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1、-知識(shí)改變生活 精品word文檔 值得下載 值得擁有-目 錄總體規(guī)劃課程實(shí)施第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ)第二節(jié) 3根指揮棒和12個(gè)直角第三節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題第四節(jié) 欺騙眼睛的幾何問(wèn)題第五節(jié) 抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用第六節(jié) 帕斯卡三角形與道路問(wèn)題第七節(jié) 數(shù) 獨(dú)第八節(jié) 古代數(shù)學(xué)中的算法思想第九節(jié) 算法思想的應(yīng)用第一部分 總體規(guī)劃為了切實(shí)提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,落實(shí)普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn),發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、自主創(chuàng)新、合作探究、提高邏輯思維能上的重要作用,以適應(yīng)未來(lái)學(xué)習(xí)、生活和工作的需要,我們根據(jù)新課標(biāo)中的總體設(shè)計(jì),面向高中一、二年級(jí)的同學(xué)開(kāi)設(shè)校本課程趣味數(shù)學(xué)與

2、推理。趣味數(shù)學(xué)與推理選取不同題材的數(shù)學(xué)故事與實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生在自主閱讀的同時(shí)能夠提高興趣,積極思考,努力探索,找到解決問(wèn)題的方案,同時(shí)提高學(xué)生的思維推理能力,在不知不覺(jué)中感受數(shù)學(xué),融入數(shù)學(xué)。一、課程性質(zhì)數(shù)學(xué)是最重要的學(xué)習(xí)工具,是各門(mén)功課的橋梁與基礎(chǔ)。趣味性與邏輯推理的統(tǒng)一是本課程的基本特點(diǎn)。趣味數(shù)學(xué)與推理一課,旨在通過(guò)對(duì)趣味數(shù)學(xué)故事的研讀與學(xué)習(xí),培養(yǎng)與提高學(xué)生的基本推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和思維發(fā)散的意識(shí),在數(shù)學(xué)的魅力中提高個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而提高人生素養(yǎng)。課本選取的各類(lèi)數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)背景都是非常經(jīng)典的且具有比較高的欣賞學(xué)習(xí)價(jià)值,能夠提高學(xué)生分析問(wèn)題和邏輯推理的能力。用數(shù)學(xué)氛圍去感染學(xué)生,

3、用數(shù)學(xué)情趣去陶冶學(xué)生,用數(shù)學(xué)益智去激勵(lì)學(xué)生,進(jìn)而把學(xué)生一步一步領(lǐng)進(jìn)數(shù)學(xué)的殿堂。二、課程理念1、本著以生為本、主動(dòng)發(fā)展的原則選擇符合學(xué)生需要的知識(shí)內(nèi)容編寫(xiě)課本。2、本著以實(shí)際生活為本,以興趣、求知為基點(diǎn),以能力提高為目標(biāo)開(kāi)展教學(xué)。3、本著學(xué)以致用、理論聯(lián)系實(shí)際、知識(shí)指導(dǎo)生活的原則推動(dòng)每一位學(xué)生主動(dòng)發(fā)展,自我提高。三、課程目標(biāo)1、通過(guò)對(duì)課本的研讀,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)身邊的數(shù)學(xué),感受數(shù)學(xué)無(wú)處不在的實(shí)用性和數(shù)學(xué)在邏輯推理中重要作用,切實(shí)轉(zhuǎn)變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原有的枯燥無(wú)味的看法,真正開(kāi)始喜歡數(shù)學(xué)。2、學(xué)生在喜歡數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,能夠發(fā)揮主觀能動(dòng)性,積極主動(dòng)地思考問(wèn)題、探索問(wèn)題、合作探究問(wèn)題,以尋找解決問(wèn)題的方法,并能開(kāi)

4、拓思維,提高思維創(chuàng)新能力。3、提升學(xué)生的思辨能力和邏輯推理能力,能夠在平時(shí)的學(xué)習(xí)中加以充分應(yīng)用,進(jìn)行主動(dòng)地、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)。第二部分 課程實(shí)施實(shí)施對(duì)象:高一、高二學(xué)生實(shí)施時(shí)間:校本選修課實(shí)施步驟:分四步:1)自行研讀,思考 2)合作探究、推理 3)老師指導(dǎo)、解答 4)創(chuàng)新運(yùn)用、提高實(shí)施計(jì)劃:擬在高一和高二兩個(gè)年級(jí)實(shí)施,共需20課時(shí)。高一、高二年級(jí)每周1課時(shí)。課時(shí)安排:第一節(jié):有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ),2課時(shí)第二節(jié):3根指揮棒和12個(gè)直角,1課時(shí)第三節(jié):數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題,2課時(shí)第四節(jié):欺騙眼睛的幾何問(wèn)題,1課時(shí)第五節(jié):抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,2課時(shí)第六節(jié):帕斯卡三角形與道路問(wèn)題,2課時(shí)第七節(jié):數(shù)獨(dú),4課

5、時(shí)第八節(jié):古代數(shù)學(xué)中的算法思想,2課時(shí)第九節(jié):算法思想的應(yīng)用,2課時(shí)考核:2課時(shí)評(píng)價(jià)與考核本課程采用考核與考試相結(jié)合的評(píng)價(jià)方式。數(shù)學(xué)小論文:由學(xué)生撰寫(xiě)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)小論文,以評(píng)價(jià)學(xué)生的思辨能力和表達(dá)能力。測(cè)試:結(jié)合課本中出現(xiàn)的推理問(wèn)題及所學(xué)的相關(guān)推理知識(shí),以試卷形式,考查學(xué)生的推理能力和解決問(wèn)題的能力,以了解學(xué)生對(duì)該校本課程的掌握。第一節(jié) 有趣的數(shù)學(xué)謎語(yǔ)猜謎是一種非常有趣有益的智力活動(dòng),猜謎語(yǔ)也是鍛煉思維能力的一種好方法。聽(tīng)了謎語(yǔ)以后,就會(huì)動(dòng)腦筋想:這說(shuō)的是什么東西呢?“思源于疑”,“疑”是思維的開(kāi)始,是創(chuàng)造的基礎(chǔ),大家覺(jué)得是不是呢?今天我們就來(lái)猜謎語(yǔ)!先看幾個(gè)簡(jiǎn)單例子:1一加一不是二。(打一

6、字)“一”字、加號(hào)“”、再來(lái)一個(gè)“一”字,組合在一起,得到的字不是“二”,而是“王”。謎底是王。2一減一不是零。(打一字)“一”字、減號(hào)“-”、再來(lái)一個(gè)“一”字,組合在一起,得到的字不是“零”,而是“三”。謎底是三。3八分之七。(打一成語(yǔ))“八分之七”用數(shù)學(xué)符號(hào)寫(xiě)出來(lái),把數(shù)字7寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線上面,8寫(xiě)在分?jǐn)?shù)線下面,謎底是成語(yǔ)“七上八下”。在上面這些謎語(yǔ)里,用一些很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)謎語(yǔ)的文字作出新的理解,可以幫助猜出答案。另外一類(lèi)謎語(yǔ),謎底是數(shù)學(xué)名詞。還是來(lái)看幾個(gè)例子:4七六五四三二一。(打一數(shù)學(xué)名詞)平常報(bào)數(shù)目,是從小到大順著數(shù),就像流行歌曲里唱的,“一二三四五六七,我的朋友在哪里”。現(xiàn)在他說(shuō)“

7、七六五四三二一”,是從大到小,倒過(guò)來(lái)數(shù)了,所以謎底是“倒數(shù)”。5討價(jià)還價(jià)。(打一數(shù)學(xué)名詞)買(mǎi)東西討價(jià)還價(jià),要經(jīng)過(guò)反復(fù)協(xié)商,才能達(dá)成雙方都同意的錢(qián)數(shù)。這種協(xié)商錢(qián)數(shù)的過(guò)程,可以戲稱(chēng)為“商數(shù)”。謎底是商數(shù)。6你盼著我,我盼著你。(打一數(shù)學(xué)名詞)“你盼著我”,是你在等候我;“我盼著你”,是我在等候你。兩人互相等候,可謂“相等”。謎底是相等。7成績(jī)是多少?(打二數(shù)學(xué)名詞)學(xué)習(xí)成績(jī)是用得分的數(shù)目計(jì)算的。問(wèn)“多少”,可以換一個(gè)說(shuō)法,改問(wèn)“幾何?”在中國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)里,問(wèn)一種物品有多少個(gè),總是問(wèn)“物有幾何?”直到現(xiàn)在,有些地區(qū)的方言里,買(mǎi)東西問(wèn)價(jià)錢(qián),還是說(shuō)“幾何?”所以,問(wèn)“成績(jī)多少”,等于是問(wèn)“分?jǐn)?shù),幾何?”

8、謎底是兩個(gè)數(shù)學(xué)名詞:分?jǐn)?shù)、幾何。今天我們見(jiàn)到的謎語(yǔ)都與數(shù)學(xué)有關(guān),被我們稱(chēng)為數(shù)學(xué)謎語(yǔ),根據(jù)謎面和謎底的不同,數(shù)學(xué)謎語(yǔ)有不同的分類(lèi)。同學(xué)們不妨一猜,可在緊張學(xué)習(xí)之余博得一樂(lè),還可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡f(shuō)謎底的時(shí)候,將你的猜謎思路和過(guò)程有條理地向大家展示。一、以數(shù)學(xué)用語(yǔ)為謎底的謎語(yǔ)1. 五角一趟 2. 兩羊打架 3. 完全合算 4. 勤點(diǎn)鈔票5. 兩邊清點(diǎn) 6. 有情人終成眷屬 7. 合法開(kāi)支 8. 打得鴛鴦各一方9. 垂釣 10. 馬術(shù) 11. 戽 12. 歲歲重陽(yáng)今又重陽(yáng)13. 追本溯源 14. 對(duì)癥下藥 15. 多十分 16. 集體釣魚(yú)17. 協(xié)議離婚 18. 打成和局 19. 團(tuán)體

9、賽 20. 刮胡子21. 摩拳擦掌 22. 誰(shuí)押林沖去滄州(打兩個(gè)數(shù)學(xué)用語(yǔ))二、以數(shù)字為謎面的謎語(yǔ)23. 一(打一成語(yǔ)) 24. 十百千(打一成語(yǔ))25. 一二三四五六七九十(打一字) 26. 壹貳叁肆伍陸柒捌玖(打一古書(shū)名)27. 三八二十四(打一體育用語(yǔ)) 28. 7×9(打一古軍事書(shū)名,卷簾格)三、以方程為謎面的謎語(yǔ)29. x=只-吾(打一工業(yè)用語(yǔ)) 30. x=旭÷3(打一化學(xué)用語(yǔ))四、以數(shù)學(xué)家為謎底的謎語(yǔ)31. 東坡游春 32. 回眸一笑百媚生五、以數(shù)學(xué)科目為謎面的謎語(yǔ)33. 解析幾何(打一口頭用語(yǔ))六、以運(yùn)算符號(hào)為謎面的謎語(yǔ)34. +-×(打一成語(yǔ))謎

10、底:1.一元二次(推算法) 2.對(duì)頂角 3.絕對(duì)值 4.常數(shù)(通假法) 5.分?jǐn)?shù) 6.同心圓 7.有理數(shù) 8.公分母 9.等于(通假法) 10.乘法 11.內(nèi)角(分解法) 12.循環(huán)節(jié) 13.求根 14.開(kāi)方 15.余角(換算、通假) 16.公垂線 17.約分 18.平角 19.公共角 20.平角(詞性通假) 21.等角22.兩個(gè)解、差(問(wèn)答法。答曰:兩個(gè)解差,分開(kāi)即是) 23.大有人在 24.萬(wàn)無(wú)一失(別解為沒(méi)有“一”和“萬(wàn)”) 25.口(謎面意為“只”少“八”) 26.拾遺記(意為忘記寫(xiě)“拾”) 27.女子雙打(雙打即兩打,二十四) 28.三十六計(jì)(7×9計(jì)六十三,反序讀之即得)

11、 29.成品(八口減五口為三口,三口即成“品”字) 30.結(jié)晶(九日除以3得3日,結(jié)合為“晶”) 31.蘇步青 32.楊樂(lè) 33.十八斤(謎面別解為把“析”分解開(kāi)是多少?) 34.支離破碎(把支分解開(kāi)即為“+、-、×”) 你能總結(jié)出猜數(shù)學(xué)謎語(yǔ)的基本方法嗎?【猜一猜,練一練】第一組:1.群策群力 2.裁判職責(zé) 3.批準(zhǔn)法規(guī) 4.彈簧彈性5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主動(dòng)爭(zhēng)取 8.聽(tīng)候下令9.財(cái)政赤字 10.偽造賬目 11.追問(wèn)到底 12.準(zhǔn)備參賽13.交換賽場(chǎng) 14.熱身賽 15.團(tuán)體賽 16.互相呼喊17.中秋明月 18.平原鐵道 19.貨真價(jià)實(shí) 20.提弦調(diào)音謎底:1.公理 2.

12、定理 3.定律 4.有限5.無(wú)窮 6.大于號(hào) 7.不等號(hào) 8.等號(hào)9.負(fù)數(shù) 10.無(wú)理數(shù) 11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.對(duì)稱(chēng)17.圓 18.直徑 19.絕對(duì)值 20.正弦第二組:1.斷紗接頭 (打一數(shù)學(xué)名詞)2.抬頭望月 正好初八 (打一三角函數(shù)名)3.一筆債務(wù) (打一數(shù)學(xué)名詞)4.兩牛打架 (打一數(shù)學(xué)名詞)5.大甩賣(mài) (打一數(shù)學(xué)名同)6.再見(jiàn)吧媽媽 (打一數(shù)學(xué)名詞)7.醫(yī)生提筆 (打一數(shù)學(xué)名詞)8.99 (打一成語(yǔ))9.110 (打一成語(yǔ))10.103與1002 (打一成語(yǔ))11.大同小異 (打一數(shù)學(xué)名詞)12.并駕齊驅(qū) (打一數(shù)學(xué)名詞)13.周而復(fù)始 (打

13、一數(shù)學(xué)名詞)14.考試不作弊 (打一數(shù)學(xué)名詞)15.夏周之間 (打一數(shù)學(xué)名詞)16.捷道 (打一數(shù)學(xué)名詞)17.算盤(pán)珠 (打一數(shù)學(xué)名詞)18.聯(lián)合國(guó)憲章 (打一數(shù)學(xué)名詞)19.歲歲重陽(yáng),今又重陽(yáng) (打一數(shù)學(xué)名詞)謎底:1.延長(zhǎng)線;2.正弦;3.負(fù)數(shù);4.對(duì)頂角;5.絕對(duì)值;6.分子分母;7.開(kāi)方;8.百無(wú)一是;9.一成不變; 10.千變?nèi)f化;11.近似;12.平行;13.循環(huán);14.真分?jǐn)?shù); 15.商; 16.直徑; 17.代數(shù);18.最大公約數(shù); 19.循環(huán)節(jié)。【數(shù)學(xué)謎語(yǔ)集錦】(一)、打數(shù)學(xué)名詞方面的1.五四三二一; 2.缺了會(huì)計(jì); 3.郵寄賬本; 4.信件統(tǒng)計(jì); 5.替人查賬; 6.查賬;

14、 7.開(kāi)獎(jiǎng); 8.算術(shù)老師的教鞭; 9.一筆債務(wù); 10.商店盤(pán)貨; 11.用; 12.同室操戈;13.團(tuán)體賽; 14.兵對(duì)兵,將對(duì)將; 15.左右?jiàn)A攻; 16.重判;17.輕判; 18.車(chē)站告示; 19.背著喇叭; 20.待命沖鋒;21.朱元璋登基; 22.婚姻法; 23.演員招考制度; 24.五角;25.員;26.刀口; 27.海峽兩岸盼統(tǒng)一; 28.有情人終成眷屬;29.馬路沒(méi)彎兒;30.兩個(gè)寨子隔條崗,南寨沒(méi)有北寨強(qiáng);南寨好漢有五條,不及北寨人一雙。31.健全法制; 32.兒童儲(chǔ)蓄; 33.聚散無(wú)常; 34.千絲萬(wàn)縷;35.身高; 36.會(huì)談; 37.欲言又止; 38.保持距離,同時(shí)起

15、飛;39.五角錢(qián)一趟; 40.浮萍; 41.互盼; 42.合家歡;43.恰如其分; 44.一望無(wú)際; 45.一模一樣; 46.哨聲響了;47.減法沒(méi)算對(duì); 48.垂釣; 49.走致富之路; 50.北;51.抬頭望月,正好初八; 52.二胡調(diào)音; 53.時(shí)刻盼望上戰(zhàn)場(chǎng)(打數(shù)學(xué)二名詞); 54.丞(打數(shù)學(xué)三名同); 55.一個(gè)郵遞員掀起了信箱的蓋子,在清點(diǎn)有多少信件。你能根據(jù)這一情況猜出三個(gè)數(shù)學(xué)名詞嗎?(二)、打數(shù)學(xué)家名字方面的1.虎丘游春;2.博覽群書(shū)。(三)、打其它方面的1.八十五(打一影片名); 2.三八二十四(打一體育名詞);3.四加四(打一字);4.+-×÷(打一政治

16、名詞); 5.圓規(guī)畫(huà)雞蛋(打一城市名稱(chēng)); 6.力(打一珠算口訣);7.千古興亡多少事(打三學(xué)科名稱(chēng));8.向陽(yáng)村和青松村比賽籃球。向陽(yáng)隊(duì)是東方鄉(xiāng)的冠軍,而青松隊(duì)是長(zhǎng)豐鄉(xiāng)的冠軍,這場(chǎng)兩個(gè)冠軍隊(duì)的比賽打得非常激烈、精彩,每球必爭(zhēng),比分不相上下,直到最后一分鐘,向陽(yáng)隊(duì)罰進(jìn)一球才分出勝負(fù)。當(dāng)有人問(wèn)起勝負(fù)情況和比分時(shí),向陽(yáng)隊(duì)的球員說(shuō),這次比賽是“白”字比“雜”字,我們只贏了一分。你知道兩個(gè)隊(duì)各得幾分?謎底:(一)、1.倒數(shù):2.無(wú)理數(shù);3.函數(shù);4.函數(shù);5.代數(shù);6.對(duì)數(shù);7.對(duì)數(shù);8.指數(shù):9.負(fù)數(shù);10.復(fù)數(shù); 11.半角; 12. 內(nèi)角; 13.公共角;14.同位角;15.兩面角;16.加法(

17、謎面意即“加罰”,“罰”與“法”諧音);17.減法;18.乘法(乘車(chē)方法,取乘法);19.負(fù)號(hào);20.等號(hào);21.消元;22.結(jié)合律;23.優(yōu)選法;24.半圓;25.圓心;26.切點(diǎn);27.同心圓;28.同心圓;29.直徑;30.算盤(pán);31.圓規(guī);32.微積分;33.不定積分;34.繁分式;35.立體幾何;36.集合論;37.控制論;38.平行;39.一元二次;40.不定根;41.相等;42.共圓;43.精確值;44.無(wú)窮大;45.全等;46.集合;47.誤差;48.等于(“于”與“魚(yú)”諧音);49.趨向無(wú)窮;50.反比(反扣法,“北”反為“比”);51.正弦(假借法,因?yàn)槌醢嗽铝潦巧舷?,“?/p>

18、”含“正”,故為“正弦”);52.正弦;53.等角、正切;54.大于、小于、分子(用增損法猜測(cè));55.開(kāi)立方、函數(shù)、幾何。(二)、1.蘇步青;2.張廣厚。(三)、1.月到中秋;2.女子雙打(“三八”扣“女子”,“二十四”扣“雙打”,因?yàn)槭橐淮颍?.積(“四加四”和是八,再由“和八”拼成“積”字);4.分裂主義;5.太原(“原”與“圓”諧音);6.二一添作五;7.歷史、代數(shù)、幾何;9.九十九比九十八(“白”是“百”減“一”:“雜”是“九”、“十”、“八”的組合)。注:1、不同的謎面有時(shí)有相同的謎底;2、同一個(gè)謎面它的謎底有時(shí)是由幾部分組成的,且這幾部分都是并列的,必須都猜出來(lái)才算全對(duì);3

19、、第五十五個(gè)謎語(yǔ)屬啞謎,最后一個(gè)謎語(yǔ)屬故事謎。猜數(shù)學(xué)謎語(yǔ)可鍛煉思維能力,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在猜謎的過(guò)程中,有時(shí)需要一步步地深入,前面猜測(cè)的結(jié)果可能成為下一步的前提。因此,算法思想始終滲透在數(shù)學(xué)謎語(yǔ)中,條理清晰,理由充分,推理正確,才能一步步地貼近謎面。同時(shí),請(qǐng)學(xué)生表述答案的過(guò)程是提高表達(dá)能力的過(guò)程。第二節(jié) 3根指揮棒和12個(gè)直角英國(guó)發(fā)明家瓦特(17361819)獲得了蒸汽機(jī)專(zhuān)利后,從一個(gè)大學(xué)實(shí)驗(yàn)員一躍成為波士頓瓦特公司的老板,還成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員,引起了許多舊貴族的不滿。據(jù)說(shuō),在一次皇家音樂(lè)會(huì)上,有個(gè)貴族故意嘲諷地對(duì)瓦特說(shuō):“樂(lè)隊(duì)指揮手里拿的東西在物理學(xué)家眼里僅僅是根棒子而已?!蓖咛鼗卮?/p>

20、道:“是的,那的確是根棒子但是我可以用這樣3根棒子組成12個(gè)直角,而你卻不能做到?!蹦莻€(gè)貴族不服氣地用3根指揮棒在桌上擺來(lái)擺去,可始終無(wú)法擺出12個(gè)直角。 你能拼出12個(gè)直角嗎?試試看!下面我們一起來(lái)討論一下:如果把圖1中最下面的一根指揮棒向左平移,就擺成了6個(gè)直角(見(jiàn)圖2)。如果把圖2中最下面的指揮棒往上平移,就可以擺出8個(gè)直角(見(jiàn)圖3)。這時(shí)候,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),在桌面無(wú)論怎樣擺法,直角數(shù)都不會(huì)超過(guò)8個(gè)。于是,我們可以得出結(jié)論:在桌面上,無(wú)法用3根指揮棒拼出12個(gè)直角。圖1 圖2 圖3 但是,瓦特并沒(méi)有說(shuō)“我能在桌面上拼出12個(gè)直角!”因此,我們應(yīng)該離開(kāi)桌面來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。我

21、們重新來(lái)考慮一下:如果把2根指揮棒十字交叉地放在桌面上,另一根指揮棒的一端擺在前2根指揮棒的交叉處并使這根棒與桌面垂直(如圖4),這時(shí)拼出的直角也是8個(gè)。如果把擺在桌面上的兩根指揮棒離開(kāi)桌面,緊挨著與桌面垂直的小棒向上方平移(如圖5)。那么,這時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn),12個(gè)直角出現(xiàn)了。 圖4 圖5一位心理學(xué)家曾經(jīng)出過(guò)這樣一個(gè)測(cè)驗(yàn)題:在一塊土地上種植四棵樹(shù),使得每?jī)煽脴?shù)之間的距離都相等.受試的學(xué)生在紙上畫(huà)了一個(gè)又一個(gè)的幾何圖形:正方形、菱形、梯形、平行四邊形然而,無(wú)論什么四邊形都不行。這時(shí),心理學(xué)家公布出了答案,其中一棵樹(shù)可以種在山頂上!這樣,只要其余三棵樹(shù)與之構(gòu)成正四面體的話,就能符合題意要求了。這些受

22、試的學(xué)生考慮了那樣長(zhǎng)的時(shí)間卻找不到答案,原因在于他們沒(méi)有學(xué)會(huì)使用一種創(chuàng)造性的方法立體思維法。人們進(jìn)行思維活動(dòng)時(shí)總會(huì)受過(guò)去的生活經(jīng)驗(yàn)和已有思維方法的影響。對(duì)于這些受試者來(lái)說(shuō),平面幾何是他們比較熟悉的知識(shí)。于是,當(dāng)他們碰到幾何問(wèn)題的時(shí)候,也往往先從平面幾何而不是立體幾何的角度來(lái)進(jìn)行思考。這時(shí),為他們所牢固掌握的平面幾何也就成了他們思考問(wèn)題的框框,于是也就想不出正確的結(jié)果來(lái)。立體思維要求人們跳出點(diǎn)、線、面的限制,有意識(shí)地從上下左右、四面八方各個(gè)方向去考慮問(wèn)題,也就是要“立起來(lái)思考”。其實(shí),有不少東西都是躍出平面,伸向空間的結(jié)果。小到彈簧、發(fā)條,大到奔馳長(zhǎng)嘯的列車(chē),聳入云天的摩天大廈最典型的要數(shù)電子王

23、國(guó)中的“格里佛小人”集成電路了。在電子線路板上也制造出立體形的,它不僅在上下兩面有導(dǎo)電層,而且在線路板的中間設(shè)有許多導(dǎo)電層,從而大大節(jié)約了原材料,提高了效率。從大的來(lái)說(shuō)有立體網(wǎng)箱養(yǎng)魚(yú)技術(shù)、大型立交橋等。杭州市青少年業(yè)余發(fā)明學(xué)校的學(xué)生利用立體思維發(fā)明了立體文具盒、立體工具箱、立體報(bào)刊架等,收到了明顯的效果??茖W(xué)家在研制飛機(jī)、導(dǎo)彈和衛(wèi)星時(shí)需要運(yùn)用非常復(fù)雜的電于設(shè)備,裝配這些設(shè)備往往需要幾十萬(wàn)甚至幾百萬(wàn)個(gè)晶體管、電阻、電容等電子元件,這樣的設(shè)備體積十分龐大,攜帶和使用也不方便。后來(lái),他們將各種電子元件由平面式的接線方式改為立體式的連接,充分利用真空擴(kuò)散、表面處理等方法,制成了平面型的晶體管、電阻、電

24、容。這些很薄很薄的元件通過(guò)層層重疊的方式組裝起來(lái),就構(gòu)成了微型組合電路,再在一個(gè)單晶硅片上做成集成電路。這樣,一個(gè)5平方毫米的硅片上可集成27000個(gè)元件。正是由于有了這種集成電路才有了電子手表、電子計(jì)算器等袖珍電子產(chǎn)品。課后,請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問(wèn)題:我們知道,以3根火柴為邊可以組成一個(gè)三角形。那么,用6根火柴能組成4個(gè)三角形嗎?第三節(jié) 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單邏輯推理問(wèn)題一、“被墨水蓋住”的算式如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領(lǐng),不但應(yīng)具有非凡的推理能力,還要懂得大量的其他知識(shí)。然而,只要你有心,也可以破譯一些簡(jiǎn)單的密碼。 現(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)例子:據(jù)傳說(shuō),英國(guó)物理學(xué)家牛頓(16421727)小

25、的時(shí)候,學(xué)習(xí)成績(jī)幾乎在學(xué)校是倒數(shù)第一。后來(lái)他下決心改變這一令人沮喪的狀況。有一次,他把自己的作業(yè)做得干凈整齊,沒(méi)有任何錯(cuò)誤,但正當(dāng)他把筆和本子收起來(lái)時(shí),糟糕的事情發(fā)生了:墨水灑了,正好在他的一道算術(shù)題上留下了一塊墨跡。下圖顯示了這個(gè)令人不快的結(jié)果。式中只剩下了3個(gè)數(shù)字較為清晰。小牛頓盡了一切努力,最后終于記起來(lái)整道題湊巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10個(gè)數(shù)字,一樣一個(gè)。如果這是一種從0到9這10個(gè)數(shù)字編制的密碼,你能破譯出被墨水蓋住的都是哪些數(shù)字嗎?由于被墨水蓋住的是10個(gè)數(shù)字,所以原式應(yīng)為:2 8 ?+?4? 我們可以把這個(gè)算式寫(xiě)成:28A+CB4GFED其中每個(gè)

26、英文字母分別表示數(shù)字0、1、3、5、6、7、9中的某一個(gè)。我們先考慮千位上的G。兩個(gè)三位數(shù)相加,和是四位數(shù),由于兩個(gè)百位上的數(shù)相加,和最多向千位進(jìn)1,所以,G只能是1,這時(shí),算式就成了:28A+CB41FED 再看百位上的C和F。如果要保證向千位進(jìn)1,C不能小于7,即C只可能是7或9中的一個(gè)。設(shè)C=9,那么如果十位不進(jìn)位到百位,F(xiàn)=1;如果十位進(jìn)位到百位,F(xiàn)=2。這都和已知的數(shù)字重復(fù)。所以C9。所以C=7,F(xiàn)=0。即28A+7B410ED這時(shí),B可能是3、5、6、7中的某一個(gè)。如果B=3,那么應(yīng)有E=1或2,但這不可能;如果B=5,那么E=3,但6+49,9+46;如果B=6,那么E

27、=5,這時(shí)令A(yù)=9,則有D=3。整理出來(lái)就是:A=9,B=6,C=7,D=3,E=5,F(xiàn)=0,G=1。于是,小牛頓的算式應(yīng)為:289+7641053二、問(wèn)路問(wèn)題有這樣一個(gè)故事:在太平洋中有AB兩個(gè)相鄰的小島。A島居民都是誠(chéng)實(shí)的人,B島的居民都是騙子。當(dāng)你問(wèn)一個(gè)問(wèn)題時(shí),A島的居民會(huì)告訴你正確的答案,而B(niǎo)島的居民給你的答案都是錯(cuò)誤的。一天,一個(gè)旅游者獨(dú)自登上了兩島中的某個(gè)島。他分辨不清這個(gè)島是A島還是B島,只知道這個(gè)島上的人既有本島的居民又有另一島的來(lái)客。他想問(wèn)島上的人“這是A島還是B島?”卻又無(wú)法判斷被問(wèn)者的答案是否正確。旅游者動(dòng)腦筋想了會(huì)一兒,終于想出一個(gè)辦法,他只需要問(wèn)他所遇到的任意一人一句

28、話,就能從對(duì)方的回答中準(zhǔn)確無(wú)誤地?cái)喽ㄟ@里是哪個(gè)島。你能猜出旅游者所問(wèn)的問(wèn)題嗎?如果旅游者直接問(wèn)“這是A島還是B島?”那么當(dāng)被問(wèn)者是A島人時(shí),他會(huì)得到正確的回答;當(dāng)被問(wèn)者是B島人時(shí),他會(huì)得到錯(cuò)誤的回答。兩種回答截然相反,而旅游者又無(wú)法知道他得到的答案對(duì)不對(duì),因此這樣問(wèn)話達(dá)不到問(wèn)路的目的。聰明的旅游者的問(wèn)話是,“你是這個(gè)島的居民嗎?”如果對(duì)方回答“是”,那么這個(gè)島一定是A島;如果對(duì)方回答“不是”,那么這個(gè)島一定是B島。你能說(shuō)出這是為什么嗎?下面我們就對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行分析:我們知道,旅游者提出問(wèn)題時(shí)并不知道提問(wèn)地是何島,也不知道被問(wèn)者是何島居民。他要從所聽(tīng)到的第一句回答來(lái)判斷問(wèn)話地是何島。因此,所提

29、問(wèn)題的答案必須是因提問(wèn)地而異,而不由被問(wèn)者是A島居民或是B島居民發(fā)生變化。根據(jù)上述特點(diǎn),我們?cè)O(shè)法找到這樣的問(wèn)題:1、使得在A島提問(wèn)時(shí),被問(wèn)者(不論是何島居民)都回答同樣的一種答案;2、在B島提問(wèn)時(shí),被問(wèn)者都回答另一種答案。于是,我們就可以根據(jù)任一人的回答來(lái)判斷提問(wèn)地為何島了。顯然,這樣的問(wèn)題必須與提問(wèn)地相關(guān),并且還要與被問(wèn)者有關(guān),如果在A島提出這樣的問(wèn)題時(shí),A島居民應(yīng)作肯定回答(B島居民也會(huì)作肯定回答,但這種回答與客觀實(shí)際相反),那么在B島提出同一問(wèn)題時(shí),A島居民應(yīng)作否定回答(B島居民也會(huì)做否定回答,但回答與實(shí)際情況相反)?!澳闶沁@個(gè)島的居民嗎?”這一問(wèn)題就是一個(gè)滿足以上要求的問(wèn)題,我們通過(guò)下

30、表表示在不同的提問(wèn)地的不同的被問(wèn)者對(duì)問(wèn)題的相應(yīng)回答。問(wèn)題:你是這個(gè)島的居民嗎?問(wèn)話地被問(wèn)者A島居民B島居民A島回答是是B島不是不是由上表可以一目了然地發(fā)現(xiàn):在A島提問(wèn)時(shí),回答總為“是”;在B島提問(wèn)時(shí),回答總為“不是”。這就為旅游者判斷提問(wèn)地是哪個(gè)島提供了依據(jù),于是“問(wèn)路問(wèn)題”得以解決。請(qǐng)想一想,如果旅游者的問(wèn)題為“你是相鄰的另一島上的居民嗎?”,那么能根據(jù)任一人的回答來(lái)判斷提問(wèn)地是何島嗎?為什么?試通過(guò)列表的方式說(shuō)明理由。數(shù)學(xué)中有個(gè)分支叫做數(shù)理邏輯,它通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)研究邏輯規(guī)律。在數(shù)理邏輯中,列表法是一種基本的研究方法,只是其中表的形式與本文中的表有許多不同,使用了一些有關(guān)命題、真值的抽象符號(hào)

31、,但其基本思想與我們用表討論問(wèn)題的思想是大體一致的,都是通過(guò)列表來(lái)分析和說(shuō)明問(wèn)題。數(shù)學(xué)是以邏輯推理為重要研究方法的學(xué)科。所謂邏輯推理,就是合乎事理的、有根有據(jù)的推導(dǎo)判斷。上面的兩個(gè)問(wèn)題正是運(yùn)用到邏輯推理的問(wèn)題,同學(xué)們應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意提高自己的邏輯推理能力,使自己勤于思考并且善于思考,成為聰明人。第四節(jié) 欺騙眼睛的幾何問(wèn)題生活中我們常常相信親眼所見(jiàn),但又常常為自己的眼睛所騙,魔術(shù)就是一個(gè)很好的例子。數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù),我們先看一個(gè)問(wèn)題:?jiǎn)栴}1:在下面的兩個(gè)圖形中,如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開(kāi)來(lái)重新拼接成圖2,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),與圖1相比,圖2多出了一個(gè)洞!這怎么可能呢?我

32、們自然會(huì)提出這樣的疑問(wèn)。奧妙何在我們姑且按下不表,讓同學(xué)們先動(dòng)動(dòng)腦子!上面的題目有些復(fù)雜,下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題。問(wèn)題2:將圖3中面積為13×13=169的正方形裁剪成圖中標(biāo)出的四塊幾何圖形,然后重新拼接成圖4,計(jì)算可知長(zhǎng)方形的面積為8×21168,比正方形少了一個(gè)單位的面積,非常不可思議,這是為什么呢?這兩個(gè)問(wèn)題是這樣的令人驚奇和難以理解,值得我們花費(fèi)一些時(shí)間動(dòng)手按照所說(shuō)的剪裁方法做一做。我們先來(lái)分析一下問(wèn)題2:我們?cè)诎准埳蠈⒄叫瘟亢卯?huà)出,剪成四塊,重新安排后拼成長(zhǎng)方形,除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確,我們一般是不會(huì)發(fā)現(xiàn)拼接成的長(zhǎng)方形在對(duì)角線附近發(fā)生了

33、微小的重疊,正是沿對(duì)角線的微小重疊導(dǎo)致了一個(gè)單位面積的丟失。要證實(shí)這一點(diǎn)我們只要計(jì)算一下長(zhǎng)方形對(duì)角線的斜率和正方形拼接各片相應(yīng)邊的斜率,比較一下就會(huì)清楚了。問(wèn)題2中涉及到四個(gè)數(shù)據(jù)5、8、13和21,有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)會(huì)認(rèn)出這是著名的斐波那契數(shù)列中的四項(xiàng),斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和:1,1,2,3,5,8,13,21,34,。我們還可以使用這個(gè)數(shù)列中的其他相鄰四項(xiàng)來(lái)試驗(yàn)這個(gè)過(guò)程,無(wú)論選取哪四項(xiàng),都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長(zhǎng)方形的面積是不會(huì)相等的,有時(shí)正方形的面積比長(zhǎng)方形多一個(gè)單位面積,有時(shí)則正好相反。多做幾次上述實(shí)驗(yàn),我們就會(huì)得出斐波那契數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì):這個(gè)數(shù)列任意一項(xiàng)的平方等于

34、它前后相鄰兩項(xiàng)之積加1或減1。用公式表示就是:。其中表示正方形的面積,表示長(zhǎng)方形的面積。知道了這個(gè)事實(shí),我們就可以自己構(gòu)造類(lèi)似于問(wèn)題2的幾何趣題。上面的這個(gè)斐波那契數(shù)列是以1,1兩數(shù)開(kāi)始的,廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù)開(kāi)始。比如說(shuō),用廣義斐波那契數(shù)列2,2,4,6,10,16,做上述試驗(yàn),就會(huì)多得或丟失四個(gè)單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項(xiàng),以x表示“得”或“失”的數(shù)字,則下列兩式成立: 。我們還可以來(lái)研究這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題:把正方形按上述方法剪成四塊,是否會(huì)拼接成一個(gè)與它面積相等的長(zhǎng)方形?要回答這個(gè)問(wèn)題,可以令方程組中的x等于零,再解之得唯一正解是:。其中恰是著名

35、的黃金分割比,通常用 來(lái)表示,它是一個(gè)無(wú)理數(shù),等于1.618033。這就是說(shuō),唯一的每項(xiàng)平方等于前后相鄰兩項(xiàng)之積的斐波那契數(shù)列是:1,。要證明它的確是斐波那契數(shù)列,只要證明它等價(jià)于數(shù)列1,+1,2+1,3+2,就可以了。只有用這個(gè)數(shù)列相鄰項(xiàng)數(shù)表示的長(zhǎng)度來(lái)分割正方形,才可以拼出面積不變的長(zhǎng)方形。我們?cè)倩氐絾?wèn)題1,題中涉及到的數(shù)據(jù)1,1,2,3,5,8,13恰是斐波那契數(shù)列的前七項(xiàng),因此問(wèn)題1實(shí)際上是問(wèn)題2的一個(gè)復(fù)雜化版本,計(jì)算一下圖中兩個(gè)大小三角形斜邊的斜率,那么一開(kāi)始的疑問(wèn)已不講自明。         &

36、#160;        最后再給喜歡思考的同學(xué)提出一個(gè)與前兩個(gè)問(wèn)題略有不同的問(wèn)題 3,圖5這個(gè)正方形按圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形,剪開(kāi)后重新拼接成圖6,奇怪,又多出了一個(gè)洞!這次斜線處并無(wú)疊合,少掉的一個(gè)單位面積哪里去了呢?這個(gè)問(wèn)題最初是由美國(guó)魔術(shù)師保羅卡瑞提出的,雖然它曾經(jīng)難倒了許多美國(guó)人,但相信它難不倒聰明的中國(guó)學(xué)生。為幫助大家思考,提示一下:不要忘了計(jì)算!最后送給大家一句華羅庚教授的話:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”。第五節(jié) 抽屜原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 “任意367個(gè)人中,必有生日相同的人?!薄皬娜我?雙手套中任

37、取6只,其中至少有2只恰為一雙手套。”“從數(shù)1,2,10中任取6個(gè)數(shù),其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?!贝蠹叶紩?huì)認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢?這個(gè)原理叫做抽屜原理。抽屜原理又稱(chēng)鴿籠原理或狄利克雷原理,它是數(shù)學(xué)中證明存在性的一種特殊方法。它的內(nèi)容可以用形象的語(yǔ)言表述為:“把m個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里(m>n),那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)東西?!迸e個(gè)最簡(jiǎn)單的例子,把3個(gè)蘋(píng)果按任意的方式放入兩個(gè)抽屜中,那么一定有一個(gè)抽屜里放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果。這是因?yàn)槿绻恳粋€(gè)抽屜里最多放有一個(gè)蘋(píng)果,那么兩個(gè)抽屜里最多只放有兩個(gè)蘋(píng)果。運(yùn)用同樣的推理可以得到:原理1 把

38、多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。原理2 把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+l個(gè)的物體。下面我們用抽屜原理來(lái)分析前面的例子:第一個(gè)結(jié)論中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入366個(gè)抽屜,至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中,不妨想象將5雙手套分別編號(hào),即號(hào)碼為1,2,5的手套各有兩只,同號(hào)的兩只是一雙。任取6只手套,它們的編號(hào)至多有5種,因此其中至少有兩只的號(hào)碼相同。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜,至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。例:利用上述原理證明:“任意7

39、個(gè)整數(shù)中,至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?!狈治觯阂?yàn)槿我徽麛?shù)除以3時(shí)余數(shù)只有0、1、2三種可能,所以7個(gè)整數(shù)中至少有3個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同,即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。如果問(wèn)題所討論的對(duì)象有無(wú)限多個(gè),抽屜原理還有另一種表述:“把無(wú)限多個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜(n是自然數(shù)),那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無(wú)限多個(gè)東西。”抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素,易于接受,它在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來(lái)解決。一、抽屜原理和六人集會(huì)問(wèn)題1958年6/7月號(hào)的美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上有這樣一道題目:“證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上,或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí),或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)。”這個(gè)問(wèn)題可以用如下

40、方法簡(jiǎn)單明了地證出:在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會(huì)的任意6個(gè)人。如果兩人以前彼此認(rèn)識(shí),那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線;否則連一條藍(lán)線??紤]A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線AB,AC,.,AF,它們的顏色不超過(guò)2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色,不妨設(shè)AB,AC,AD同為紅色。如果BC,BD,CD3條連線中有一條(不妨設(shè)為BC)也為紅色,那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形,A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí):如果BC、BD、CD3條連線全為藍(lán)色,那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形,B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)。不論哪種情形發(fā)生,都符合問(wèn)題的結(jié)論。圖1六人集會(huì)

41、問(wèn)題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個(gè)最簡(jiǎn)單的特例,這個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明思想可用來(lái)得出另外一些深入的結(jié)論。這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容-拉姆塞理論。從六人集會(huì)問(wèn)題的證明中,我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。二、抽屜原理與“電腦算命”“電腦算命”看起來(lái)挺玄乎,只要你報(bào)出自己出生的年、月、日和性別,一按按鍵,屏幕上就會(huì)出現(xiàn)所謂性格、命運(yùn)的句子,據(jù)說(shuō)這就是你的“命”。其實(shí)這充其量不過(guò)是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說(shuō)明它的荒謬。如果以70年計(jì)算,按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70×365×251100,我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國(guó)現(xiàn)有人口11億,我們把

42、它作為“物體”數(shù)。由于1.1×=21526×51100+21400,根據(jù)原理2,存在21526個(gè)以上的人,盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機(jī)遇各不相同,但他們卻具有完全相同的“命”,這真是荒謬絕倫!在我國(guó)古代,早就有人懂得用抽屜原理來(lái)揭露生辰八字之謬。如清代陳其元在庸閑齋筆記中就寫(xiě)道:“余最不信星命推步之說(shuō),以為一時(shí)(注:指一個(gè)時(shí)辰,合兩小時(shí))生一人,一日生十二人,以歲計(jì)之則有四千三百二十人,以一甲子(注:指六十年)計(jì)之,止有二十五萬(wàn)九千二百人而已,今只以一大郡計(jì),其戶口之?dāng)?shù)已不下數(shù)十萬(wàn)人(如咸豐十年杭州府一城八十萬(wàn)人),則舉天下之大,自王公大人以至小民,何啻億萬(wàn)萬(wàn)人,則生時(shí)同

43、者必不少矣。其間王公大人始生之時(shí),必有庶民同時(shí)而生者,又何貴賤貧富之不同也?”在這里,一年按360日計(jì)算,一日又分為十二個(gè)時(shí)辰,得到的抽屜數(shù)為60×360×12259200。所謂“電腦算命”,不過(guò)是把人為編好的算命語(yǔ)句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里,誰(shuí)要算命,即根據(jù)出生的年月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現(xiàn)代科學(xué)光環(huán)的勾當(dāng),是對(duì)科學(xué)的褻瀆。第六節(jié) 帕斯卡三角形與道路問(wèn)題蘇珊很為難,她步行去學(xué)校,路上老是遇到斯廷基。斯廷基:“嘿嘿,蘇珊,我可以陪你一起走嗎?”蘇珊:“不!請(qǐng)走開(kāi)?!碧K珊心

44、想:我有辦法了,每天早上我走不同的路線去學(xué)校,這樣斯廷基就不知道在哪兒找到我了。下面這張地圖表示蘇珊的住所和學(xué)校之間的所有街道,蘇珊去學(xué)校時(shí),走路的方向總是朝南或朝東,她總共有多少條路線呢?蘇珊:“我真想知道有多少條路線可走,讓我想一想,要算出多少條路線看來(lái)并不簡(jiǎn)單。嗯,啊哈!一點(diǎn)不難,簡(jiǎn)單得很!”蘇珊想到了什么好主意呢?她的推理如下:蘇珊:“在我家這個(gè)角點(diǎn)上寫(xiě)一個(gè)1,因?yàn)槲抑荒軓倪@一點(diǎn)出發(fā),然后在與此相隔一個(gè)街區(qū)的兩個(gè)角點(diǎn)上各寫(xiě)一個(gè)1,因?yàn)榈侥抢镏挥幸粭l途徑?,F(xiàn)在,我在這個(gè)角點(diǎn)上寫(xiě)上2,因?yàn)榈竭_(dá)那里可以有兩條途徑。蘇珊發(fā)現(xiàn)2是1加1之和,她忽然領(lǐng)悟:若到某一個(gè)僅有一條途徑,則該角點(diǎn)上的數(shù)字為

45、前一個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字;若有兩條途徑,則為前兩個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字之和。蘇珊:“瞧,又有四個(gè)角點(diǎn)標(biāo)上了數(shù)字,我馬上把其他角點(diǎn)也標(biāo)上數(shù)字?!闭?qǐng)你替蘇珊把剩下的角點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字,并且告訴她步行到學(xué)校共有多少條不同的路線。蘇珊的家H1112131 1? ? ? 3  ?學(xué)校G剩下的5個(gè)點(diǎn),自上而下,從左至右分別標(biāo)以1,4,10,5,15。最后一點(diǎn)上的15表示蘇珊去學(xué)校共有十五條最短路徑。蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡(jiǎn)單的算法,用來(lái)計(jì)算從她家到學(xué)校的最短路徑共有多少條。要是她把這些路徑一條一條地畫(huà)出來(lái),然后再計(jì)數(shù),這樣肯定麻煩,還容易出錯(cuò)。如果街道的數(shù)目很多,那么這種方法根本就行

46、不通。你不妨把這十五條路線都畫(huà)出來(lái),這樣你就更能體會(huì)到蘇珊的算法是多么地有效了。你對(duì)這種算法是否已經(jīng)理解,可以再畫(huà)一些不同的街道網(wǎng)絡(luò),然后用這種算法來(lái)確定從任意點(diǎn)A到另一任意點(diǎn)B的最短路線共有多少條。網(wǎng)絡(luò)可以是矩形網(wǎng)格,三角形網(wǎng)格,平行四邊形網(wǎng)格和蜂窩狀的正六邊形網(wǎng)格。也可以用其他方法(例如組合公式)求解,但這種方法十分復(fù)雜,需要很高的技巧。在國(guó)際象棋棋盤(pán)上,“車(chē)”從棋盤(pán)的一角到對(duì)角線上另一角的最短路徑共有多少條?就像蘇珊給街道交點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字一樣,把棋盤(pán)上所有格子也都填上數(shù)字,于是問(wèn)題就迎刃而解了?!败?chē)”只能沿著右上方向朝另一個(gè)角的目標(biāo)移動(dòng),便可以求出共有多少條最短路徑。如圖所示:1836120

47、33079217163432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車(chē)1111111把整個(gè)棋盤(pán)正確標(biāo)號(hào),根據(jù)所標(biāo)的數(shù)字,一眼就能看出在棋盤(pán)上從一個(gè)角出發(fā)到任意一角,有多少條最短路線.右上角的數(shù)字是3432,所以“車(chē)”從一角到對(duì)角線的另一角的最短路徑共有3432條。讓我們把棋盤(pán)沿著左上至右下的對(duì)角線一截為二,使其成為如下圖所示的陣列。此三角形上的數(shù)字與著名的帕斯卡三角形(我國(guó)叫做楊輝三角形)的數(shù)字是相同的,當(dāng)然,計(jì)算街道路徑條數(shù)的算法,恰恰就是構(gòu)造帕斯卡三角

48、形所依據(jù)的過(guò)程。這種同構(gòu)現(xiàn)象使得帕斯卡三角形成為無(wú)數(shù)有趣特性的不竭的源泉。111121133114641利用帕斯卡三角形立即可以求出二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù),即求(a+b)的任意次冪,同樣也可以用來(lái)解出初等概率論中的許多問(wèn)題。請(qǐng)注意,上圖中自頂部至底部,從邊沿一格來(lái)說(shuō)是1,隨著向中間移動(dòng),數(shù)字逐漸增加。也許你見(jiàn)過(guò)根據(jù)怕斯卡三角形所制成的一種裝置:在一快傾斜的板上,成百個(gè)小球滾過(guò)木釘進(jìn)入各格的底部。全部小球呈現(xiàn)出一條鐘形的二項(xiàng)式分布曲線,因?yàn)榈竭_(dá)每個(gè)底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)。顯然,蘇珊的算法同樣適用于由矩陣格子組成的三維結(jié)構(gòu)。設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的立方體,分成27個(gè)立方體單元,把它看成棋

49、盤(pán),處于某一個(gè)角格上的“車(chē)”可以向三個(gè)坐標(biāo)上的任何位置作直線移動(dòng),試問(wèn)“車(chē)”到空間對(duì)角線的另一個(gè)角格有多少條最短路徑?第七節(jié) 數(shù) 獨(dú)數(shù)獨(dú)是個(gè)數(shù)字解謎游戲,完全不必要用到算術(shù),會(huì)用到的只是推理與邏輯,所以要玩報(bào)章、雜志上的數(shù)獨(dú)題目時(shí),只要有一支筆就可以開(kāi)始了!對(duì)于數(shù)獨(dú)游戲的解法,通常采用直觀法和候選數(shù)法。我們?cè)谶@里主要介紹直觀法。直觀法,顧名思義,就是通過(guò)對(duì)謎題中現(xiàn)有的數(shù)字進(jìn)行分析,繼而逐一確定剩余空格中的數(shù)字的方法。它是最常用并且相對(duì)簡(jiǎn)單的方法,對(duì)于比較容易的謎題,可以快速求解并收到良好的效果。但是遇到比較復(fù)雜的題目,直觀法就稍顯力不從心了。經(jīng)常在報(bào)章、雜志上看到的數(shù)獨(dú)謎題,一般就算再難都可以

50、用直觀法來(lái)解決。你只要有相對(duì)銳利的眼光和一定的邏輯分析能力,就可以準(zhǔn)確地把空余的數(shù)字逐個(gè)填出來(lái)。實(shí)際上,直觀法就是對(duì)數(shù)獨(dú)游戲規(guī)則的充分利用。它不需要任何輔助工具,從接到數(shù)獨(dú)謎題的那一刻起就可以立即開(kāi)始解題,絕不猜測(cè)。數(shù)獨(dú)直觀法解題技巧主要有:基礎(chǔ)摒除法、唯一解法、唯余解法、區(qū)塊摒除法、單元摒除法、余數(shù)測(cè)試法。 一、基礎(chǔ)摒除法:基礎(chǔ)摒除法就是利用的數(shù)字1 9在每一行、每一列、每一個(gè)九宮格都只能出現(xiàn)一次的規(guī)則進(jìn)行解題的方法。基礎(chǔ)摒除法可以分為行摒除、列摒除、九宮格摒除。實(shí)際尋找解的過(guò)程為:尋找行摒除解:找到了某數(shù)在某行可填入的位置只余一個(gè)的情形即找到了該數(shù)在該行中的填入位置;尋找列摒除解:找到了某

51、數(shù)在某列可填入的位置只余一個(gè)的情形即找到了該數(shù)在該列中的填入位置;尋找九宮格摒除解:找到了某數(shù)在某一個(gè)九宮格可填入的位置只余一個(gè)的情形即找到了該數(shù)在該九宮格中的填入位置。 利用基礎(chǔ)摒除法解題的過(guò)程就是依次從數(shù)字1 9 在行、列、九宮格尋找能放入該數(shù)唯一的一個(gè)位置,需要綜合用到行摒除、列摒除、九宮格摒除的方法。例如:利用基礎(chǔ)摒除法解決數(shù)獨(dú)問(wèn)題。利用基礎(chǔ)摒除法確定題目如下:B2、C8、E7、F6、I5的數(shù)字嗎?題目如下:*29*8*5*58*7*1*9*3*78*6*3*94*5*1*7*968*35*分析:(見(jiàn)左圖)A9=9,則行其它格排除9G1=9,第1列排除數(shù)字9D3=9,第3列排除數(shù)字9由基礎(chǔ)摒除法,第A1所在的九宮格內(nèi)9只有一個(gè)唯一的位置,即確定B2=9。分析:(見(jiàn)左圖)A4=9,則4列其它格排除9G1=9,第G行排除數(shù)字9H9=9,第H行排除數(shù)字9由基礎(chǔ)摒除法,第G4所在的九宮格內(nèi)9只有一個(gè)唯一的位置,即確定I5=9。分析:(見(jiàn)左圖)A4=9,則4列其它格排除9D3=9,第D行排除數(shù)字9I5=9,第5列排除數(shù)字9由基礎(chǔ)摒除法,第D4所在的九宮格內(nèi)9只有一個(gè)唯一的位置,即確定F6=9。分析:(見(jiàn)左圖)A4=9,則A行其它格排除9B2=9,第B行排除數(shù)字9H9=9,第9列排除數(shù)字9由基礎(chǔ)摒除法,第A7

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