專接本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與公式

1、專接本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與公式一、三角函數(shù)1特殊角度:角度函數(shù)030456090角a的弧度0兀/6兀/4兀/3兀/2sin01/2V2/2V3/21cos1V3/2a/2/21/20tan0V3/31V32和差角公式：3sin（*二1：，）=sin:cosi-二cos二sin:cos（：）=cos二cosI二sin二sin:tan：工-tan:1二tan：tan:tan（：£二F1）co"cot：二1cot（、=I'）:：cotI二cot二和差化積公式：及a+Pa-Psin二二sin=2sincos22,z.Roa+p.aPsin；一sin=2cossin22fya+P

2、a-Pcos：lcos：=2coscos22Ra+Pa-Pcos-：cos=2sinsin224倍角公式:sin2-2sin二cos二222.2cos2-2cos:-1=1-2sin:-cos:-sin;2,ctg2:ctg1一12ctg-tg2：=2tg;,21-tg:5化簡(jiǎn)公式：-22sinxcosx=16三角函數(shù)圖象：222.21tanx=secx1cotx=cscxjiarcsixnarcccxs=2taxnsinxco)s¥3jcoxt二、極限運(yùn)算相關(guān)公式1極限存在：1.1準(zhǔn)則I(夾逼準(zhǔn)則)：如果數(shù)列xn、yn及Zn滿足條件:(1)從某項(xiàng)起，即3n0=N,當(dāng)nan0時(shí)，有y

3、n<xn<zn,(2)limyn=a,limzn=a,n.n：.那么數(shù)列xn的極限存在，且limxn=a.n:,1.2(1)準(zhǔn)則:0當(dāng)xWU(x0,r)(或x>M)時(shí)，g(x)<f(x)h(x),(2)limg(x)=A,limh(x)=A,-x0-x0(x)二)(x).)那么則limf(x)存在，且等于A.1.3準(zhǔn)則II:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.12有界函數(shù)父無(wú)分小=無(wú)分?。簂imxsi1=0x0x3高次幕：&#0,b0#0,m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有l(wèi)immm4m-2a°xaxa?xJ，b0xn-b1xn4b0xn-ambnb。n:二m(4) 一重要極限

4、：limsq=1x01.5 .第一重要極限：lim(1+)=e,xf：x6 .無(wú)窮小替換公式：XT0時(shí)sinxxtanxxlim(1+x)x=e,1c特別地lim(1)=en>:nlni(十x)xxe一1xarcsinxx2,x1-cos(2arctanxxn'1+x_1)n三連續(xù)與間斷:limAy=limf(x0+Ax)-f(x0)l=0或lim.x.0.x，0xXofx=fXo2間斷:跳躍型：左極限#右極限limf(x)#limf(x)第一類：J"xT"可去型：極限值#函數(shù)值limf(x)=f(x)、Tx0無(wú)窮型第二類：非第一類(特點(diǎn)是：極限不存在);震蕩

5、型四、導(dǎo)數(shù)定義:1點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：fKAljm包=十f(x0+Ax)-f(x0)或dimf(x)-f(x0)J0二x-x-0Hxx兇x-x02導(dǎo)函數(shù):fx=limy=lim.x0xLJ0f(xx)f(x)x3切線：yy0=f(xo)(xx0)五導(dǎo)數(shù)公式：1基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：(1)(C)'=0(C是常數(shù))(3)(sinx)'=cosx法線:(4)1y-y。=(x-xo)f(x。)(xJ)=x山(cosx)=-sinx(5) (tanx)'=sec2x(secx)'=secxtanx(6) (cotx)-csc2x(8)(cscx)=-cscxcotx(9)(ax)&#

6、39;=axlna(11)(Wax);去(10)(ex)=ex，一、,1(12)(lnx)x(13)(arcsinx)=_1_-1-x2(14)(arccosx).1-x2(15)(arctanx)(16)(arccotx)=-2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:3 .反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式4 .隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：曳=電？叫或dxdudxy(x)=f(u)-(x)F(x,y(x)=0求上式中確定的隱函數(shù)y(x)的導(dǎo)數(shù)的方法是：上式兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，在求導(dǎo)時(shí)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，把y看作中間變量.5 .由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法一階導(dǎo):dx：(t)二階導(dǎo)：察dx6 .對(duì)數(shù)求導(dǎo)法將函數(shù)表達(dá)式的等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，

7、利用對(duì)數(shù)性質(zhì)將表達(dá)式化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將等式兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，最后得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種求導(dǎo)數(shù)的方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.六中值定理：1羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)-(a<-<b),使得f'(')=02拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)Ma<-<b),使得f(a)-f(b)=fb-a).推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I

8、上的導(dǎo)數(shù)為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).七洛必達(dá)法則：limf僅)=limf(x).FxFx八導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用：1函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)(x)>0,那么函數(shù)f(x)在la,b】上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)(x)<0,那么函數(shù)f(x)在b,b上單調(diào)減少.如果把這個(gè)判定法中的閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間)，結(jié)論也成立.2函數(shù)的極值2.1 極值存在的第一種充分條件：0設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，且在xo的某個(gè)去心鄰域U(x°,6)內(nèi)可導(dǎo).(1)若xw(xo6,xo)時(shí)，f(x)A0,而在

9、xw(xo,xo+6)時(shí)，f'(x)<0,貝f(x)在xo處取得極大值；(2)若xw(xo6,xo)時(shí)，f(x)co,而在xw(xo,xo+6)時(shí)，fr(x)>o,則f(x)在xo處取得極小值；o(3)若xEU(xo,a時(shí)，f'(x)的符號(hào)保持不變，則f(x)在xo處沒有極值.2.2 極值存在的第二種充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'(xo)=o,1'(xo)#。，那么(1)當(dāng)f"(xo)<o時(shí)，函數(shù)f(x)在xo處取得極大值；(2)當(dāng)f”(xo)Ao時(shí)，函數(shù)f(x)在xo處取得極小值.3函數(shù)最大值和最小值的求法：極值

10、點(diǎn)與端點(diǎn)值比較得最值4曲線的凹凸性、拐點(diǎn)4.1 曲線的凹凸及拐點(diǎn)概念：4.2 曲線y=f(x)的凹凸性及拐點(diǎn)的判定方法.(1)凹凸性判斷：設(shè)f(x)在區(qū)間kb】上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么如果在(a,b)內(nèi)f"(x)Ao,則f(x)在hb】上的圖形是凹的；如果在(a,b)內(nèi)f"(x)<o,則f(x)在kb】上的圖形是凸的.當(dāng)區(qū)間不是閉區(qū)間時(shí)，判定方法類似.(2)拐點(diǎn)判斷：區(qū)間(a,b)上曲線y=f(x)存在拐點(diǎn)的判定方法求f*(x);令f"(x)=0,求出該方程在(a,b)內(nèi)的根，另外，求出f"(x)不存在的點(diǎn)；設(shè)函數(shù)y=f(x)

11、在點(diǎn)x0處連續(xù)，在x0的某一去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且f“(x0)=0(或f"(x0)不存在),那么當(dāng)f"(x)在x°左右兩側(cè)鄰近異號(hào)時(shí)，則點(diǎn)(x°,f(x0是曲線y=f(x)的拐點(diǎn);當(dāng)f*(x)在x°左右兩側(cè)鄰近同號(hào)時(shí)，則點(diǎn)(x°,f(x°)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).九、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用1邊際函數(shù)：經(jīng)濟(jì)函數(shù)對(duì)其自變量的導(dǎo)數(shù)，稱為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)(邊際值).例如如果某產(chǎn)品的成本函數(shù)C=C(x),其中x表示產(chǎn)量，則C=C<x)稱為邊際成本.2需求彈性：設(shè)Q=Q(P)為某種商品的需求函數(shù)，其中P表示價(jià)格，稱刈=一胎芍為

12、該商品的需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱為需求彈性.需求彈性的經(jīng)濟(jì)含義：價(jià)格每上漲1%時(shí)所引起的需求量減少的百分?jǐn)?shù).3成本：某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入的價(jià)格或費(fèi)用總額，它由固定成本和可變成本組成.平均成本是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本，邊際成本是總成本的導(dǎo)數(shù).在其它生產(chǎn)要素不變的情況下，產(chǎn)品的成本是產(chǎn)量的函數(shù)，設(shè)C為成本，&為固定成本.C2為可變成本，C為平均成本，C'為邊際成本，Q為產(chǎn)量，則有總成本函效C=C(Q)=Ci,C2(Q)平均成本函數(shù)C=C(Q)=2a.2QQQ邊際成本函數(shù)C=C(Q)4收益：總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品得到的全部收入.平均

13、收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，平均每出售單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位產(chǎn)品的售價(jià)；邊際收益為總收益的導(dǎo)數(shù).收益為產(chǎn)量的函數(shù)，設(shè)P為商品價(jià)格，Q為商品量，R為總收益，R為平均收益，R為邊際收益，則有商品價(jià)格P=P(Q)總收益函數(shù)R=R(Q)=QP(Q)平均收益函數(shù)R二R(x)=RQ)=P(Q)Q邊際收益函效R,=R(x)=QP(Q)P(Q)5利潤(rùn)：利潤(rùn)是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的總收益與總成本之差.L=R-C當(dāng)邊際收益與邊際成本相等時(shí)，利潤(rùn)最大，即R'=C1十不定積分的性質(zhì)：(1) f(x)二g(x)dx=f(x)dx二g(x)dx(2) kf(x)dx=kf(x)dx(k=0)(3) l

14、-ff(x)dxLf(x)或dff(x)dx=f(x)dxdx(4) JF(x)dx=F(x)+C或dF(x)=F(x)-(13)1J-x2dx=arcsinxC(15)卜一基本積分公式：(1)10dx=C(3) jx%x=x"+CJ11 -(5)-dx=lnx+Cxsinxdx=-cosx+C2(9)secdx=tanx+C(11) secxtanxdx=secxC17dx=arctanxC1 x2(2)1dx=dx=xC1V一(4)fadx=a+Clna(6)exdx=ex+C(8)cosxdx=sinxC2(10)cscxdx=-cotx+C(12)cscxcotxdx-csc

15、xC1(14) dx=arccosxC1-x2,、一1(16)frdx=arccotx+C21x十二第二類換元法積分:1f(x,Ja2_x2)4x=asint-<t<；、22J2f(x,<a2+x2)/vx=atant-<t<i<22Jfx,一x2-a2令x二asect題型u,dv的選法目的FnGXx、esinxcosx>dxu=Pn(x),dv=J,Isinx；>dxcosx降低n次多項(xiàng)式Pn(x)的次數(shù)nx,arcsinxarccosx1./3xU=«lnx'arcsinxarccosxJ>,dv=Pn(xJdx“消”

16、函數(shù)符號(hào)ln,arcsinx等xsinxe)>dxcosxU=dvjsinx：cosx'或=exdxu=exsinx"dv='i>dxcosx“回頭積分”十三分部積分法：Judv=uv-Jvdu十四定積分基本性質(zhì)：1.bbbfx二gxdx=fxdx二gxdxaa'abb2. kkf(xdx=kff(xdx(k是常數(shù)).bcb3. ff(xdx=ff(xdx+ff(xdx(c是常數(shù)).aac，bb4.如果在區(qū)間a,b上f(x)mi.貝Uf(xdx=fdx=ba.,a-a5.如果在區(qū)間a,bUf(x)>0,則bf(xdx之0(aMb),a推論1如

17、果在區(qū)間a,b】上，f(xAg(x).則f(x)dxEg(x)dx(a<b).a-a推淪2bbff(xdx«Jf(xfaxaa(a<b).6.設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間kb】上的最大值及最小值，則b、m(b-a夕ff(xdx«M(ba)(acb).'"a7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b】上連續(xù)，則在la,b上至少存在一個(gè)點(diǎn)1，使下式成立：bf(xdx=f«ga)(a<t<b)十五變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(x)d.0f出，(1) =f9(xy?中'(x)dx上限含有未知變量(函數(shù))的導(dǎo)數(shù)：上限代入

18、被積函數(shù)乘以上限的導(dǎo)數(shù)d,bf(t)dt1(2) -JxlJ=_f切稼X?邛'(x)dx下限含有未知變量(函數(shù))的導(dǎo)數(shù)：下限代入被積函數(shù)乘以下限的導(dǎo)數(shù)，然后添負(fù)號(hào)d(：f(t)dt(3) Ix=fb(x四朝x)fS(xjl?b(x)dx上、下限含有未知變量(函數(shù))的導(dǎo)數(shù)：上限代入被積函數(shù)乘以上限的導(dǎo)數(shù)一下限代入被積函數(shù)乘以下限的導(dǎo)數(shù).十六積分區(qū)間對(duì)稱，被積函數(shù)的奇偶性1 .若f(x)在La,a】上連續(xù)且為偶函數(shù)，則J”f(xdx=210f(xdx.2 .若f(x)在La,a】上連續(xù)且為奇函數(shù)，則f(xdx=0.,_a十七分部積分法：udv=Lv】b-fvduaaa十八無(wú)窮限反常積分：t

19、bb1 afxdx=tlim;afxdx2之fxdx=tlim;tfxdx.T0-.：i0t3.fxdx=.fxdx+，ofxdx=Jim.，tfxdx+tlim_ofxdx全微分：dz=zdxdydu=、dxdy'dz:xfy；:x；:y*全微分的近似計(jì)算：z:、dz=fx(x,y)；：x+fy(x,y)；y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z=fu(t),v(t)dz十九多元函數(shù)微分法及應(yīng)用dtz=fu(x,y),v(x,y):x當(dāng)u=u(x,y),v=v(x,y)時(shí)，:zuzv-r-+；：u；：xN頭二十多元函數(shù)的極值及其求法:du=dx;x隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F(x,y)=0,隱函數(shù)F

20、(x,y,z)=0,dMx,二v,dxdydydx.:z,2d_y=(_Fi)+=(一Fx)dydx:xFyNFydx_:zFyyFz設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CAC-B2A0時(shí),AC-B2：二0時(shí),AC-B2=0寸，入<0,(%)0)為極大值:>0,(%,丫0)為極小值無(wú)極值不確定常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等比數(shù)列:1qq2，q1-q(n-1)n2調(diào)和級(jí)數(shù)：i1j是發(fā)散的1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：二1時(shí),級(jí)數(shù)收斂=nim>n,則P>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散=1時(shí),不確定2、比值

21、審斂法:二十二級(jí)數(shù)審斂法：設(shè)：；=lim57：二1時(shí),則4P>1時(shí),級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散。=1時(shí)，不確定3、定義法：sn=u1+u2+un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。nF二交錯(cuò)級(jí)數(shù)U1-u2+u3-u4+（或-u1+u2-u3+，unA0）的審斂法萊布尼茲定理:一Un之Un4一一，一如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足上:，那么級(jí)數(shù)收斂且其和SMUi,其余項(xiàng)rn的絕又t值rnMUn中】hmun=0nnn中n一河（1）u1+u2+un+-，其中un為任意實(shí)數(shù)；川二“2|-"u3TUn如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；一十二絕對(duì)收斂與條件收斂：如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：工1發(fā)散，而£（-1）收斂；nnp_1時(shí)發(fā)散p.1時(shí)收斂1x：二1時(shí)，收斂于1-xx_1時(shí)，發(fā)散二十四哥級(jí)數(shù)：數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使。>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。求收斂半徑的方法：設(shè)lim|a桂=P,其中an,n,anan+是的系數(shù)，則P=0時(shí),RPR二二P=F