數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用-2018屆高考數(shù)學(xué)（文）30個(gè)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)+Word版含解析【KS5U+高考】

1、2018屆高三數(shù)學(xué)30個(gè)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)考點(diǎn)17 列的求和及綜合應(yīng)用【考點(diǎn)剖析】1最新考試說明：理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2命題方向預(yù)測(cè)：考查數(shù)列的求和方法，以等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式為基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查“錯(cuò)位相減法”“裂項(xiàng)相消法”等求和方法，在此基礎(chǔ)上將數(shù)列與函數(shù)方程、不等式、解析幾何等結(jié)合結(jié)合考查，難度在中等偏上3課本結(jié)論總結(jié)：（1）等差數(shù)列的前和的求和公式：.（2）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和

2、是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.（3）數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差數(shù)列中，；等比數(shù)列中，.（4）解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的基本步驟：審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求通項(xiàng)還是求前n項(xiàng)和；求解求出該問題的數(shù)學(xué)解；還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中具體解題步驟如下框圖：（2）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的常見模型有等差模型；等比模型；混合模型；生長(zhǎng)模型；遞推模型用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是弄清所構(gòu)造的數(shù)列的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后結(jié)合數(shù)列相關(guān)知識(shí)求解4名師二級(jí)結(jié)論：1）公式法：如果

3、一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2）倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ，則

4、兩式錯(cuò)位相減并整理即得.4）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，；（2），特別地當(dāng)時(shí)，；（3）（4）（5）5）分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.6）并項(xiàng)求和法：

5、一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，.7） 在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：(1)在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的

6、特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式8） 易錯(cuò)提示利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不一定為n.5課本經(jīng)典習(xí)題：(1) 新課標(biāo)人教A版第45頁(yè)，

7、例4已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)的值【經(jīng)典理由】很多高考試題，或是這道題的改編、變式，或是其延伸、拓展變式題1已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值【解析】，所以，即數(shù)列前5項(xiàng)和為最大值變式題2在等差數(shù)列中，求的最大值【解法一】由，得：，解得由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有最大值169 (2) 新課標(biāo)人教A版第62頁(yè)，第1題利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證明【經(jīng)典理由】能很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維變式題已知.當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】（）當(dāng)時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和式兩邊同乘以，得 式減去式，得，若，若，6考點(diǎn)交匯展示：(1)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交

8、點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，證明.【答案】（）；（）.【解析】（）解：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.從而切線方程為.令，解得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (2)數(shù)列與解析幾何知識(shí)的交匯已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在拋物線上，各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（）求數(shù)列， 的通項(xiàng)公式；（）記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1） （2） 【解析】（），當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 又各項(xiàng)都為正數(shù)，解得（）【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)1 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1.【2018屆師大附中、閩清一中、金石中學(xué)聯(lián)考卷】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知， ， 是數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求滿足的最

9、大正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2）最大正整數(shù)的值為.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， 得即，從而得等比數(shù)列即可求解；（2），利用等差數(shù)列求和可得，進(jìn)而有，再解不等式即可.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，. . ， ， . 數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. （2）由（1）得： ， . . 令 ，解得： . 故滿足條件的最大正整數(shù)的值為.2.【2018屆江西省贛州市崇義中學(xué)高三上第二次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， ， 等 差數(shù)列中， ，且公差（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）是否存在正整數(shù)，使得?若存在，求出的最小值；若 不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）， ；（2）4【解析】試題分析：（）由可得， 兩式相減得，

10、 ，數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可得的通項(xiàng)公式；（）根據(jù)（）求出，利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前項(xiàng)和，解不等式即可得結(jié)果.試題解析：（） ， 當(dāng)時(shí)， 兩式相減得， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列， ，又， .【方法規(guī)律】常用的等差、等比對(duì)應(yīng)重要性質(zhì)對(duì)比如下：1如果數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列(總有意義)是等比數(shù)列；如果數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列；2在等差數(shù)列中，若特別地，當(dāng)時(shí)，有；在等比數(shù)列中，若特別地，當(dāng)時(shí)，有；3若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則是非零常數(shù)數(shù)列；4等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”即 仍是等差數(shù)列；等比數(shù)列中 仍

11、是等比數(shù)列；【解題技巧】 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題，如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的邏輯次序(2)注意細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的熱點(diǎn)2 數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合1已知，若，則的表達(dá)式為_【答案】2.函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn).（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（I）略；(II) .【解析】（I） 令，由，得，即，而對(duì)

12、于，當(dāng)時(shí)，若，即，則；若，即，則；因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反，于是當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，此時(shí)，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。（II）對(duì)一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立，設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【方法規(guī)律】解決此類問題要抓住一個(gè)中心函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理數(shù)列與函數(shù)的迭代問題：由函數(shù)迭代的數(shù)列問題是進(jìn)幾年

13、高考綜合解答題的熱點(diǎn)題目，此類問題將函數(shù)與數(shù)列知識(shí)綜合起來，考察函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)問題的研究方法在數(shù)列中的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)由函數(shù)性質(zhì)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何的曲線等，另外函數(shù)迭代又有極為深刻的理論背景和實(shí)際背景，它與當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)主流之一的動(dòng)力系統(tǒng)（拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)、微分動(dòng)力系統(tǒng)）密切相關(guān)，數(shù)學(xué)家們極為推崇，函數(shù)迭代一直出現(xiàn)在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，近幾年又頻頻出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試題中【解題技巧】數(shù)列與函數(shù)問題的解題技巧(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、

14、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形(2)解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決熱點(diǎn)3 數(shù)列與不等式相結(jié)合1.【2018屆四川省成都七中高三上入學(xué)考試】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（是常數(shù)， ），又，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的最大值是_.【答案】2【解析】，當(dāng)n=1時(shí), ，解得a1=2c，當(dāng)n=2時(shí),S2=a2+a2c，即a1+a2=a2+a2c，解得a2=3c，3c=6，解得c=2.則a1=4,數(shù)列an的公差d=a2a1=2，an=a1+(n1)d=2n+2.錯(cuò)位相減可得： ,則數(shù)列T

15、n單調(diào)遞增,T1最小,最小值為，m<3，故正整數(shù)m的最大值為2.2.【2018屆安徽省蚌埠市第二中學(xué)高三7月月考】已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】（1）；(2)證明過程見解析試題解析：（1）.，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.，即.(2)證明：，.【方法規(guī)律】與數(shù)列有關(guān)的不等式的命題常用的方法有：比較法(作差作商) 、放縮法、利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個(gè)熱點(diǎn)，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點(diǎn)利用放縮法解決“數(shù)列+不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮【解題技巧】(1)以數(shù)列為背景的不等式恒成

16、立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解；(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，有時(shí)利用放縮法證明【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.【2018屆黑龍江省佳木斯市雞東縣第二中學(xué)高三上第一次月考】在等差數(shù)列中， ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)椋?，因此前項(xiàng)和為，選C.2.【2018屆遼寧省凌源二中高三聯(lián)考】已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為， ，且， ， ， ，若， 恒成立，則的最小值是（ ）A. B. 49 C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)， ，解得： 或 (舍去)，且： ，兩式作差可得： ，整理可得： ，結(jié)合數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可得： ,數(shù)列是首項(xiàng)為3，

17、公比為3的等差數(shù)列， ，則： ，據(jù)此裂項(xiàng)求和有：結(jié)合恒成立的條件可得： .故選C.3.【2018屆河北省邢臺(tái)市高三上第一次月考】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和， ， ，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 相減得 由得出 ， = = 故選D4.【2018屆河南省林州市第一中學(xué)高三8月調(diào)研】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， ，若對(duì)任意的， 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由數(shù)列的遞推公式可得 ： ，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，分組求和可得： ，題中的不等式即恒成立，結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)的取值范圍為 本題選擇B選項(xiàng).5.【百?gòu)?qiáng)?！?0

18、17屆廣東海珠區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研測(cè)試一】公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，且，則為（ ）A20 B22 C24 D28【答案】B 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列,即，,所以等比數(shù)列的公比，,又,故選B. 6已知數(shù)列是1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列設(shè)， ，則當(dāng)Tn>2013時(shí)，n的最小值是（ ）（A）7（B）9（C）10（D）11【答案】C 【解析】，則，而，即，代入檢驗(yàn)知n的最小值是10，故選C7.【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且，（）.若（ ）A是等差數(shù)列 B是等差數(shù)列C是等差數(shù)列 D是等差數(shù)列【答案】A8.

19、【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，則a1= ，S5= .【答案】 【解析】，再由，又，所以9.【2017課標(biāo)3，文17】設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列 的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）先由題意得時(shí)，再作差得，驗(yàn)證時(shí)也滿足（2）由于，所以利用裂項(xiàng)相消法求和.（2）由（1），.10.【2017天津，文18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（）.（）.【解析】試題分析：（）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的公比為，建立方程求解；（）先求的通項(xiàng)，再求 ，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求和.（）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，上述兩式相減，得.得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.11.【2017課標(biāo)II，文17】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為， (1)若 ，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（）bn=2n+1；（）當(dāng)q=-5時(shí)， S3=21.當(dāng)q=4時(shí)， S3=-6.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，表示條件，得關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組得公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可，（2）由等比數(shù)列前三項(xiàng)的和求公比，分類討論，求公差，再根據(jù)等差前三項(xiàng)求和. （2）由b1=1，T1=21得q2+q-