小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：植樹問題(二)-帶詳解

1、植樹問題（二）教學(xué)目標(biāo)1 .封閉與非封閉植樹路線的講解及生活運用。2 .掌握空心方陣和實心方陣的變化規(guī)律.3 .幾何圖形的設(shè)計與構(gòu)造知識點撥、植樹問題分兩種情況:（一）不封閉的植樹路線若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為:棵數(shù)=段數(shù)十1=全長得株距+1全長二株距x （棵數(shù)1）株距=全長-（棵數(shù)-1） 如果題目中要求在路線的一端植樹, 全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為:則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少全長 二株距M棵數(shù)；棵數(shù)=段數(shù)=全長+株距； 株距=全長+棵數(shù).1,即棵數(shù)與段數(shù)相等如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比 中還少1棵.全長、棵數(shù)、株距之

2、間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)-1=全長。株距-1.株距=全長+ （棵數(shù)+1 ）.全長=株距M（棵數(shù)+1）（二）封閉的植樹路線.在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù) 全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)=周長+株距.二、解植樹問題的三要素（1）總路線長（2）間距（棵距）長（3）棵數(shù)，只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.三、方陣問題（1）明確空心方陣和實心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個數(shù)=總數(shù) +4+1”；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少 2;（4）掌握計算層數(shù)、每層個數(shù)、總個數(shù)的方法，及每層個數(shù)的變化規(guī)律。例題精講9模塊

3、一、封閉圖形的植樹問題例1 小強家附近的公園里有一個圓形池塘，它的周長 1500是米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需 樹苗多少株？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】1星 【題型】解答【解析】因為圓形池塘是一個封閉的模型，所以我們直接運用公式棵數(shù)=段數(shù)=周長平距，從而有樹苗：1500 與=500 （株）.【答案】500株【鞏固】 周叔叔家有一個長 40米，寬30米的長方形魚塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹，需要栽多少棵柳樹？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】1星 【題型】解答【解析】（40+30）父2 =140 （米），140+5=28 （棵）.【答案】28棵【例2】在一個長345米、寬240米的長

4、方形草坪四周等距離地栽一些松樹，要求四個頂點和每邊中 點都正好栽一棵松樹，則最少要買松樹苗 棵?！究键c】封閉圖形的植樹問題【難度】2星 【題型】填空一【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 9題【解析】 先找出兩邊中點數(shù)120、172.5的最大公約數(shù)為 7.5草坪周長為：（345+240） H.5=156 （棵）【答案】156棵【例3】 公園內(nèi)有一個圓形花壇，繞著它走一圈是120米.如果沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的 2株月季花相距多少米？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】2星【題型】解答【

5、解析】在圓周上栽樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積.要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽 2株月季花，就是說這 4株花之間有3段相等的距離.以6米為一段，圓形花壇一圈 可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120與=20（株），栽月季花的株數(shù)是：2X20= 40（株），每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2 + 2= 4（株），4株花栽在6米的距離中，有 3段相等的距離，每兩株之間的距離是：64-1） = 2（米）.

6、【答案】丁香花的株數(shù) 20株，月季花的株數(shù) 40株，兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距2米?！眷柟獭?一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季 花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】2星 【題型】解答【解析】在圓形花壇上栽花，是封I路線問題，其株數(shù)=段數(shù).由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：180+6 =30（棵）共種月季花：2 M 30 =60（棵）兩種花共：30 +60 =90（棵）兩棵花之間距離：180+

7、90 = 2 （米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米.【答案】芍藥花30棵，月季花60棵，月季花的株距是 2米或4米【鞏固】 在某校周長400米的環(huán)形跑道上，每隔 8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備紅旗 面，黃旗 面.【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】2星【題型】填空【解析】400。8=50（紅旗），8 子 2-1=3, 3M50=150（黃旗）【答案】紅旗50面，黃旗150面 【例4 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長.他倆的起點和走的方向完全相同，小明的平均步長是54厘米，爸爸的平均步長是 72

8、厘米，由于兩人的腳印有重合， 并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下60個腳印，這個花圃的周長是多少厘米？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】3星【題型】解答【解析】 通過畫圖使學(xué)生明白從第一個重合點（起點）到下一個重合點之間的距離是 216厘米，216+54=4,216-72=3,從而知在兩個重合點之間，爸爸留下腳印3個，小明留下腳印 4個，去掉一個重合的腳印，共留下腳印 3+41=6（個），因為從起點到最后雪地上共留下腳印60個，所以花圃的周長是216 M（60+6） =2160 （厘米）.【答案】2160厘米【鞏固】 園林工人要在周長 300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹.他們先沿著

9、花壇的邊每隔 3米挖一個坑，當(dāng)挖完30個坑時，突然接到通知：改為每隔5米栽一顆樹.這樣，他們還要挖多少個坑才能完成任務(wù)？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】3星【題型】解答【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每 3米一個，已經(jīng)挖的坑，和后來改成5米挖一個坑，有多少個是重復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）從第1個坑到第30個坑，共有多長？（30-1）X3 =87（米）（2）改為 每5米栽一棵樹”，有多少坑仍然有用？87£15=5|中2, 5+1=6（個）（3）改為 每5米栽一棵樹”，一共應(yīng)挖多少個坑？300+ 5 =60（個）（4）還要挖多少個？60 6 = 54 （個）【答案】54【

10、例5 一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有 9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】3星【題型】解答【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（9X21 1）刈=48（棵），中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（92）X3=21 （棵），整個花壇共栽花：48 + 21 = 69 （棵）.【答案】69棵【例6】 正方形操場四周栽了一圈樹，四個角上都栽了樹，每兩棵樹相隔5米.甲、乙從一個角上同時出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個彎之后的第5棵樹與甲相遇（把角上的樹

11、看作第一棵樹），操場四周栽了多少棵樹？【考點】封閉圖形的植樹問題【難度】3星【題型】解答【解析】因為甲的速度是乙的兩倍，乙走了操場的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個彎之后走到第5棵樹,實際走了 4個間隔，那么甲應(yīng)該走了8個間隔，相遇的樹就是甲拐彎以后走的第9棵樹，所以這一邊有9+4= 13 （棵）樹.操場周圍的一共有（13-1） >4 = 48 （棵）.【答案】48棵模塊二、方陣問題【例7】 在一次運動會開幕式上，有一大一小兩個方陣合并變換成一個10行10列的方陣，求原來兩個方陣各有多少人？【考點】方陣問題【難度】2星 【題型】解答【解析】根據(jù)時間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的

12、概念，并記住一些簡單的平方數(shù)10行10列的方陣由100人組成，原來的小方陣每行或每列人數(shù)都不會超過10人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在50100之間，可取64或81,運用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人.【答案】大方陣有64人，小方陣有36人【例8】 小華觀看團體操表演，他看到表演隊伍中的一個方陣變換成一個正三角形實心隊列，他估計隊伍 中人數(shù)大概在30至50人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【考點】方陣問題【難度】3星 【題型】解答【解析】方陣總?cè)藬?shù)的特點：它是兩個相同自然數(shù)的積，而三角形隊列總?cè)藬?shù)的特點是：總數(shù)是從1開始若干個連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在 3050的范圍內(nèi)找出同時

13、滿足這兩個條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù).由 于隊伍可以排 成方陣，在 30至50人的范圍 內(nèi)人數(shù)可能是 6M6=36人或7父7=49人，又因為36 =1+2+3+4 十，.+8, 49 =1+2+3+4+ 9+4,所以總?cè)藬?shù)是 36人.【答案】36人【例9】 同學(xué)們做操，小林站在左起第5列，右起第3列；從前數(shù)前面有4個同學(xué)，從后數(shù)后面有6個同學(xué).每 行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人？【考點】方陣問題【難度】2星 【題型】解答【解析】 帶領(lǐng)學(xué)生畫圖求解.一共有幾行？列式： 4+6+1=11 （行）一共有幾列？列式： 5+31=7 （列）一共有多少人？列式：11M7=77 （人）【答案】77

14、人【鞏固】 一群小猴排成整齊的隊伍做操，長頸鹿站在隊伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴.長頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有 4只猴，右邊也有 4只猴，前面有5只猴，后面也有 5只猴.小朋友，你能 算出有多少只猴子在做操嗎？【考點】方陣問題【難度】2星 【題型】解答【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11 （行）一共有多少列？列式：4+4+1=9 （列）一共有多少只猴子？ 11M9=99 （只）.【答案】99人【鞏固】 小朋友們做廣播體操，小明恰好站在隊列的正中心，此時無論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個，無論是從左往右或者是從右往左數(shù)他都排在第6個，則這個隊列中一共有 位小朋友.【考點】

15、方陣問題【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，陳省身杯【解析】根據(jù)題意知：每列有5+5-1=9（人），每行有6+61=11 （人），則這個隊列共有：9M11 = 99 （人）.【答案】99人【例10】希望小學(xué)舉行運動會，全體運動員的編號是從1開始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖 1中實線所示，從第128,他排在第3行第4列,行第1列開始，按照編號從小到大的順序排成一個方陣。小明的編號是則運動員共有圖1【考點】方陣問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】28號在第3行第4歹U,那么前兩行共有 28-4= 24人，每行有24+2= 12人，共有12X12= 144人?！敬鸢?/p>

16、】144人【例11】四年級一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行8人，每列8人的方陣，問方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列.還剩多少同學(xué)？【考點】方陣問題【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以根據(jù) 實心方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù) X每邊人數(shù)”得到8行8列的實心方陣人數(shù)為：8M 8=64 （人），去掉一行一列后，還剩 7行7歹U,也可通過同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為：7M 7=49 （人）.【答案】8行8列的實心方陣人數(shù)為 64人，去掉一行一列后，還剩 49人?！眷柟獭?00名同學(xué)排成一個方陣，后來又減去一行一列，問減少了多少人？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】和前兩題比僅僅是數(shù)量上的增加，

17、此時可帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：去掉一行一列后要加上重復(fù)的那一個.100名同學(xué)排成一個方陣， 后來又減去一行一列，剩下的是9行9列的方陣，即剩下81人，減少了 19人.【答案】19人【鞏固】 軍訓(xùn)的學(xué)生進行隊列表演， 排成了一個5行5列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】一行一列各5人,頂點處重復(fù).5父21=9人，因為角上的一個同學(xué)被重復(fù)數(shù)了兩次，所以要把多 算的一次減掉.【答案】9人【例12】學(xué)生進行隊列表演，排成了一個正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉11人，問這個方陣共有多少人？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】由上題思

18、路，帶領(lǐng)學(xué)生進行逆向思維.學(xué)生排成一正方形隊列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我們就要思考每行去掉了幾個同學(xué)，因為是正方形隊列，所以每行每列人數(shù)一樣多，但在數(shù)的時 候，站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩個，那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時就要在11里面多加一個.現(xiàn)在每行的人數(shù)是：（11+1）+2 =6 （人），共 6父6 =36 （人）.【答案】36人【鞏固】 學(xué)生進行隊列表演，排成了一個正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉13人，問這個方陣共有多少人？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】每行：（13+1戶2 =7 （人），總?cè)藬?shù)：7X7=49 （人）.【答案】49人【例13】二年級舞蹈隊為全校做健

19、美操表演，組成一個正方形隊列，后來由于表演的需要，又增加一行一 歹U,增加的人數(shù)正好是 17人，那么原來準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】 可先讓學(xué)生自己畫圖實踐，從 3乘3的方陣變成4乘4的如何進行，掌握畫法后再來思考這題.因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，則原來一行或一列的人 數(shù)可求.參加健美操表演的人數(shù)可求.列式：（17 1）小2=16 +2 =8 （人）,8M8=64（人）.【答案】64人【鞏固】某部隊?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一

20、支隊伍共17人加入他們的方陣，正好使橫豎各增加一排，現(xiàn)共有多 少戰(zhàn)士？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答【解析】后來的戰(zhàn)士加入方陣時，是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增加一排，那么有一個戰(zhàn)士要站在這兩排的交 界處，計算橫排豎排的人數(shù)時， 對他進行了重復(fù)計算，也就是說現(xiàn)在每一排實際人數(shù)是 （17+1廣2= 9 （人），因此可以求出總?cè)藬?shù)：9 M9=81 （人）.【答案】81人【例14】育新小學(xué)召開秋季運動會，準(zhǔn)備在正方形的操場周圍插上彩旗.如果4個角上都要插上一面彩旗，要使每邊有7面彩旗，那么一共要準(zhǔn)備多少面彩旗才行？【考點】方陣問題【難度】2星【題型】解答解析】心急的學(xué)生會很配合的說 28,此時

21、可提示他們想想，彩旗不夠，能不能少點？根據(jù)題目的要求畫出 示意圖：我們把這些彩旗按照圖中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有 71 =6面旗.（7_1）父4=24（面），一共準(zhǔn)備 24面彩旗.答案】24面例15】某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)-4+1 ,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了.所以方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人），整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16M16 = 256（

22、人）.答案】方陣最外層每邊人數(shù) 16人，整個方陣共有學(xué)生人數(shù) 256人.鞏固】 明在一個正方形的棋盤里擺棋子，他先把最外層擺滿，用了 40個棋子，求最外層每邊有多少棋子？如果他要把整個棋盤擺滿，還需要多少棋子？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】有前一題基礎(chǔ)，可讓學(xué)生自己思考解決.首先根據(jù) 每邊的個數(shù)=總數(shù) +4+1”求出每邊的棋子數(shù)：40 + 4+1=11 （個），根據(jù)”每向里一層每邊棋子數(shù)減少2”,求出最外面數(shù)第二層中每邊各有：11-2=9 （個）棋子，利用求實心方陣總個數(shù)的方法就可以求出還需：9X9=81 （個）棋子.答案】81個棋子鞏固】 校三年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人

23、數(shù)為36人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學(xué)生多少人？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】引導(dǎo)學(xué)生找出與前四題區(qū)別，因為條件是方陣外層，所以有四個重復(fù)計算的人.（法1）方陣外層每邊有：（36+4） +4=10 （人），共10父10=100 （人）.（法2）方陣外層每邊有： 36-4+1=10 （人），共10父10=100 （人）.答案】100人鞏固】 三年級學(xué)生排成一個方陣進行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學(xué)生多少人 ？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】 每邊：（32+4）+4 =9 （人），總?cè)藬?shù)：9M9=81 （人

24、）.答案】81人例16】新學(xué)期開始，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車四周圍成了每邊兩層的方陣，最外面一層每邊13人,彩車周圍的少先隊員有多少人？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】先讓學(xué)生自己思考，待大家都有結(jié)果后，讓學(xué)生思考一個問題：相鄰兩層差幾個人.外層13M4-4=48 人，內(nèi)外相差8人（教師可舉例說明），內(nèi)層48-8 =40人，共88人.答案】88人鞏固】 節(jié)日來臨，同學(xué)們用盆花在操場上擺了一個空心花壇，最外層的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答解析】讓學(xué)生利用上題思考結(jié)果加以解決.（法1）不論是空心方陣還是實心方陣，每向里一層

25、，每邊的花盆就少2個，每層的花盆就少 8個，因此可以依次求出每層花盆的個數(shù).最外層有花盆 ：（12_1）父4=44（盆），第二層有：44_8 = 36（盆），第 三層有：368=28（盆），共有：44+36+28=108（盆）.（法2）將三層花盆分成四塊，形成四個相等的長方形.它們的長是（123）個，寬是3個，（12 3）父3 = 27 個，即每個長方形中包括 27個花盆，再將結(jié)果乘以 4就得到總數(shù)是108個，于是我們可以總結(jié)為：空 心方陣中點的總個數(shù) 二（最外層每邊的個數(shù)-層數(shù)）雙數(shù)X4 .（法3）也可以將這種情況看作從一個大的實心方陣中取出一個小的實心方陣.【答案】108盆【鞏固】 曉曉愛

26、好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎？【考點】方陣問題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖所示，方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放 14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出總數(shù).（1 4- 1） 4= 5（2個）, （1421）父4 =44（個），52+44 =96（個），一共用了 96 個棋子.【答案】96個棋子【鞏固】晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子 14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？【考點】方陣問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】方陣每向里面

27、一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù).最外邊一層棋子個數(shù)：（141）乂4 = 52（個）, 第二層棋子個數(shù)：（142 1）父4=44（個），第三層棋子個數(shù)：（142黑21）父4=36（個）.擺這個方陣 共用棋子：52+44 +36 =132（個）.還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=（外層每邊個數(shù)一層數(shù)）點數(shù)4 進行計算，得（143）M3M4=132（個）.【答案】132個【例17】在一次團體操表演中，有一個空心方陣最外層有64人，最內(nèi)層有32人，參加團體操表演的共多少人？【考點】方陣問題【難度】4星【題型】解

28、答【解析】根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)，一個空心方陣，可以看做從一個最外 層有64人的實心方陣中，減去了一個小方陣.外層每邊人數(shù)：64 + 4+1=17 （人）.內(nèi)層每邊人數(shù)：32 + 4+1=9 （人），空心方陣人數(shù)：17父17 （9 2）X（9 2）=240 （人）.【答案】240人【例18】120個棋子擺成一個三層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少棋子？【考點】方陣問題【難度】4星【題型】解答【解析】棋子一共三層，容易知道外層比中層多 8個，內(nèi)層比中層少8個，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均 數(shù)為120+3=40（個），可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少2

29、.中層總數(shù)120+3=40（個）.中層每邊個數(shù)：40+4+1=11（個），內(nèi)層每邊個數(shù)：112=9（個）.【答案】9個【鞏固】 將一個每邊16枚棋子的實心方陣變成一個四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？【考點】方陣問題【難度】4星【題型】解答【解析】棋子總數(shù)為：16M16=256 （枚），由于空心方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)層數(shù)）混數(shù)X4,所以，每邊個數(shù)=空心方陣總個數(shù) 也數(shù)+4+層數(shù)，得出最外層每邊有 20枚棋子.【答案】20枚棋子【例19】一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（右圖是一個四層空心方陣的示意圖）.后來小林又添入 28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不能移動

30、原來的棋子），那么最開始最少有個棋子.【考點】方陣問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽， 12題【解析】將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法，一種是在最外層增加一圈（兩行兩列），第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列），第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個方向也增加一 行一列.五層空心方陣的最外層至少有 40枚棋子，所以第一種情況不符合題意，如果是第二種情況，那么最外層應(yīng)該有28+8父4=60枚棋子，最開始應(yīng)該有 60+52+44 + 36 = 192枚棋子.如果是第三種情況， 那么設(shè)五層方陣最內(nèi)圈邊長為x ,那么最外圈邊長為x +4乂2 = x +8 , 一

31、共增加的棋子數(shù)為2x3+2（x+8）1=4x+12枚，所以4x+12 = 28,解得x=4.五層方陣的最外層邊長為 4 + 8 = 12, 原有棋子 122 （42 j 28=112枚.所以最開始至少有112枚棋子.【答案】112枚【例20】同學(xué)們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少 盆花？【考點】方陣問題【難度】4星【題型】解答【解析】對于兩層方陣，外層比內(nèi)層多 8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數(shù)是 （64+ +2=36（盆），從而得出需增加的盆數(shù)，36+8=44（盆）.【答案】44盆 【例21】有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多 9人，如空心部分增加兩層，又少 15人，問有學(xué)生多少人？【考點】方陣問題【難度】4星【題型】解答【解析】增加的兩層人數(shù)為：9+15=24 （人），這兩層人數(shù)之差是 8人，因此最里層有（24-8）+2=8 （人）， 現(xiàn)在的方陣共5層，那么最外層有8+8父4=40 （人），知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù)是105人.【答案】105人【鞏固】 為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽，四年級的學(xué)生在排隊形.如果排成3層空心的方陣則多 10人，如果在中間空心的部分接著