第二章：位理論邊值問題

1、第二章位理論邊值問題長安大學長安大學地質(zhì)工程與測繪學院張永志2. 1 邊值問題的概念地球外部的重力場的性質(zhì)完全由重力位 決定，所以我們只需要求得重力位。式中,是指整個地球所占空間，為地球的密度函數(shù)，r為體積元d 到 P點的距離。w為地球的自轉角速率.位理論的邊值問題的定義n 位理論邊值問題就是根據(jù)某一空間邊界上的給定條件求出該空間中拉普拉斯方程的解，當空間被包含在邊界內(nèi)部時叫內(nèi)部邊值問題，當空間位于邊界外部時叫外部邊值問題。在地球形狀和外部重力場理論中，我們求解的是地球外部的重力場，所以，對我們有用的是外部邊值問題。下面我們提出外部邊值問題的三種形式。第一邊值問題 求解在邊界外部調(diào)和，在無窮遠

2、處正則的函數(shù)V使其在邊界上滿足邊界條V=f，其中f為已知函數(shù)。該問題也叫狹義利赫外部問題。第二邊值問題:n求解在邊界外部調(diào)和，在無窮遠處正則的函數(shù)V,使其在邊界上滿足邊界條件n其中n為邊界的外法線方向。該問題也叫牛曼外部問題。第三邊值問題:n求解在邊界外部調(diào)和，在無窮遠處正則的函數(shù)V，使其在邊界上滿足邊界條件nf為已知函數(shù)。該問題也叫混合邊值問題。2.2 格林公式n P,Q,Rxyzijk2.2 格林公式格林公式格林公式格林公式格林公式 (二二)外部格林公式外部格林公式 以上我們導出的是內(nèi)部的格林公式，它們給出了分塊光以上我們導出的是內(nèi)部的格林公式，它們給出了分塊光滑曲面滑曲面 上的面積分與其

3、內(nèi)部區(qū)域上的面積分與其內(nèi)部區(qū)域 中的體積分之間的關系。中的體積分之間的關系。首先，假設首先，假設 e e是間于兩個曲面是間于兩個曲面 和和 之間的閉區(qū)域，如之間的閉區(qū)域，如圖圖2-12-1所示，所示， 為半徑是為半徑是 R R的球面，的球面， 完全被包含在完全被包含在內(nèi)內(nèi)部。部。將內(nèi)部第一格林公式將內(nèi)部第一格林公式(2-2-12)(2-2-12)應用于閉區(qū)域應用于閉區(qū)域 e e 式及其表面式及其表面 和和 得得：外部第二格林公式：外部第二格林公式：外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式外部第二格林公式三三.格林公式應用例舉格林公式應用例舉格林公式應用例舉格林公式應用例舉格林公式應用例舉格林公式應用例舉格林公式應用例格林公式應用例第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式第三格林公式(四)將外部位表示成面積分的形式外部位表示成面積分的形式外部位表示成面積分的形式2.4