第11章平面光彈應力計算

1、 第一節(jié)第一節(jié) 釘壓法和邊界應力釘壓法和邊界應力 一、釘壓法一、釘壓法 釘壓法釘壓法就是在垂直于模型的邊界上，對研究的某點施加一個微小的法向壓力，同時觀察該點條紋級數(shù)的變化。如條紋級數(shù)增加，則該點的邊界應力為第一主應力，反之，則為第二主應力。 釘壓法釘壓法可判定邊界切線應力是拉應力或壓應力，也就是判定邊界等傾線是代表第一主應力還是代表第二主應力方向的角度。 二、邊界應力二、邊界應力 模型自由邊界上任一點都處于單向應力狀態(tài)，即只有一個與邊界切線同向的主應力，其切向主應力只有兩種可能： 0 （為拉應力） （a） 1hfN/ 0 （為壓應力） （b） 2hfN/于是，可統(tǒng)一表示為 21hfN=例如，

2、在模型邊界上的B點受有法向壓力q，則該點的切向主應力為 q 21hfN=（111 ）22 邊界應力符號確定邊界應力符號確定11邊界應力為邊界應力為拉應力拉應力時，等時，等色線向級數(shù)色線向級數(shù)低低的方向的方向移動移動邊界應力為邊界應力為壓應力壓應力時，等時，等色線向級數(shù)色線向級數(shù)高高的方向的方向移動移動邊界應力為拉應力：邊界應力為拉應力：邊界應力為壓應力：邊界應力為壓應力：上述兩種情況是在加載的過程中觀察到的二、邊界應力二、邊界應力 純彎曲梁（不同載荷）純彎曲梁（不同載荷）邊界邊界拉拉應力時，等色線向級數(shù)應力時，等色線向級數(shù)低低的方向移動的方向移動邊界為邊界為壓壓應力時，等色線向級數(shù)應力時，等色

3、線向級數(shù)高高的方向移動的方向移動xyBA平面受力模型平面受力模型xy單元體應力狀態(tài)單元體應力狀態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1xyiixyxix10,第二節(jié)第二節(jié) 剪應力差法計算截面上的應力剪應力差法計算截面上的應力 為求得邊界以內(nèi)其它點的應力狀態(tài)，除光彈性實驗所得的等差線和等傾線之外，還需輔以其他方法，這統(tǒng)稱為應力分離法應力分離法。 （一）基本原理 1： x,0 1,0B 22cos1coscos02020, 10,nnx2sin)(2121xy1,jxyjxyxy其中其中: ( 1- 2)由由等色線等色線得到，得到， 由由等傾線等

4、傾線得到得到 xy 的指向與上下面外法線轉向的指向與上下面外法線轉向 1相符相符22214)(xyxy其中：當其中：當 x與與 1夾角夾角小于小于正負正負 45o時取時取負負，反之取正，反之取正第二節(jié)第二節(jié) 剪應力差法計算截面上的應力剪應力差法計算截面上的應力 （一）基本原理 單元體應力狀單元體應力狀態(tài)態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-12：3：2sin)(2121xy其中其中: ( 1- 2)由由等色線等色線得到，得到， 由由等傾線等傾線得到得到 xy 的指向與上下面外法線轉向的指向與上下面外法線轉向 1相符相符第二節(jié)第二節(jié) 剪應力差法

5、計算截面上的應力剪應力差法計算截面上的應力 （一）基本原理 單元體應力狀單元體應力狀態(tài)態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1至于切應力的指向至于切應力的指向 (代表正、負符號代表正、負符號)以觀察以觀察主應力主應力的方位的方位確定確定。如圖所示。如圖所示。由由切應力切應力作用面的作用面的法線法線N開始，按首先與開始，按首先與第一主應力第一主應力相遇的原則轉向，則切相遇的原則轉向，則切應力的指問應與此轉向相遇。這個指向著與取平衡條件時應力的指問應與此轉向相遇。這個指向著與取平衡條件時單元體單元體A上上切應力切應力納指向納指向一致一致時、則為時

6、、則為正正；反反之，為之，為負負。切應力正負指向如圖所示。切應力正負指向如圖所示。第二節(jié)第二節(jié) 剪應力差法計算截面上的應力剪應力差法計算截面上的應力 （一）基本原理 1、確定模型自由邊界上O點的應力分量 0)(x若O點的切向主應力為 ，則 12cos22)(110 x若O點的切向主應力為 ，則 22cos22)(220 x（112 ）（113 ）2、確定OA線段上任一點的剪應力分量 ixy)(iiiiixyhfN2sin212sin2)()(213、確定OA線段上任一點的正應力分量 ix)(xxixxixd)()(00yxxyxxyixyxixd)()(00ixyxixxy00)()(（114

7、 ）（115 ）（116 ）（117 ）（118 ）4、確定點的應力分量 iy)(iiixiy2cos)()()(21（119 ）1x yx22y 2 1 （二）計算步驟和方法 1、把等差線圖和等傾線圖放大成同一比例并在圖上畫出對應的直線。 F=800N f/h=196.510-2MPa2a47.5mm h=6.47mm 2、將直線分為若干等分 3、描出等差線和等傾線4 4、量出量出 11、22、 33、44、5 5 ； 1”1”、 2”2”、 3”3”、4”4”、 5”5”點的等點的等差線級數(shù)值和等傾線值，分別填入表差線級數(shù)值和等傾線值，分別填入表11111 1中，并計算有關點的剪應力數(shù)值。

8、中，并計算有關點的剪應力數(shù)值。1” 0.90 -45.0 -1 -0.45 1 1.10 -23.4 -0.7290 -0.401 2” 1.72 -28.0 -0.8290 -0.713 2 2.03 -19.2 -0.6211 -0.630 3” 2.82 -20.7 -0.6613 -0.932 3 2.92 -13.8 -0.4633 -0.676 4” 4.20 -13.6 -0.4571 -0.959 4 3.80 -8.2 -0.2823 -0.536 5” 4.86 -5.0 -0.1736 -0.422 5 4.15 -2.8 -0.0976 -0.203表111 各點的剪應

9、力值2sinxy2sinxyN點N點5、用公式用公式（114 ）算出各有關點的剪應力差算出各有關點的剪應力差 ，填入表，填入表112中。中。 表112 各點的剪應力差值 0 0.5 -45.0 -1 0 -0.250 -0.25 0 -0.250 1 1.4 -26.0 -0.6639 0.6157 -0.552 -0.049 -0.201 0.862 -1.063 2 2.4 -20.8 -0.6639 0.7501 -0.797 -0.083 -0.118 1.800 -1.918 3 3.4 -14.0 -0.4690 0.8829 -0.801 -0.256 0.138 3.011 -

10、2.873 4 4.3 -6.0 -0.2249 0.9703 -0.524 -0.416 0.554 4.201 -3.647 5 4.8 0 0 1 0 -0.219 0.773 4.800 -4.0272sinxy2cosxyx2cosiNyN點1001)()(xyxyxx0.25-(-0.049)=-0.201(條)； 2002)()(xyxyxx0.201-(-0.083)=0.118(條)。 6、由式（113）算出O點的 , 同時算出其它點的0)(xix)()2cos1 (2)(20 x25. 0)01 (25 . 0(條)；7、由式（119）算出各點的應力分量 yiiixiiix

11、iyhfN2cos)(2cos)()()(21條）(25. 00)()(00 xy（條）（063. 1862. 0201. 02cos)()(1111hfNxy8、根據(jù)表92算出的結果，繪制應分量 、 、 沿直線的分布曲線 。xyxy9、校核 hxhFFyd0內(nèi) 第三節(jié)第三節(jié) 光彈性材料條紋值光彈性材料條紋值 利用對徑受壓的圓盤來求材料條紋值的方法：取一塊和模型同樣的材料，制成一圓盤。圓盤直徑為D，厚度為h，載荷為F。由彈性力學知，在圓盤中心處應力為：DhF21DhF62DhF821根據(jù)式（93）DNFf8PP 1 2Dh對對 徑徑 受受 壓壓 圓圓 盤盤一、該一、該“對徑受壓圓盤對徑受壓圓盤

12、”常被用來常被用來標定模型材料的條紋值。標定模型材料的條紋值。hDPhDP6 221hDNPN8210DNPhf80二、它也是一個較好辨認條紋級數(shù)二、它也是一個較好辨認條紋級數(shù)的構件，因為它的零級條紋較易辨的構件，因為它的零級條紋較易辨認出來，這一點對初學者很有益。認出來，這一點對初學者很有益。圓盤圓盤兩側邊界兩側邊界條紋即為條紋即為零級零級條紋條紋43210模型條紋值模型條紋值材料條紋值材料條紋值 第三節(jié)第三節(jié) 光彈性材料條紋值光彈性材料條紋值 第四節(jié)第四節(jié) 厚度測定法厚度測定法2、若能測出各點在厚度方向的變化值，將其代入廣義虎克走律就可以求、若能測出各點在厚度方向的變化值，將其代入廣義虎克

13、走律就可以求出模型平面內(nèi)的出模型平面內(nèi)的主應力和主應力和。再與。再與等差線等差線代表的各相應點的代表的各相應點的主應力差主應力差位聯(lián)合位聯(lián)合求解，即可得到各點的單個主應力值。求解，即可得到各點的單個主應力值。1、這一方法主要是、這一方法主要是實驗的方法實驗的方法。 當平面模型當平面模型受力受力后，各點的后，各點的應力狀態(tài)應力狀態(tài)不同不同，因此沿各點，因此沿各點厚度厚度方向的方向的變形變形也不一樣。也不一樣。3、模型、模型受力受力后，模型內(nèi)各點沿后，模型內(nèi)各點沿厚度厚度方方向上的相對向上的相對變形變形為為ddd為平面模型內(nèi)某點的厚度變化值，為平面模型內(nèi)某點的厚度變化值，d為模型厚度為模型厚度 4

14、、另、另方面，根據(jù)平面應力狀態(tài)的方面，根據(jù)平面應力狀態(tài)的虎克定律虎克定律沿模型厚度方向的應變?yōu)檠啬Ｐ秃穸确较虻膽優(yōu)椋?1E 5、代入得：、代入得：EEd21 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應力和數(shù)值解法求主應力和（差分法）差分法）根據(jù)彈性力學公式得：根據(jù)彈性力學公式得：02222）（yxyx21yx0212222）（yx已知正應力和為常數(shù)已知正應力和為常數(shù)得：得：21u令：令：則：則：0u2222yxxyB網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分o3142（拉普拉斯方程）（拉普拉斯方程） 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應力和數(shù)值解法求主應力和auuxu010得：得：0u02222yxc300uuxu其兩階導數(shù)為其兩階導數(shù)

15、為accaucuaucacaxuxuxu0310002222xyBa平面受力模型結點劃分平面受力模型結點劃分cdbo3142 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應力和數(shù)值解法求主應力和整理得：整理得：bddbudubudbu0420222y)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuoxyBa平面受力模型結點劃分平面受力模型結點劃分cdbo3142同理得：同理得：取取a=b=c=d:)(414321uuuuuoxyBa平面受力模型結點劃分平面受力模型結點劃分cdbo3142總之，由拉普拉斯方程總之，由拉普拉斯方程212222yxuuyx結點結點O主應力和主應力和uo的差分方程的差分方程)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuo取取a=b=c=d:)(414321uuuuuo 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應力和數(shù)值解法求主應力和 差分法計算過程差分法計算過程1. 劃分