2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題之二次函數(shù)考察：最值問(wèn)題綜合(含答案)

1、2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題之二次函數(shù)考察：最值問(wèn)題綜合1.已知二次函數(shù)y=ax+2xc（5*0）的圖象與x軸的交于4、B（1,0）兩點(diǎn)， 與*軸交于點(diǎn)C（0,-3） ,（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；（2）0是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點(diǎn)，求點(diǎn)0到直線4C的距離取得最大值時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；（3）是二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M使以從N、8、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若有，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）.2.如圖，已知拋物線y=a（對(duì)2）（x-4）（a為常數(shù)，且a0）與x軸從左至右依次交于人8兩點(diǎn)， 與V軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)8的直線尸-馬羅另與拋物線的另一交點(diǎn)為

2、D,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P（x,y）使得S砌=，京時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)F為線段8上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接住求2AF+DF的最小值.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x如中，二次函數(shù)尸-志對(duì)c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,0),C(0,2).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1,點(diǎn)f是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)ACf面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)f的坐標(biāo)；4.已知拋物線y=abc與x軸交于點(diǎn)-1,0)，點(diǎn)8(3,0),與*軸交于點(diǎn)C(0,3).頂點(diǎn)為點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)C的直線交線段48于點(diǎn)&且S 心茅S迥=3：5,求直線區(qū)的解析

3、式；(3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在*軸上，當(dāng)以點(diǎn)QC,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)凡，使沽饞的值最??？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.在平面直角坐標(biāo)系*0*中，把與*軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”.如1Q圖，拋物線A：y=x-x-2的頂點(diǎn)為0交*軸于點(diǎn)4、8（點(diǎn)4在點(diǎn)8左側(cè)）,交*軸于點(diǎn)C.拋物線4與。是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P.（1）若拋物線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-12）,求4對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)8Q-CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)。是拋物線4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè).若用與/位?相似，求其“共根

4、拋物線”&的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).6.如圖，一次函數(shù)*=*x-2的圖象與x軸交于點(diǎn)4,與*軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)Z?的坐標(biāo)為（-(4),G（2,0）,在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)月使/4廠的值最小.此已知點(diǎn)/（O,8.二次函數(shù)y=xbc的圖象交x軸于4（-1,0）,8（2,0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;（2）在拋物線上存在一點(diǎn)0（不與點(diǎn)C重合）使得求點(diǎn)。的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是*軸上一動(dòng)點(diǎn)，求A 日華 CE的最小值.9.如圖，拋物線y=-yx2+c與x軸交于點(diǎn)4,點(diǎn)8,與*軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱（圖1）（圖2）（備用圖）備用圖軸為直線X=-1,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）.（1）求拋物線表達(dá)式；（2）

5、在拋物線上是否存在點(diǎn)只使/ABP=ZBCO,如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，清說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線8Q上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線陽(yáng)的最大距離；（4）點(diǎn)G是線段4C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/是線段8。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是線段48上的動(dòng)點(diǎn)，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都不與點(diǎn)4,8,C重合，連接砒 GO,HQ,得到G0Q直接寫(xiě)出G/Q周長(zhǎng)的最小值.10.如圖，拋物線的頂點(diǎn)為 A（h,-1）,與*軸交于點(diǎn)8（0,-岑），點(diǎn)F（2,1）為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn).（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知直線/是過(guò)點(diǎn)C（0,-3）且垂直于火軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P3）到直線/的

6、距離為d,求證：PF=d；（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)（4,3）,請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)。，使況諾的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)卬周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)。的坐標(biāo).答案1.解：(1)把B(1,0),C(0,-3)代入y=a2c.二次函數(shù)的解析式為*=/+2*-3,令y=0,得到V+2X-3=0,解得*=-3或1,.4(-3,0).（2）如圖1中連接4D,CD.點(diǎn)0到直線4C的距離取得最大,此時(shí)以C的面積最大,則有c=-3a+2十c=0解得a=lc二-3設(shè)直線解析式為：y=k 對(duì) b,V/1(-3,0),C(0,-3),fb=-3 3k+b二0，k二一1解得,z直線初的解析式為y=-x-3,過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線交4C于點(diǎn)G

7、,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,V+2x-3),則G3-X-3),.點(diǎn)。在第三象限，DG=-*-3-(+2*-3)=-*-3-丁-2對(duì)3=-V-3%,一1nc1,2q329_3,3,227-ACO-DOOA-(-X-3X)X3-_x(七)+玄，.當(dāng)x=-|時(shí),5“=等點(diǎn)。(-言,-孚，.點(diǎn)。到直線如的距離取得最大時(shí)，Q(-言，一)(3如圖2中，當(dāng)08是平行四邊形的邊時(shí)，OB=MN=1,OB/MN.可得0(-2,-3)或(0,-3),當(dāng)。8為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,*=2時(shí)，/=4+4-3=5,W（2,5）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-3）或（0,-3）或（2,5）.2.解:(1)拋物線y=

8、a(對(duì)2)(x-4),令*=0,解得*=-2或x=4,.如(-2,0),8(4,0).吉象一鵬.4V3當(dāng)*=-5時(shí)，y=3 匝,.點(diǎn)0(-5,33)在拋物線*=a(對(duì)2)(x-4)上, a(-5+2)(-5-4)=3歸.a.9拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：尸冬/-華X-華.999(2)如圖1中，設(shè)直線陽(yáng)交*軸于J,則J(0,理).連接的BC.37-X9=10V3,二y.S以8=10A/3I.*X6X|妙|=10必戶士卻工解得X=1V39,當(dāng)y=10V3V322V3四_方程無(wú)解，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（BV麗米穴）或（1-而，-yV3）（3）如圖2中，過(guò)點(diǎn)。作伽平行于*軸,.:D(-5,3根),B(4,

9、0),.tan匕她=皂垂=寸豆，93.匕她=30. Z8DM=ZDBA=30,過(guò)F作時(shí)上/W于J,則有sin30=壽UrW=*DF,：.2ARDF=20戶*DF)=2(ARJF),當(dāng)爪凡J三點(diǎn)共線時(shí),即AAL伽時(shí)，2ARDF=2（AF+JF）取最小值為2炒=6扼.3.解：(1)將點(diǎn)4(4,0),C(0,2)代入*=-*/+8尸仁得:P(1W39.-y-V3)或(1-廊,-yV3，+2X)X4=-/+4*=-(X-2)2+4,V-10,C二當(dāng)x=2時(shí)，S依取得最大值4.如圖2中，將線段和繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到4強(qiáng)，則C(2,-4)，取CC的中點(diǎn)H(1,-1),作直線4/交拋物線于只此時(shí)PAC=

10、45,崩(4,0),/(1,-1),.L直線4/的解析式為y14由3， =成產(chǎn)I*一號(hào)，專作直線4,PA9則直線4/的解析式為*=-3對(duì)12,廣一&+124D圖2當(dāng)四邊形PQ、CD,四邊形PQCD是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,當(dāng)*=1時(shí)，-V+2計(jì)3=1,解得x=1V3: P、（1+V3,D,P2（1-V3,D,當(dāng)四邊形P3Q3DC,四邊形PADC是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1,當(dāng)y=1時(shí)，-？+2對(duì)3=-1,解得x=1據(jù)，R（1+V5,-D,（1-V5,-D,綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+必，1）或（1-V3,1）或（1-V5,-1）或（1+-1）.如圖3中，連接仞/

11、交對(duì)稱軸于連接”；此時(shí)4斤/7/的值最小.,:H(0,B(3,0),直線8/的解析式為y=-與對(duì)Q.乂=1曰寸，y=-,41717設(shè)K(x,y)，作直線*=乎，過(guò)點(diǎn)K作成L直線*=且-于陳44KF=J(x-1)2+(丫-祥)2,*=-+2對(duì)3=-(x-1)(X-1)2=4-*,KF=,4y+(廠平)2=Jy2專(號(hào))2=|*一晉|,婦 y-牛,4:.KF=KM,: KKF=KSKM,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)G,K,共線，且垂直直線尸芋時(shí)，GK成的值最小，最小值吧此時(shí)K(2,3).1Q5.解：(1)當(dāng)*=0時(shí)，%-2=0,解得x=-1或4,.如(-1,0),8(4,0),C(0,-2),由題意設(shè)拋

12、物線4的解析式為*=a(對(duì)1)(x-4),把(2,-12)代入*=a(對(duì)1)(x-4),-12=-6a,解得a=2,.拋物線的解析式為*=2(計(jì)1)(x-4)=2 卜 6x-8.(2).拋物線4與L是“共根拋物線”，4(-1,0),8(4,0),.拋物線如右的對(duì)稱軸是直線x=雋、.點(diǎn)P在直線x=言上，:，BP=AP,如圖1中，當(dāng)A,C,P共線時(shí)，BP-PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線4C與直線的交點(diǎn)，.直線初的解析式為y=-2x-2,P(京-5)（3）由題意，48=5,CB=2 岳,以=而,.匕徹=90。,CB=2CA,由題意，/PDQ不可能是直角,第一種情形：當(dāng)ZDPQ=泌時(shí),._1239_1.

13、259.頂點(diǎn)。（制如圖3-1中，當(dāng)左QDE4ABCNQP=AC=2DP-BC如圖3-3中，當(dāng)左PDE4ABC 論,PQ=AC=1DQ-BC-2-11QQ1Q設(shè)。(x,X2-X-2),貝ljP(,X2-X-2),: DP=字-%x-2-(-昏)=小_言誠(chéng)，Q 片 x-%22822829：PD=2QF.2x-3=奪-言什&解得x=-或親（舍棄）,zz5Zz P（旦竺）（旦-旦）第二種情形：當(dāng)/DQP=9V.如圖3-2中，當(dāng)左DQPs人 BC 時(shí),同法可得用=2用,過(guò)點(diǎn)。作OMA.PD于M馳 4QD4PDQ,S=DQ=2-*由圖3-3可知,是，孕，。（號(hào),孕，DQ=4 炳,355、2*飛）當(dāng)

14、DPQlXABC時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作例_L用于M.DQ=RO_田DMDQ可得PD=025.8./馬-綜上所述：p點(diǎn)坐標(biāo)為(斗半)或(斗zo2豈或號(hào),孚或弓,一!).:.A(4,0),B(0,-2),.二次函數(shù)經(jīng)過(guò)。(-1,0),B(4,0),.可以假設(shè)二次函數(shù)的解析式為*=a(尸1)(x-4),把A(0,-2)代入得到a=岑，.二次函數(shù)的解析式為*=A_3_2.(2)如圖1中，設(shè)Hlx。,*x-2),且(0WxW4), DM=*,QM=，。0=寫(xiě),-四)8=可得/=立DQ1佛 26.解：在*=*-2中,當(dāng)*=0時(shí)9y=-2,當(dāng)*=0時(shí)，x=4,.HELy軸于E: HE=Xg.G(1,ni)在拋物線上，

15、: G(1,-3),崩(4,0),直線4G的解析式為*=x-4,：HM/y軸交4G于 Q,.P3,*0-4),則AW=(&-2)-(*0-4)=-?&+2,由直線4G都是解析式y(tǒng)=x-4,HM/y軸交4G于只可得匕明45,-HFLAG 于 F,:.HF=(-岑%+2),HE*HF=-(-|-x0+2)x0=-+l2xo=(XQ2)2+A/2,匕匕4：y：半VO,0WxW4,4二當(dāng)*。=2時(shí)，HE HF 的值最大,此時(shí)H(2,-1),M(2,-3),(3)如圖2中，過(guò)點(diǎn)8作BEN于T.QDI.tanZBMN=tanZBAO=,OA2.BT=1又典(0,-2),淅(2,-3),可得

16、8蛇、/萬(wàn)，87=1,MT=2,:M(2,.直線枷的解析式為y=-3或y=一號(hào)*-&/.T(0,n),則，-3)或S)； 心-(-2)： ,解得(此2)2心-(-3)2=4弋或n=-34m=77n=T聯(lián)立得_123尸3y22X乙或_13nvpy-2一41V一3*飛.滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-3）7.解：(1)把4(-1,0),8(3,0)解得二拋物線的表達(dá)式為y=-J+2對(duì)3,二點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,3）,3k+n=0把B(3,0),C(0,3)代入y=kE得：o,n=3.直線8C的表達(dá)式為y=-對(duì)3.（2）.用交直線8。于點(diǎn)0二設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（刀，-m3）,設(shè)直線40的表達(dá)式為y=k、f-

17、in+3勺一21-m+3blf分別解方程組可得x=l.弓或y=-3y=-35x=7或17雙r蕓舍棄第二，第四組解,y=-3a-b+3=09a+3b+3=0解得rk=-lrr3解得，.直線的表達(dá)式，*=.對(duì)m+1m+1m+3-in+32no.;-對(duì)=-，+2對(duì)3,m+121整理得，（品）頃）=。解得=齋或一M不合題意，舍去），.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)膈點(diǎn)的橫坐標(biāo)為藉,分別過(guò)點(diǎn)0、P作*軸的垂線，垂足分別為從N,如圖1中:/.DM/PN.0M=m,0N=L.6M=1,m+1.SL_SAPPC_PD._MN-m2+3in,，S2電頗亦國(guó)頃十1)2、幾第nil+3m設(shè)=t9則t=2整理得，(Z1)話+(2t-3

18、)Z=0,NO,(2t-3)2-4t31)NO,9解得twW(m+1)216SLQ有最大值，最大值為壬.s216存在，理由如下：過(guò)點(diǎn) Q 作FGLOB于G,如圖2中,圖2.*=-V+2對(duì)3的對(duì)稱軸為x=1,： OE=1,:B(3,0),C(0,3)00=03=3,又:丁 COB=9 甘，：.OCB是等腰直角三角形，：/EFB=0 甘,BE=OB-OE=2,沼是等腰直角三角形，: FG=GB=EG=1,點(diǎn)打的坐標(biāo)為(2,1),當(dāng) b 為邊時(shí)，.四邊形&初為平行四邊形，：.QE=PF,QE/PF/y軸，.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Z7的橫坐標(biāo)同為2,當(dāng)*=2時(shí)，*=-242X2+3=3,.點(diǎn)P的坐標(biāo)

19、為（2,3）,: QE=PF=3-=2,點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（1,2）,根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)P（0,3）時(shí)，Q（1,4）時(shí)，四邊形&QP也是平行四邊形.當(dāng) b 為對(duì)角線時(shí)，如圖3中，圖3.四邊形月角廬為平行四邊形，:.QE=PF,OE/PF/y軸，同理求得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）,: QE=PF=3-=2,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-2）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,2）或（1,-2）,P（0,3）時(shí),0（1,4）.8.解：（1）.二次函數(shù)y=4bc的圖象交*軸于4（-1,0）,B（2,0）,二二次函數(shù)的解析式為*=（什1）（*-2）=/-*-2.(2)設(shè)D(m,n),由題意0(0,

20、一2).&徹=&徹9.* ABX0C=*XA8X|,I1=2,當(dāng)=2時(shí)，2=濟(jì)-0-2,解得護(hù)=1土盧L.D，2）,（W，2）.當(dāng)=-2時(shí)，-2=/-必一2,解得7=0或1,：.D（1,-2）,綜上所述，滿足條件的的的坐標(biāo)為（二1七2）或（-郁17 一,2）或（1,-2）.（3）如圖，過(guò)點(diǎn)、E 作 EHXBC 于 H.：.OB=OC=2,308=90,:.Z.OCB=OBC=,. EH1.BC,:.EH=EC,2根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)4氏/共線時(shí)，*&/的值最小，此時(shí)4朋是等腰直角三角形,.AE-r-CE的最小值為：.22.=-1,將(0,4)代入*=-又2_對(duì)。中,.-

21、.c=4,*-y=-yx2-對(duì)4.（2）如圖1中，作PEXx軸于點(diǎn)E9.解：(1).拋物線對(duì)稱軸為*=-1, B(2,0),C(0,-2),A&EH:.AH=圖1:CABP=2BC0,PEB=BOC=W,: 4PEBS4B0C,.普藉（此處也可以由等角的正切值相等得到），DBUUZ設(shè)P（m,-ym2-m+4）,貝II-*淅一衲4|,BE=2-m,2_1當(dāng)點(diǎn)P在X軸上方時(shí)：2m二2-m2解得冏=-3,處=2（不符題意，舍），!_2.2當(dāng)點(diǎn)P在X軸下方時(shí)：2血川生二,2-m2解得m=-5,巧=2（不符題意，舍），P（3音）或P（-5,-京.乙乙（3）作MFx軸于點(diǎn)交陽(yáng)于點(diǎn)/?,作MNBP于

22、點(diǎn)圖2,.，*=-&2-婦4=-（對(duì)4）（X-2）,:.A（-4,0）,B（2,0）,設(shè)yLkqb、,將P（-3,y）,（2,0）代入得解得k=*b=1阪=_岑對(duì)1,設(shè)M（a,a2-a+4）,則R（a,-罰十1）,匕乙1Q11?1二職二（一了角一a+4）-（頂a+1）二-/a-y-3,匕乙乙乙：2MNR=2RFB=0Q,/NRM=VFRB,:MNRsfXBFR,.NRJF.麗而5 亦提喘在RtAW?中 NR：MN：枷=1：2：炳,.2JV5麗爭(zhēng)=5，當(dāng)定時(shí)，伽最大為巡24（4）作。點(diǎn)關(guān)于初的對(duì)稱點(diǎn)Q,作。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接QQ與初于G,與 CB 交于點(diǎn) H,連接0Q 交 nc 于 J,連接0Q交陽(yáng)于K,此時(shí)跖夕的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值=002.圖31,:QJ=JQ,QK=%.0Q=2化圖32CJQ=CKQ=W, C、J、Q、K四點(diǎn)共圓，線段GO就是圓的直徑，#是弦，,nJCK是定值，直徑C。最小時(shí),