全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題含答案

1、2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題及參考答案一、選擇題(共6小題，每小題6分，共36分) 以下每小題均給出了代號(hào)為 A, B,C, D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)字母填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得 0分)1 .若有理數(shù)a、b滿足(a+1) + "(a + b) =0 ,則ab等于【】(A) -1(B) 1(C) 0(D)無法確定【答】A.解：因?yàn)閍、b都是有理數(shù)，且(a+1) + "(a+b) = 0 ,所以a + 1 = 0，且a + b = 0,第2題圖得 a=1,b=1,所以 ab = 1 -2 .如圖，由7個(gè)小正方形組成的平面

2、圖形折疊(相鄰的 兩個(gè)面垂直)成正方體后，重疊的兩個(gè)面所標(biāo)數(shù)字是【(A) 1 和 7(B) 1 和 6(C) 2 和 7(D) 2 和 6【答】B.解：若將圖中標(biāo)有1的面去掉，則標(biāo)有 2、3、4、5、6、7的六個(gè)面恰好是正方體的一種展開圖，其中標(biāo)有 3和6的面是對(duì)面；只看題圖最下面一行，標(biāo)有 3和1的面應(yīng)是對(duì)面,所以重疊的兩個(gè)面是標(biāo)有 1和6的面，應(yīng)選B.3 .如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC, BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)O, AE平分/CAD交BD于點(diǎn)E, ZABC=a , /ACB=P ,給出下列結(jié)論：/ DAE = 1 P ；幽=也；/ AEB = -(« +2 CB C

3、O2/ ACD = 180°-(« +P).其中一定正確的有【(A) 4 個(gè)(B) 3 個(gè)(C) 2 個(gè)(D) 1 個(gè)【答】B., _ _ 1 1 一解：(1) . AD/BC, DAE= /DAC = /ACB =(2) . AD/BC, AODA COB, 2AD AO1 -P，正確;2，正確;CB CO1-(3) Z AEB=Z DAE + Z ADB=Z DAE +Z CBD = - (a +P) , .正確;(4) / BAC=180s-(a +P),只有當(dāng)AB/DC 時(shí)，/ ACD=180J(a + P )才能成立.，不正確.綜上，應(yīng)選B.4.如圖,直線li、4

4、相交于點(diǎn)A(3,2),I2與x軸分別交于點(diǎn)B(1,0)和C(2,0),則當(dāng) y > yi a。時(shí)，自變量x的取值范圍是【(A) x > -2(B) x>1(C) 1 ： X ： 3(D) 2<x<3liy12B【答】C.y2 = k2x +b2 O y1 = k1x +b1解：由圖象可知當(dāng)y2 > yi時(shí)，x <3,第4題圖當(dāng)丫1>0時(shí)，x >1,所以當(dāng)丫2>丫1>0時(shí),1 <x<3.故應(yīng)選C.5.關(guān)于x的不等式ax + 3a >3+ x的解集為x<3,則a應(yīng)滿足【(A) a>1(B) a<1

5、(C) a>1(D) a<l【答】B.解：由 ax +3aA3 + x ,得(a T( x3)0> ，由不等式的解集為 x<3,知x + 3<0,所以a -1 < 0 ,得a <1 .故應(yīng)選B.6.如圖的象棋盤中,卒”從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，最短路徑共有【(A)14條(B) 15條第6題圖(C)20條(D) 35 條D.解：如右圖，從點(diǎn)A出發(fā)，每次向上或向右走步，到達(dá)每一點(diǎn)的最短路徑條數(shù)如圖中所標(biāo)數(shù)字，如:到達(dá)點(diǎn)P、Q的最短路徑條數(shù)分別為 2和3.以此類推,到達(dá)點(diǎn)B的最短路徑條數(shù)為 35條.選D.141020136101P2Q341551111B35、填空題(

6、共 6小題，每小題6分，共36分)8 .如圖是三個(gè)反比例函數(shù)y =k1, y =乂 ,x xy=k3在x軸上方的圖象，則ki、k2、k3的大小關(guān)系為 x【答】k3 >k2 >k1 .解：由圖象可知 此為負(fù)數(shù)，k2、卜3為正數(shù)，不妨取x=1，代入解析式，顯然點(diǎn) A(1,k2)在點(diǎn)B(1,k3)的正下方，所以k3 >k2 A0,又勺為負(fù)數(shù)，所以k3>k2>ki .9 .有6個(gè)小球，其中黑色、紅色、綠色各 2個(gè)，它們除顏色外其它都一樣，將它們放入一個(gè)不透明的袋子中，充分搖勻后，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，摸出的球顏色一樣的概率【答】1 ,2 11=一，所以摸出的球顏色一樣的概率

7、是6 5 155解：摸出的2個(gè)球都是黑球的概率是10.如圖，點(diǎn)C是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，155/A=/B=30°, / ADC=/BEC=90° ,若 AB=8cm,則CD + CE=cm.第10題圖【答】4.11解：在 RtAADC 中，/A=30 ,得 DC = AC ,同理 EC = BC ,所以221 -1 -1DC 十 EC =一 AC 十BC = - AB =4( cm). 22211 .關(guān)于 x的方程x2+(1m)x+m+2=0的兩實(shí)數(shù)根之積等于m27m+ 2,則Vm+8的值是【答】4.解：由題意得 m+2=m27m+2,解得m1 = 0, m2 = 8 ,當(dāng)m

8、1 = 0時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)m2 =8時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Jm + 8=Vi6 = 4.、一 11112.計(jì)算： +4 5 611+ + . + 1=6670 【答】201311111-+-+- + +6713 4 5111+ + + 6703456714 511 一一,+_ + =a 則原式=a66701 V1 + a671 ) 13xa12=-a a 3+2013 671671a=2013三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分,共48分）13.某單位職工參加市工會(huì)組織的健身操比賽進(jìn)行列隊(duì)，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，請(qǐng)問這個(gè)

9、單位參加健身操比賽的職工至少有幾人?【答案】設(shè)這個(gè)單位參加健身操比賽的職工有y人，6人、5人、4人一列分別可以整排a、b、c列,則y =6a2 =5b+2 =4c . (a、b、c是正整數(shù))6a 2 =6a 2 =由，得 c =6a- 23i- 12+ a- 1)4因?yàn)閏為正整數(shù)，可令a -1 =2m,所以a=2m+1, (m是正整數(shù))將代入，得6(2m 1) -2 =5b - 2.b 1 2m+ 2 110+ n2 t1)因?yàn)閎為正整數(shù)，可令 m+1=5n, 所以m =5n-1,（n是正整數(shù)）11分將代入，得a =2(5n -1) 1 =10n -1.y =6a 2 =6 (1r0 1 2

10、n6 0- (n 是正整數(shù))當(dāng)n=1時(shí)，y有最小值52.即參加比賽列隊(duì)的至少有52人.14分14.如圖，在邊長為 1的正方形 ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E （A、B兩點(diǎn)除外），過 E、B、C三點(diǎn)的圓與BD相交于點(diǎn)H ,與正方形ABCD的外角平分線相交于點(diǎn)GHEB(1)求證：四邊形 EFCH是正方形;(2)設(shè)BE=x, ACGH的面積是y,求y與x的函數(shù)解析式，并求 y的最大值.【答案】(1)E、B、C、H、F在同一圓上，且/ EBC=90°,/ EHC=90° , / EFC=90° .又 / FBC = /HBC=45° ,CF= CH./HBF +/

11、HCF=180°, .HCF=90°.四邊形EFCH是正方形.(2) / GHB +ZGCB=180° ,/ GHB=90° ,由(1)知/ CHE=90° , / CHG + / CHB= / EHB+ / CHB ./ CHG =/EHB.12分CG=BE=x,.-.DG= DC -CG =1 -x . CGH1 一 1中，CG邊上是圖為一DG=(1 x).222(jx)=-2111x -421615分,1 .當(dāng)x=一時(shí),2，一一 1y有取大值.1616分15.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師出示了問題:已知，如圖 ，在4ABC中，/BAC=45

12、76;,AB=AC, ADXBC,垂足為D,設(shè)BD = a,用含有a的式子表示 AD的長.圖圖DAE=45° , AE 和 BC 的延經(jīng)過思考和探討，小明展示了一種解題思路：如圖，作/ 長線相交于點(diǎn) E,過點(diǎn)C作CFLAE于點(diǎn)F.通過證明ABDACF,得到CF=a,進(jìn)而推出 CE= 223 ,所以 AD=DE=CD+CE= a+72a =(1+T2)a.在此基礎(chǔ)上，李老師又提出了如下問題:已知 4ABC 中，/BAC=45°, AB>AC, AD 是 BC 邊上的高，設(shè) BD=a, CD=b,求 AD的長.請(qǐng)你畫圖并解答這個(gè)問題.【答案】(1)當(dāng)/ ACB為直角時(shí)，4

13、ABC為直角三角形，b=0, AD=AC=BD =a, 2分(2)當(dāng)/ ACB為銳角時(shí)，如圖，作/ DAE=45°, AE和BC的延長線相交于點(diǎn) 巳點(diǎn)C作CF XAE于點(diǎn)F .則4CEF和4ADE都是等腰直角三角形.設(shè) AD=DE=x, CF=EF=m.則 AE="x / FAC+ / CAD =45 °, / DAB+ / CAD =45 °,ZFAC =/ DAB.又 /AFC =/ADB=90°, . FACA DAB.FA FCDA DB即立士m二m加曰2ax斛得m二x a.CE =；2EF-2axx a2 ax. CE CD =DE=AD,型 b = x. x a10分整理得 x2 -(a b)x -ab = 0 .的/日 a b . a2 b2 6ab解得 x1 二,x2 二2a ,b -，a2 b2 6ab .(舍去).12分(3)當(dāng)/ ACB為鈍角時(shí)，如圖，作/ DAE=45°, AE和BC的延長線相交于點(diǎn) 巳 點(diǎn)C作CF ±AE于點(diǎn)F .與(1)