熱力學與統計物理試題及答案

1、熱力學與統計物理一 填空題（共40分）1N個全同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自由度為r，系統的自由度為（ Nr ）。系統的狀態(tài)可以用（ 2Nr ）維空間中的一個代表點表示。2 對于處于平衡態(tài)的孤立系統，如果系統所有可能的微觀狀態(tài)數為，則每一微觀狀態(tài)出現的概率為（ 1/ ），系統的熵為（ kln ）。3玻色統計與費米統計的區(qū)別在于系統中的粒子是否遵從（泡利不相容原理 ）原理，其中（費米）系統的分布必須滿足0 fs 1。4玻色系統和費米系統在滿足（ 經典極限條件(或e - <<1) 或e >>1）條件時，可以使用玻爾茲曼統計。5給出內能變化的兩個原因，其中（

2、）項描述傳熱，（ ）項描述做功。6對粒子數守恒的玻色系統，溫度下降會使粒子的化學勢（ 升高 ）；如果溫度足夠低，則會發(fā)生（ 玻色愛因斯坦凝聚 ）。這時系統的能量U0（0），壓強p0（0），熵S0（0）。7已知粒子遵從經典玻爾茲曼分布，其能量表達式為，粒子的平均能量為（2kTb2/4a ）。8當溫度（ 很低 ）或粒子數密度（ 很大 ）時，玻色系統與費米系統的量子關聯效應會很強。9如果系統的分布函數為s，系統在量子態(tài)s的能量為Es，用s和Es表示：系統的平均能量為（ ），能量漲落為（ ）（如寫成也得分）。10與宏觀平衡態(tài)對應的是穩(wěn)定系綜，穩(wěn)定系綜的分布函數s具有特點（ ds / dt=0 或與時間

3、無關等同樣的意思也得分 ），同時s也滿足歸一化條件。二計算證明題（每題10分，共60分）1假定某種類型分子（設粒子可以分辨）的許可能及為0，2， 3，。， 而且都是非簡并的，如果系統含有6個分子，問：（1）與總能量3相聯系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的條件是什么？（2）根據公式計算每種分布的微觀態(tài)數；（3）確定各種分布的概率。解：能級： 1， 2， 3， 4， 能量值： 0， ， 2，3， 簡并度： 1， 1， 1， 1， 分布數： a1, a2, a3, a4, 分布要滿足的條件為： 滿足上述條件的分布有：A： B： C： 各分布對應的微觀態(tài)數為：所有分布總的微觀態(tài)數為：各分布對應的概

4、率為：2表面活性物質的分子在液面（面積為A）上做二維自由運動，可以看作二維理想氣體，設粒子的質量為m，總粒子數為N。（1）求單粒子的配分函數Z1；（2）在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在x到xdx， y到ydy內，動量在px到pxdpx， py到pydpy內的分子數dN；（3）寫出分子按速度的分布；（4）寫出分子按速率的分布。解：（1）單粒子的配分函數 （2） （3）將（1）代入（2），并對dxdy積分，得分子按速度的分布為 （4）有（3）可得分子按速率的分布為：3定域系含有N個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級10，20，其中0大于零且為外參量y的函數。求：（1）溫度為T時處于激發(fā)態(tài)的

5、粒子數與處于基態(tài)的粒子數之比，并說明在極端高溫和極端低溫時粒子數比的特點；（2）系統的內能和熱容量；（3）極端高溫和極端低溫時系統的熵。解：（1）單粒子的配分函數為： 處于基態(tài)的粒子數為：處于激發(fā)態(tài)的粒子數為：溫度為T時處于激發(fā)態(tài)的粒子數與處于基態(tài)的粒子數之為：極端高溫時：0kT，, 即處于激發(fā)態(tài)的粒子數與處于基態(tài)的粒子數基本相同；極端低溫時：0kT，, 即粒子幾乎全部處于基態(tài)。（2）系統的內能： 熱容量：（3）極端高溫時系統的熵： 極端低溫時系統的熵：S=04對弱簡并的非相對論費米氣體，求：（1）粒子數分布的零級近似f0 與一級修正項f1；（2）證明：與零級近似相比，粒子數的相對修正量和內能

6、的相對修正量均正比于。解：費米氣體分布函數為：（1） ，（2） 5金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數密度n，（1）簡述：T0K時電子氣體分布的特點，并說明此時化學勢0的意義；（2）證明：T0K時電子的平均能量，簡并壓強；f10T=0K0（3）近似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。（1）0表示T0K時電子的最能量。電子從0的能級開始，先占據低能級，然后占據高能級，遵從泡利不相容原理。f = 1 ( < 0); f = 0 ( > 0)(2)(3)T>0K時: T>0K時，只有在附近kT量級范圍內的電子可躍遷到高能級，對CV有貢獻，設這部分電子的數目為Neff， 則。每一電子對CV的貢獻為3kT/2, 則金屬中自由電子對Cv的貢獻為晶格的熱容量為Cv3Nk，6固體的熱運動可以視為3N個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡正頻率i，內能的表達式為：，式中的求和遍及所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。（1）寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡單說明；（2）用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；（3）用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3。解：（1）愛因斯坦模型： N個分子