問渠那得清如許,為有源頭活水來-高中數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題的挖掘與應(yīng)用探究

1、問渠哪得清如許,為有源頭活水來高中數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題的挖掘與應(yīng)用探究摘要：通過課堂教學(xué)學(xué)生只是理解了所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并在獲取知識(shí)過程中鍛煉了思維，發(fā)展了能力，但要對(duì)知識(shí)的掌握、智力開發(fā)、能力培養(yǎng)、解題策略形成等，還必須通過一定量的練習(xí)。教材中的例題和習(xí)題具有十分重要的作用和功能，對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行挖掘應(yīng)用，加強(qiáng)訓(xùn)練是教學(xué)過程中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。本文主要探討開發(fā)課本例題、習(xí)題資源的一些思考。關(guān)鍵詞： 高效課堂 例題習(xí)題 開發(fā)利用正文：數(shù)學(xué)課本中的例題和習(xí)題是數(shù)學(xué)課程資源的重要組成部分，具有很強(qiáng)的示范性，蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想和解題方法。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，普遍存在課堂練習(xí)效率不理想的狀況，學(xué)

2、生完成練習(xí)的效率不高，甚至有學(xué)生態(tài)度不認(rèn)真，應(yīng)付了事，導(dǎo)致出現(xiàn)學(xué)生練習(xí)量大而不精。筆者認(rèn)為新課程理念下的課堂練習(xí)應(yīng)是有效的、應(yīng)該是有利于學(xué)生發(fā)展的，那么應(yīng)該如何挖掘例題習(xí)題的潛在功能，激發(fā)學(xué)生的思維、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展呢？ 一、教材中例題習(xí)題的功能1教育功能 數(shù)學(xué)例題具有應(yīng)用的廣泛性，結(jié)合課堂練習(xí)可以向?qū)W生進(jìn)行學(xué)習(xí)目的的教育；數(shù)學(xué)例題具有嚴(yán)密的邏輯性，通過課堂練習(xí)進(jìn)一步揭示知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，可以向?qū)W生進(jìn)行邏輯思維的訓(xùn)練；數(shù)學(xué)例題具有高度的抽象性，通過課堂練習(xí)可以幫助學(xué)生掌握由具體到抽象，再由抽象到具體，即由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律。同時(shí)學(xué)生對(duì)課堂練習(xí)的態(tài)度、解題的策略、練習(xí)的

3、效率等方面，通過自我評(píng)價(jià)和同學(xué)互評(píng)，也會(huì)受到教育與啟迪。 2鞏固功能 新課過程中結(jié)合有關(guān)內(nèi)容作單項(xiàng)的、局部的反饋性練習(xí)，新課結(jié)束時(shí)進(jìn)行鞏固性的變式練習(xí)，還有提高性的綜合練習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足學(xué)生的求知欲。新課后通過練習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、法則、公式、定律、性質(zhì)進(jìn)一步理解、鞏固、掌握，以及各種知識(shí)技能的形成。3反饋功能 習(xí)題的教學(xué)可以及時(shí)反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握、形成技能等各種信息，一節(jié)課通常要安排多次反饋性練習(xí)，如課前的預(yù)備性練習(xí)、新課中的反饋練習(xí)、鞏固練習(xí)以及課后練習(xí)等，以便得到強(qiáng)化，及時(shí)調(diào)控教學(xué)進(jìn)程。教師要及時(shí)把握各種練習(xí)的情況，學(xué)生完成練習(xí)后，他們最關(guān)心的是練習(xí)的結(jié)果是否正確

4、，但這種關(guān)心會(huì)隨時(shí)間的推移而逐漸淡漠。教師要及時(shí)點(diǎn)評(píng)，給予肯定。如果是錯(cuò)誤的，則要讓學(xué)生明白錯(cuò)誤原因。 二、課堂教學(xué)中例題、習(xí)題教學(xué)現(xiàn)狀分析1教學(xué)中，教師角色轉(zhuǎn)變不到位數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)方式開始逐步多樣化，樂于探究、主動(dòng)參與勤于動(dòng)手成為教學(xué)過程中教師的共識(shí)。課堂的組織形式也在一定程度上發(fā)生了變化，盡可能多地組織學(xué)生運(yùn)用合作、小組合作等方式，在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力的同時(shí)，調(diào)動(dòng)每一個(gè)學(xué)生的參與意識(shí)和學(xué)習(xí)積極性。教師充當(dāng)?shù)慕巧墙M織者、合作者、引導(dǎo)者。教師的角色轉(zhuǎn)變不到位，就會(huì)出現(xiàn)“一言堂”、“滿堂灌”的教學(xué)方式，忽略學(xué)生的主體地位，只要求把例題講完，布置好習(xí)題就算完成教學(xué)任務(wù)。2

5、教師對(duì)課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”意識(shí)不強(qiáng)課本的例題、習(xí)題是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生之友學(xué)好課本,才能掌握雙基,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思想,增強(qiáng)分析和解決問題的能力。在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，有的教師對(duì)教材照搬照抄，很少對(duì)對(duì)教材上的例題、習(xí)題“二次開發(fā)”。 數(shù)學(xué)教師如果能夠?qū)滩倪M(jìn)行二次開發(fā),對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行變式創(chuàng)新、知識(shí)遷移、提煉和總結(jié),不僅學(xué)生會(huì)開闊眼界、拓展思維,教師也會(huì)有所收獲。新課程倡導(dǎo)教師創(chuàng)造性地和個(gè)性化地運(yùn)用教材，這意味著教師不再是課本的“轉(zhuǎn)播者”，而是積極的“開發(fā)者”。教師對(duì)教材重要組成部分的例題與習(xí)題的“二次開發(fā)”，就能不斷豐富著自己的課程知識(shí)，創(chuàng)造著新的課程經(jīng)驗(yàn)，成為自己專業(yè)生活的主人，同時(shí)才能

6、真正體現(xiàn)新課標(biāo)的要求。三、用“好”、用“活”課本例題、習(xí)題明確有效課堂練習(xí)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是用“好”、用“活”課本例題習(xí)題。課本的例習(xí)題是教材編寫者精選的，有豐富的內(nèi)涵和廣闊的外延，即其對(duì)理解、鞏固知識(shí)、培養(yǎng)能力和解題策略形成都具有一定典型作用和潛在的價(jià)值。所以教師在備課時(shí)要認(rèn)真鉆研，充分發(fā)揮課本例習(xí)題豐富的內(nèi)涵和外延作用，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、猜想、討論、引伸、拓廣，由此及彼等思維訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力。1創(chuàng)設(shè)變式、激活思維，拓展學(xué)生的思維空間由于篇幅的限制，教材編寫都是十分精練，例題的解題過程簡(jiǎn)潔干練，一般都省略了分析解決問題思維過程。教師在授課時(shí)，如果只是照著課本的步驟照本宣

7、科的講解，學(xué)生只知其然而不知其所以然，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)中最大的弊病。以至于有的學(xué)生做題時(shí)只是機(jī)械的套模式，就題論題，不知道變通，學(xué)生充其量只能獲得一種模仿能力，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生真正搞懂解題依據(jù)是什么知識(shí)，用的是什么方法，是怎樣形成解題過程的。例1 已知圓的方程 ，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程。（蘇教版必修2教材105頁練習(xí)7)為激活學(xué)生思維，尋求新的解法，教師可提示、點(diǎn)撥由平面幾何知識(shí)中的勾股定理，以及使用向量知識(shí)，對(duì)問題進(jìn)行解決。在學(xué)生思維活躍時(shí)，改變題目條件，創(chuàng)設(shè)變式，拓展學(xué)生的思維空間。變式1若圓的方程變?yōu)?，求?jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程。變式2若圓的方程變?yōu)?，求?jīng)過圓外一點(diǎn)的切線方程。變式3已知

8、為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系。變式4已知為圓外的一點(diǎn)，過作圓的切線，求切線方程。上述變式問題多且有層次性，入手相對(duì)較易，坡度適中、排列有序，形成有層次結(jié)構(gòu)的開放系統(tǒng)，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間較大，不僅使學(xué)生產(chǎn)生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且體現(xiàn)了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。這樣設(shè)計(jì)既不脫離教材，又不拘泥于教材，隨著教學(xué)層次的展開，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生由淺入深的探討，將學(xué)生思維的交點(diǎn)引向知識(shí)的深入，學(xué)生在練習(xí)過程中，通過觀察、分析、比較，從感性認(rèn)識(shí)逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，使思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。2標(biāo)新立異、另辟蹊徑，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力課本中的解法是科學(xué)正確的，但并非只有一種。教師要引導(dǎo)學(xué)

9、生標(biāo)新立異，鼓勵(lì)學(xué)生不迷信書本，積極思考，敢于探索，敢于創(chuàng)新，可以激發(fā)學(xué)生積極思考，創(chuàng)新熱情，如果學(xué)生有了自己新的問題思路，他會(huì)為自己的偉大發(fā)現(xiàn)而興奮不已，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)極大熱情和愉快成功的體驗(yàn)。例2 講授橢圓的概念時(shí)，先讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一長(zhǎng)度為定長(zhǎng)的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，畫出了一個(gè)橢圓。（蘇教版教材選修1-1第24頁）教師可以從另一個(gè)角度提出問題，讓學(xué)生思考討論：(1)橢圓上的點(diǎn)有何特征？(2)當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？(3)當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么? (4)你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？最后教師再

10、揭示本質(zhì)，給出定義。這樣，學(xué)生經(jīng)過了感性認(rèn)識(shí)分析思考后，對(duì)橢圓定義的實(shí)質(zhì)就會(huì)掌握得很好，不會(huì)出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長(zhǎng)應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的距離的錯(cuò)誤。 又如，講“曲面上兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，設(shè)計(jì)如下練習(xí)：(1)在長(zhǎng)方體中，,位于點(diǎn)處的蜘蛛沿長(zhǎng)方體的表面爬行去攻擊點(diǎn)處的蒼蠅，問蜘蛛的最短行程是多少？(2)是底面半徑是1厘米，高為4厘米的圓柱的一條母線，一只螞蟻從點(diǎn)繞側(cè)面一周爬到點(diǎn)，求爬過的最短距離。(3)是底面半徑為2厘米，高為3厘米的圓錐的一條母線，一只螞蟻從點(diǎn) A繞側(cè)面一周爬到點(diǎn)，求爬過的最短距離。兩點(diǎn)之間線段最短，但蜘蛛、螞蟻只能沿表面爬行。用可折疊的矩形紙板翻折演示，通過計(jì)算比較，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)

11、最短途徑。再追問：圓柱、圓錐側(cè)面上兩點(diǎn)的最短距離又如何計(jì)算？繼續(xù)演示，將圓柱、圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開、鋪平，此時(shí)學(xué)生的思路豁然開朗。最后歸納：可展曲面上兩點(diǎn)間的最短距離，展開后即為所得平面圖形上兩點(diǎn)間的距離。這是將立幾問題轉(zhuǎn)化為平幾問題的一種重要方法。在新知建構(gòu)和解決問題的過程中，從不同角度進(jìn)行分析、思考，由此產(chǎn)生不同的方法。教師講題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度，另辟蹊徑，可以促進(jìn)學(xué)生智慧的生成、思維的發(fā)展，使學(xué)生在思考問題時(shí)能想得全，不重復(fù)，不遺漏，有規(guī)律，也使學(xué)生解決問題的策略多，方法靈活，同時(shí)還尊重了學(xué)生個(gè)體差異。3用“活”習(xí)題、拓展遷移，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，如何從“題海”中

12、解放出來，重要的一條就是挖掘例習(xí)題的潛在內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生向更廣的范圍，更深層次去聯(lián)想，縱橫引伸，把所學(xué)知識(shí)去更大范圍內(nèi)進(jìn)行歸納、演變，促進(jìn)知識(shí)融會(huì)貫通，解題能力和思維能力得到提高，解題方法和策略形成。其方法有：變式練習(xí)、一題多解、改變成開放題、探索題等。例3 已知拋物線對(duì)稱軸為軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（蘇教版教材選修1-1第46頁練習(xí)1）講解該題時(shí)，很多教師認(rèn)為該題太簡(jiǎn)單，只需設(shè)拋物線方程為，再將點(diǎn)代入即可，因而一帶而過，甚至視而不見。其實(shí)在教學(xué)中若能積極加以引導(dǎo)，合理變式，學(xué)生將有很大的收獲。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)深入研究本題，給出變式練習(xí)。引申如何改變上述問題中的條件，使得

13、其解法分別是設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為、。此問題并不難，但能激發(fā)學(xué)生觀察、對(duì)比、分析，讓學(xué)生也參與到變式教學(xué)的問題設(shè)計(jì)當(dāng)中來。拓展已知拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程有了上面的鋪墊，學(xué)生應(yīng)能想到用分類討論手段解決。變式已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。此時(shí)學(xué)生仍可利用分類討論解決，但在教師的引導(dǎo)下，通過對(duì)照結(jié)果以及變式1中的情況，還是有可能概括出此時(shí)拋物線的方程可設(shè)為，以避免分類討論。遷移已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程解法是可設(shè)拋物線的方程為。這樣學(xué)生通過自己分析、概括，參與問題設(shè)計(jì)，使得對(duì)

14、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解將更透徹、更深入。通過一題多變的練習(xí)和階梯式的設(shè)問，不僅分散了難點(diǎn)，更使學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，學(xué)習(xí)興趣高漲。便于提高學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性與廣闊性，從而發(fā)展學(xué)生勇于探索勇于創(chuàng)新的發(fā)散思維能力。4、合理拓展、豐富內(nèi)涵，深化數(shù)學(xué)概念的理解 教材習(xí)題由于受到教材版面篇幅的影響，往往針對(duì)單一的訓(xùn)練目的而安排有針對(duì)性的練習(xí)內(nèi)容.因此，教材習(xí)題有時(shí)看似沒有值得深究的內(nèi)容，實(shí)際上是可以進(jìn)行合理拓展的.教師可圍繞教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際掌握情況根據(jù)教學(xué)的需要進(jìn)行拓展，豐富習(xí)題內(nèi)涵.例4 在中，已知，試判斷的形狀。（蘇教版教材必修5第9頁例4）本題可以通過正弦定

15、理，實(shí)現(xiàn)邊角互化。由題意，即,又,.挖掘正弦定理的性質(zhì)，這道題目可以加以引申：引申 在中，已知，試判斷的形狀。還可以借助余弦定理，把問題拓展為：拓展 在中，已知，試判斷的形狀。變式 在中，已知，試判斷的形狀。遷移 在中，已知，試判斷的形狀。通過例題的引申拓展，既訓(xùn)練了學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，又可以激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣。教師在教學(xué)中對(duì)教材中的單一型練習(xí)題進(jìn)行了合理、適切的拓展，讓學(xué)生在解題過程中深化對(duì)概念的理解?？傊诮虒W(xué)中教師要利用數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，緊扣教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)好課堂練習(xí)，加強(qiáng)設(shè)計(jì)“精品”習(xí)題的意識(shí)，以少勝多，以質(zhì)為上。在知識(shí)和難易程度適宜的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有一定的“坡度”、“難度”、“密度”的習(xí)題，練習(xí)時(shí)注意加大知識(shí)間的“跨度”，變換形式間的“角度”，求新、求近、求活，讓課堂練習(xí)不斷成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的直接發(fā)源地，那么我們的課堂練習(xí)設(shè)計(jì)就