )xf x&( )V x&1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法 定理定理2 2 ： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài) 即， 如果存在標量函數(shù)V

24、(x)滿足： 1） 對所有x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。 2） 是正定的；3）若 是負定的；或者 為半負定，對任意初始狀態(tài) ，除去x=0外，有 不恒為0。則平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的。進一步當 ，有 ，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。x ( )V x ( )V x0,ex ()0ef x( )V xex0( )0 x t( )V x&( )V x&( )V x&( )xf x&1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法幾幾個穩(wěn)定性判據(jù)個穩(wěn)定性判據(jù)定理定理3 3：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài) 即 如果存在標量函數(shù)V(x)滿足： 1） 對所有

25、x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。 2） 是正定的；3）若 是正定的。則平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。( )V x0,ex ()0ef x( )V xex( )xf x&( )V x&1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法幾幾個穩(wěn)定性判據(jù)個穩(wěn)定性判據(jù)（1） ，則此時 ，系統(tǒng)軌跡將在某個曲面上，而不能收斂于原點，因此不是漸近穩(wěn)定。（2） 不恒等于0，說明軌跡在某個時刻與曲面 相交，但仍會收斂于原點，所以是漸近穩(wěn) 定。（3 3）穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件而非必要條件?。┓€(wěn)定判據(jù)只是充分條件而非必要條件！( )0V x &( )V xC( )V xCC)x(V 2x1xe

26、x0 xC)x(V 2x1xex0 x( )V x&1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法說明：說明： 解: 顯然，原點 是系統(tǒng)平衡點， 取 則 又因為當 時，有 ，所以系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。e0 x 2212( )0V xxxx ( )V x 222211 1221211221212222222121122121222212( )2 x2x2 ()2()22()22()2()V xxxx xx xxxxx xxx xxxxx xxxxxx &例 已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。22121122221212x()x()xx x

27、xxx xx &0令令1x0&2x0&1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法例 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：其為線性系統(tǒng)，故 是其唯一平衡點。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開得到： 取標量函數(shù)(李雅譜諾夫函數(shù))：0111xx&0ex 12212xxxxx &2212( )0V xxx21 1222( )( )2220dV xV xx xx xxdt &且當 時， 。x ( )V x 其為半負定，不恒為0，漸近穩(wěn)定。所以系統(tǒng)在其原點處大范圍漸近穩(wěn)定。1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法

28、及判別方法另選一個李雅普諾夫函數(shù)：22212121( )()22V xxxxx2212121 12212( )()()2()V xxxxxx xx xxx &當 時， ，所以系統(tǒng)在其原點處大范圍漸近穩(wěn)定。x ( )V x 1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法（1） V(x)是正定的標量函數(shù)，V(x)具有一階連續(xù)偏導數(shù)；（2）并不是對所有的系統(tǒng)都能找到V(x)來證明該系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的；（4）V(x)最簡單的形式是二次型 ；（5）V(x)只是提供平衡點附近的運動情況，絲毫不能反映域外運動

29、的任何信息；（6）構(gòu)造V(x) 需要一定的技巧。( )TV xx Px1.2 1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法及判別方法 對李雅譜諾夫函數(shù)的討論對李雅譜諾夫函數(shù)的討論有時，李雅普洛夫函數(shù)的導數(shù)僅僅是負半定的，通過其它的方法我們?nèi)杂锌赡芘袛嘞到y(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。拉薩爾不變性定理 就是一種可供選擇的方法，它延伸了李亞普諾夫函數(shù)的概念。與李雅普洛夫定理不同，拉塞爾引理不要求V(x)正定。1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 例 考慮系統(tǒng) 212213xxxxx0 x在平衡點 的穩(wěn)定性。選取李氏函數(shù)為:)(21)(2221xxxV0322xV0 x由于 （ ），故原點是穩(wěn)定的

30、.如果選取李氏函數(shù)為:22212122121252149)(xxxxxxxxV 0)5(2221xxV則有 ，從而得到系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 定義定義 考慮自治非線性系統(tǒng)。狀態(tài)的集合M 稱為該系統(tǒng)的不變集，系指對于任意初始狀態(tài) ，有 ， 成立。 Mx)0(Mtx)(0t對于自治非線性系統(tǒng)和標量函數(shù)V(x)，在狀態(tài)空間中定義如下集合： )(|lxVxlllxxVxS,0)(|1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 定理定理1 (1 (拉薩爾不變性原理拉薩爾不變性原理) )l(1)存在適當?shù)恼龜?shù)l，使得 是有界的； (2)0)(xVlxlx)0

31、(t)(tx則對于任意初始狀態(tài) ，當 時，狀態(tài)軌跡 將趨于S內(nèi)的最大不變集M。其中最大不變集是指S內(nèi)所有不變集的并集。對于給定的自治系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的標量函數(shù)V(x)，滿足： 1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 對于自治非線性系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的標量函數(shù)V(x)，滿足：;, 0)()2(xxV)(xV| x(1) V(x)是徑向無界的，即當 時，有:則對于任意初始狀態(tài) ，當 時，狀態(tài)軌跡 將趨于S內(nèi)的最大不變集M。)0(xt)(tx定理定理2 2（拉薩爾全局不變性原理）（拉薩爾全局不變性原理）1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 定理定理3 3（拉薩爾漸近穩(wěn)定性

32、定理）（拉薩爾漸近穩(wěn)定性定理）設(shè) ， 及 為定理1中定義的集合。如果集合S 除 外不包含其它解，則平衡點 是局部漸近穩(wěn)定的。 RRVn:lS0 x0 x定理定理4 4 （拉薩爾全局漸近穩(wěn)定性定理）（拉薩爾全局漸近穩(wěn)定性定理）設(shè)V 滿足定理2的條件。如果集合S 除 外不包含其它解，則平衡點 是全局漸近穩(wěn)定的。 0 x0 x1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 例例 考慮系統(tǒng) 212213xxxxx0 x在平衡點 的穩(wěn)定性。對于)(21)(2221xxxV有223xV可以求得： 0| ),(0| ),(22121xxxVxxS0 x)0 , 0(然而，易知在S內(nèi)只有 是系統(tǒng)的解。因此，

33、根據(jù)定理4可知， 是全局漸近穩(wěn)定的。1.3 1.3 拉薩拉薩爾不變性定理爾不變性定理 當李雅普洛夫函數(shù)的導數(shù)為負半定時，拉薩爾不變性理論為判斷自治系統(tǒng) 的漸近穩(wěn)定性提供了一種可能的方法。而對于非自治系統(tǒng)（如模型參考自適應控制系統(tǒng)），則不適用。Barbalat引理為非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了一種重要的工具。1.4 1.4 BarbalatBarbalat引理引理 給定一個關(guān)于 t 的可微函數(shù)，有下面三個重要結(jié)論：函數(shù)函數(shù)及其導數(shù)的漸近性質(zhì)及其導數(shù)的漸近性質(zhì)1、 收斂0ff幾何上，導數(shù)趨于零意味著切線越來越平，但這并不意味著該函數(shù)收斂。如： 或( )sin(In )f tt( )sin(In )f ttt2、f 收斂0f當 t 時，f 存在極限并不意味著導數(shù)趨于零。如：22( )sin ()ttf tee3、如果 f 有下界且非增，則存在極限。1.4