專接本高等數(shù)學知識點與公式

1、專接本高等數(shù)學知識點與公式一、三角函數(shù)1特殊角度:角度函數(shù)030456090角a的弧度0兀/6兀/4兀/3兀/2sin01/2V2/2V3/21cos1V3/2a/2/21/20tan0V3/31V32和差角公式：3sin（*二1：，）=sin:cosi-二cos二sin:cos（：）=cos二cosI二sin二sin:tan：工-tan:1二tan：tan:tan（：£二F1）co"cot：二1cot（、=I'）:：cotI二cot二和差化積公式：及a+Pa-Psin二二sin=2sincos22,z.Roa+p.aPsin；一sin=2cossin22fya+P

2、a-Pcos：lcos：=2coscos22Ra+Pa-Pcos-：cos=2sinsin224倍角公式:sin2-2sin二cos二222.2cos2-2cos:-1=1-2sin:-cos:-sin;2,ctg2:ctg1一12ctg-tg2：=2tg;,21-tg:5化簡公式：-22sinxcosx=16三角函數(shù)圖象：222.21tanx=secx1cotx=cscxjiarcsixnarcccxs=2taxnsinxco)s¥3jcoxt二、極限運算相關公式1極限存在：1.1準則I(夾逼準則)：如果數(shù)列xn、yn及Zn滿足條件:(1)從某項起，即3n0=N,當nan0時，有y

3、n<xn<zn,(2)limyn=a,limzn=a,n.n：.那么數(shù)列xn的極限存在，且limxn=a.n:,1.2(1)準則:0當xWU(x0,r)(或x>M)時，g(x)<f(x)h(x),(2)limg(x)=A,limh(x)=A,-x0-x0(x)二)(x).)那么則limf(x)存在，且等于A.1.3準則II:單調有界數(shù)列必有極限.12有界函數(shù)父無分小=無分?。簂imxsi1=0x0x3高次幕：&#0,b0#0,m和n為非負整數(shù)時，有l(wèi)immm4m-2a°xaxa?xJ，b0xn-b1xn4b0xn-ambnb。n:二m(4) 一重要極限

4、：limsq=1x01.5 .第一重要極限：lim(1+)=e,xf：x6 .無窮小替換公式：XT0時sinxxtanxxlim(1+x)x=e,1c特別地lim(1)=en>:nlni(十x)xxe一1xarcsinxx2,x1-cos(2arctanxxn'1+x_1)n三連續(xù)與間斷:limAy=limf(x0+Ax)-f(x0)l=0或lim.x.0.x，0xXofx=fXo2間斷:跳躍型：左極限#右極限limf(x)#limf(x)第一類：J"xT"可去型：極限值#函數(shù)值limf(x)=f(x)、Tx0無窮型第二類：非第一類(特點是：極限不存在);震蕩

5、型四、導數(shù)定義:1點導數(shù)：fKAljm包=十f(x0+Ax)-f(x0)或dimf(x)-f(x0)J0二x-x-0Hxx兇x-x02導函數(shù):fx=limy=lim.x0xLJ0f(xx)f(x)x3切線：yy0=f(xo)(xx0)五導數(shù)公式：1基本初等函數(shù)導數(shù)公式：(1)(C)'=0(C是常數(shù))(3)(sinx)'=cosx法線:(4)1y-y。=(x-xo)f(x。)(xJ)=x山(cosx)=-sinx(5) (tanx)'=sec2x(secx)'=secxtanx(6) (cotx)-csc2x(8)(cscx)=-cscxcotx(9)(ax)&#

6、39;=axlna(11)(Wax);去(10)(ex)=ex，一、,1(12)(lnx)x(13)(arcsinx)=_1_-1-x2(14)(arccosx).1-x2(15)(arctanx)(16)(arccotx)=-2復合函數(shù)的求導法則:3 .反函數(shù)的導數(shù)公式4 .隱函數(shù)的求導方法：曳=電？叫或dxdudxy(x)=f(u)-(x)F(x,y(x)=0求上式中確定的隱函數(shù)y(x)的導數(shù)的方法是：上式兩邊對自變量x求導，在求導時應用復合函數(shù)的求導法則，把y看作中間變量.5 .由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導方法一階導:dx：(t)二階導：察dx6 .對數(shù)求導法將函數(shù)表達式的等號兩邊取對數(shù)，

7、利用對數(shù)性質將表達式化簡，然后利用復合函數(shù)的求導法則，將等式兩邊對自變量求導，最后得到函數(shù)的導數(shù)，這種求導數(shù)的方法稱為對數(shù)求導法.六中值定理：1羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導；(3)在區(qū)間端點處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)內至少有一點-(a<-<b),使得f'(')=02拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少存在一點Ma<-<b),使得f(a)-f(b)=fb-a).推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I

8、上的導數(shù)為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).七洛必達法則：limf僅)=limf(x).FxFx八導數(shù)的幾何應用：1函數(shù)單調性的判定法設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導.(1)如果在(a,b)內(x)>0,那么函數(shù)f(x)在la,b】上單調增加；(2)如果在(a,b)內(x)<0,那么函數(shù)f(x)在b,b上單調減少.如果把這個判定法中的閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，結論也成立.2函數(shù)的極值2.1 極值存在的第一種充分條件：0設函數(shù)f(x)在點xo處連續(xù)，且在xo的某個去心鄰域U(x°,6)內可導.(1)若xw(xo6,xo)時，f(x)A0,而在

9、xw(xo,xo+6)時，f'(x)<0,貝f(x)在xo處取得極大值；(2)若xw(xo6,xo)時，f(x)co,而在xw(xo,xo+6)時，fr(x)>o,則f(x)在xo處取得極小值；o(3)若xEU(xo,a時，f'(x)的符號保持不變，則f(x)在xo處沒有極值.2.2 極值存在的第二種充分條件設函數(shù)f(x)在點xo處具有二階導數(shù)且f'(xo)=o,1'(xo)#。，那么(1)當f"(xo)<o時，函數(shù)f(x)在xo處取得極大值；(2)當f”(xo)Ao時，函數(shù)f(x)在xo處取得極小值.3函數(shù)最大值和最小值的求法：極值

10、點與端點值比較得最值4曲線的凹凸性、拐點4.1 曲線的凹凸及拐點概念：4.2 曲線y=f(x)的凹凸性及拐點的判定方法.(1)凹凸性判斷：設f(x)在區(qū)間kb】上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數(shù)，那么如果在(a,b)內f"(x)Ao,則f(x)在hb】上的圖形是凹的；如果在(a,b)內f"(x)<o,則f(x)在kb】上的圖形是凸的.當區(qū)間不是閉區(qū)間時，判定方法類似.(2)拐點判斷：區(qū)間(a,b)上曲線y=f(x)存在拐點的判定方法求f*(x);令f"(x)=0,求出該方程在(a,b)內的根，另外，求出f"(x)不存在的點；設函數(shù)y=f(x)

11、在點x0處連續(xù)，在x0的某一去心鄰域內二階可導，且f“(x0)=0(或f"(x0)不存在),那么當f"(x)在x°左右兩側鄰近異號時，則點(x°,f(x0是曲線y=f(x)的拐點;當f*(x)在x°左右兩側鄰近同號時，則點(x°,f(x°)不是曲線y=f(x)的拐點.九、導數(shù)在經濟中的應用1邊際函數(shù)：經濟函數(shù)對其自變量的導數(shù)，稱為該經濟函數(shù)的邊際函數(shù)(邊際值).例如如果某產品的成本函數(shù)C=C(x),其中x表示產量，則C=C<x)稱為邊際成本.2需求彈性：設Q=Q(P)為某種商品的需求函數(shù)，其中P表示價格，稱刈=一胎芍為

12、該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性.需求彈性的經濟含義：價格每上漲1%時所引起的需求量減少的百分數(shù).3成本：某產品的總成本是指生產一定數(shù)量的產品所需的全部經濟資源投入的價格或費用總額，它由固定成本和可變成本組成.平均成本是生產一定量產品，平均每單位產品的成本，邊際成本是總成本的導數(shù).在其它生產要素不變的情況下，產品的成本是產量的函數(shù)，設C為成本，&為固定成本.C2為可變成本，C為平均成本，C'為邊際成本，Q為產量，則有總成本函效C=C(Q)=Ci,C2(Q)平均成本函數(shù)C=C(Q)=2a.2QQQ邊際成本函數(shù)C=C(Q)4收益：總收益是生產者出售一定量產品得到的全部收入.平均

13、收益是生產者出售一定量產品，平均每出售單位產品所得到的收入，即單位產品的售價；邊際收益為總收益的導數(shù).收益為產量的函數(shù)，設P為商品價格，Q為商品量，R為總收益，R為平均收益，R為邊際收益，則有商品價格P=P(Q)總收益函數(shù)R=R(Q)=QP(Q)平均收益函數(shù)R二R(x)=RQ)=P(Q)Q邊際收益函效R,=R(x)=QP(Q)P(Q)5利潤：利潤是生產者出售一定量產品所得到的總收益與總成本之差.L=R-C當邊際收益與邊際成本相等時，利潤最大，即R'=C1十不定積分的性質：(1) f(x)二g(x)dx=f(x)dx二g(x)dx(2) kf(x)dx=kf(x)dx(k=0)(3) l

14、-ff(x)dxLf(x)或dff(x)dx=f(x)dxdx(4) JF(x)dx=F(x)+C或dF(x)=F(x)-(13)1J-x2dx=arcsinxC(15)卜一基本積分公式：(1)10dx=C(3) jx%x=x"+CJ11 -(5)-dx=lnx+Cxsinxdx=-cosx+C2(9)secdx=tanx+C(11) secxtanxdx=secxC17dx=arctanxC1 x2(2)1dx=dx=xC1V一(4)fadx=a+Clna(6)exdx=ex+C(8)cosxdx=sinxC2(10)cscxdx=-cotx+C(12)cscxcotxdx-csc

15、xC1(14) dx=arccosxC1-x2,、一1(16)frdx=arccotx+C21x十二第二類換元法積分:1f(x,Ja2_x2)4x=asint-<t<；、22J2f(x,<a2+x2)/vx=atant-<t<i<22Jfx,一x2-a2令x二asect題型u,dv的選法目的FnGXx、esinxcosx>dxu=Pn(x),dv=J,Isinx；>dxcosx降低n次多項式Pn(x)的次數(shù)nx,arcsinxarccosx1./3xU=«lnx'arcsinxarccosxJ>,dv=Pn(xJdx“消”

16、函數(shù)符號ln,arcsinx等xsinxe)>dxcosxU=dvjsinx：cosx'或=exdxu=exsinx"dv='i>dxcosx“回頭積分”十三分部積分法：Judv=uv-Jvdu十四定積分基本性質：1.bbbfx二gxdx=fxdx二gxdxaa'abb2. kkf(xdx=kff(xdx(k是常數(shù)).bcb3. ff(xdx=ff(xdx+ff(xdx(c是常數(shù)).aac，bb4.如果在區(qū)間a,b上f(x)mi.貝Uf(xdx=fdx=ba.,a-a5.如果在區(qū)間a,bUf(x)>0,則bf(xdx之0(aMb),a推論1如

17、果在區(qū)間a,b】上，f(xAg(x).則f(x)dxEg(x)dx(a<b).a-a推淪2bbff(xdx«Jf(xfaxaa(a<b).6.設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間kb】上的最大值及最小值，則b、m(b-a夕ff(xdx«M(ba)(acb).'"a7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b】上連續(xù)，則在la,b上至少存在一個點1，使下式成立：bf(xdx=f«ga)(a<t<b)十五變上限函數(shù)的導數(shù)：(x)d.0f出，(1) =f9(xy?中'(x)dx上限含有未知變量(函數(shù))的導數(shù)：上限代入

18、被積函數(shù)乘以上限的導數(shù)d,bf(t)dt1(2) -JxlJ=_f切稼X?邛'(x)dx下限含有未知變量(函數(shù))的導數(shù)：下限代入被積函數(shù)乘以下限的導數(shù)，然后添負號d(：f(t)dt(3) Ix=fb(x四朝x)fS(xjl?b(x)dx上、下限含有未知變量(函數(shù))的導數(shù)：上限代入被積函數(shù)乘以上限的導數(shù)一下限代入被積函數(shù)乘以下限的導數(shù).十六積分區(qū)間對稱，被積函數(shù)的奇偶性1 .若f(x)在La,a】上連續(xù)且為偶函數(shù)，則J”f(xdx=210f(xdx.2 .若f(x)在La,a】上連續(xù)且為奇函數(shù)，則f(xdx=0.,_a十七分部積分法：udv=Lv】b-fvduaaa十八無窮限反常積分：t

19、bb1 afxdx=tlim;afxdx2之fxdx=tlim;tfxdx.T0-.：i0t3.fxdx=.fxdx+，ofxdx=Jim.，tfxdx+tlim_ofxdx全微分：dz=zdxdydu=、dxdy'dz:xfy；:x；:y*全微分的近似計算：z:、dz=fx(x,y)；：x+fy(x,y)；y多元復合函數(shù)的求導法：z=fu(t),v(t)dz十九多元函數(shù)微分法及應用dtz=fu(x,y),v(x,y):x當u=u(x,y),v=v(x,y)時，:zuzv-r-+；：u；：xN頭二十多元函數(shù)的極值及其求法:du=dx;x隱函數(shù)的求導公式:隱函數(shù)F(x,y)=0,隱函數(shù)F

20、(x,y,z)=0,dMx,二v,dxdydydx.:z,2d_y=(_Fi)+=(一Fx)dydx:xFyNFydx_:zFyyFz設fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CAC-B2A0時,AC-B2：二0時,AC-B2=0寸，入<0,(%)0)為極大值:>0,(%,丫0)為極小值無極值不確定常數(shù)項級數(shù)等比數(shù)列:1qq2，q1-q(n-1)n2調和級數(shù)：i1j是發(fā)散的1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：二1時,級數(shù)收斂=nim>n,則P>1時，級數(shù)發(fā)散=1時,不確定2、比值

21、審斂法:二十二級數(shù)審斂法：設：；=lim57：二1時,則4P>1時,級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散。=1時，不確定3、定義法：sn=u1+u2+un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。nF二交錯級數(shù)U1-u2+u3-u4+（或-u1+u2-u3+，unA0）的審斂法萊布尼茲定理:一Un之Un4一一，一如果交錯級數(shù)滿足上:，那么級數(shù)收斂且其和SMUi,其余項rn的絕又t值rnMUn中】hmun=0nnn中n一河（1）u1+u2+un+-，其中un為任意實數(shù)；川二“2|-"u3TUn如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；一十二絕對收斂與條件收斂：如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。調和級數(shù)：工1發(fā)散，而£（-1）收斂；nnp_1時發(fā)散p.1時收斂1x：二1時，收斂于1-xx_1時，發(fā)散二十四哥級數(shù)：數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使。>R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。求收斂半徑的方法：設lim|a桂=P,其中an,n,anan+是的系數(shù)，則P=0時,RPR二二P=F