數(shù)學文化論文

1、 本科生數(shù)學文化選修課程論文數(shù)學文化的思考與中外數(shù)學文化的差異學 院： 理學院專 業(yè)：化學工程與工藝姓 名： Zen Ting學 號： 聯(lián)系電話： 電子郵箱： 指導教師： 布 和教師職稱： 講 師論文完成日期：二零一二年十二月一日摘 要數(shù)學在人類發(fā)展史上有著舉足輕重的作用，扮演著重要的角色，可以毫不夸張的說，沒有數(shù)學這門科學，人類的歷史就無法展開，它不僅在學術層面上重要，更是對我們絢麗多彩的文化起著重大的作用。本文將回顧數(shù)學的發(fā)展史，淺談數(shù)學對文化的作用，以及中外數(shù)學文化的差異。關 鍵 詞：阿基里斯追龜論 飛箭靜止論算術希臘數(shù)學文化 中國數(shù)學代表 引 言 數(shù)學文化哲學作為一門學科或一個研究方向

2、,是將數(shù)學置于人類文化大背景下而對其進行哲學反思。從數(shù)學哲學轉向數(shù)學文化哲學是在數(shù)學文化背景下的必然選擇。數(shù)學文化哲學不僅涵蓋了對于數(shù)學本質及其價值更為深入的認識,而且從一個更為廣泛的角度指明了影響數(shù)學發(fā)展的各個因素,因此是對傳統(tǒng)數(shù)學哲學的深化和拓展。數(shù)學文化哲學的孕育和產(chǎn)生有著深刻的學術背景和社會因素。這種轉向有助于使數(shù)學哲學走出現(xiàn)在的困境,更為重要的是,還將大大拓寬數(shù)學哲學研究的視野,從而為數(shù)學哲學的發(fā)展開辟更為廣闊的前景。正 文首先我們來回顧布和老師課上講得第一個方面，即數(shù)學的發(fā)展。古代數(shù)學最重要的兩個分支就是古希臘和古代中國。古希臘文明是人類古代文明中的一個皇冠，而數(shù)學則是這皇冠上最大

3、的那一顆鉆石，向世人展示了希臘人的精神好奇多思，渴求知識。其哲學與數(shù)學的發(fā)展則達到了那一時期的頂峰。公元480年以后鴨店稱為希臘的文化，政治中心，各種學術思想開始在雅典爭奇斗艷，古希臘數(shù)學家更是層出不窮，艾麗婭學派的芝若提出了四個著名的悖論（二分說，追龜說，飛箭靜止說，運動場說）迫使哲學家和數(shù)學家開始思考極限的問題。我依稀記得我接觸最早的，也是使我對數(shù)學產(chǎn)生興趣并選修這門課的原因，就是因為追龜說阿基里斯永遠跑不過烏龜，和飛箭靜止說。下面我將詳述這兩個事列，闡述數(shù)學問題中極限對人類文化精神上帶來的沖擊與思考。1.1追龜說阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔校俣葹闉觚斒?，烏?/p>

4、在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿基里斯追到100米時，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個新的起點產(chǎn)生了；阿基里斯必須繼續(xù)追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜，“烏龜” 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由于追趕者首先應該達到被追者出發(fā)之點，此時被追者已經(jīng)往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。我們看看這個故事的歷史背景。當

5、時柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑"數(shù)學派"所代表的畢達哥拉斯的" 1-0.999.>0"思想。然后，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的"1-0.999.=0, 但1-0.999.>0"思想。最后，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的"1-0.999.=0, 或1-0.999.>0"思想。有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發(fā)點，而當他到達被追者的出發(fā)點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)

6、點在等著它，有無限個這樣的出發(fā)點。芝諾當然知道阿基里斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點。類似阿基里斯追上海龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數(shù)列的求和，或者簡單建立起一個方程組就能算出所需要的時間，那么既然我們都算出了追趕所花的時間，我們還有什么理由說阿基里斯永遠也追不上烏龜呢？然而問題出在這里：我們在這里有一個假定，那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個時間。但是芝諾的悖論的實質在于要求我們證明為何能追上。上面說到無窮個步驟是難以完成。以上初等數(shù)學的解決辦法，是從結果推往過程的。悖論本身的邏輯并沒有錯，它之所以與實際相差甚遠，在于這個芝諾與我們采取了不同的時間系統(tǒng)。人們習慣于將運

7、動看做時間的連續(xù)函數(shù)，而芝諾的解釋則采取了離散的時間系統(tǒng)。即無論將時間間隔取的再小，整個時間軸仍是由有限的時間點組成的。換句話說，連續(xù)時間是離散時間將時間間隔取為無窮小的極限。 其實這歸根到底是一個時間的問題。譬如說，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s,烏龜在前面100m。實際情況是阿基里斯必然會在100/9秒之后追上烏龜。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無限細分，給我們一種好像永遠也過不完的印象。但其實根本不是如此。這就類似于有1秒時間，我們先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去我們永遠都過不完這1秒，因為無論時間再短也可無限細分。但其實我們真的就

8、永遠也過不完這1秒了嗎？顯然不是。盡管看上去我們要過1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠無窮無盡。但其實時間的流動是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時間越來越短，看上去無窮無盡，其實加起來只是個常數(shù)而已，也就是1秒。所以說，整個故事看起來就像一場數(shù)學教學中的失敗。也許在你的小學數(shù)學學習中，你可能對一些隱隱約約的數(shù)學問題產(chǎn)生疑問。這就好比我們會利用3無法被10整除產(chǎn)生很多的悖論。然而，對于這個數(shù)學問題中的無限話題又對人生有著思考。我們都知道，古希臘的數(shù)學與哲學是并行不悖的。很多知名的學者不僅是偉大的數(shù)學家，更是偉大的哲學家。而飛箭靜止說，則更好的反應了哲學的思考，就像我們本學期開始學習的馬克

9、思主義基本原理概論，其中費爾巴哈的形而上學，就提到過無限對人類思想的啟迪意義。1.2飛箭靜止說我們可以很容易的拿初高中物理，相對靜止與運動來辯駁這項悖論。運動是絕對的，靜止是相對的！相對靜止是運動的特殊情況。之所以是靜止的是因為所選的參照物的速度與研究對象的速度相同（大小和方向相同）?；叵胛覀兩蠈W期得高等數(shù)學，什么是極限？極限的概念是什么？。速度的定義是 v=lims/t（t-0）可以這么理解t越接近0，s就越接近0。當t接近于0時（永遠不等于0），s/t就接近一個固定的值（這個值就是該時刻的瞬時速度v）。極限是一個過程，也就是一個變化的過程。而不能簡單地認為就是t=0。上述錯誤就是簡單的認為

10、t=0。而另一方面，運動確實只是許多靜止的總和，割裂了時間與空間，運動與靜止的聯(lián)系。只是片面地看到了其中一方面而忽略了另一方面的存在。根據(jù)機械運動理論的觀點，要描述一個物體的運動。首先是要建立一個參照系，然后才能確定它的狀態(tài)。如果我們把自己（觀察者）當作參考系。這時認為飛箭是運動的。而當認為飛箭靜止時，顯然參考系選的是飛箭。對于飛箭運動狀態(tài)的兩個描述，都不是在同一個參考系下。再進行比較已經(jīng)毫無意義。除非能確定這兩個參考系的相對運動狀態(tài)。所以說，在現(xiàn)在，就我掌握的大學本科未畢業(yè)加12年教育來看，我的認知中，越發(fā)覺這簡直，完全，已乎就是一個徹頭徹尾的悖論。用簡單的相對運動，運動，參照系來認知，芝若

11、的飛箭靜止論狹義來看，其實就是當時“見少識不廣”人們對自然科學的朦朧思考。不過說來，也無不否認我的缺陷，無法看清這個悖論深層的意義。為什么我會談到這兩個悖論？因為他構成了我對數(shù)學文化最初的認知。我們繼續(xù)回到上文提到古希臘數(shù)學發(fā)展。古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細亞等地。公元前5、6世紀，特別是希、波戰(zhàn)爭以后，雅典取得希臘城邦的領導地位，經(jīng)濟生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個基礎上產(chǎn)生了光輝燦爛的希臘文化，對后世有深遠的。希臘數(shù)學的發(fā)展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約為公元前七世紀中葉到公元前三

12、世紀；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時期，結束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領。 從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數(shù)學史料很少。不過希臘數(shù)學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關系。伊奧尼亞位于小亞細亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經(jīng)驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內部的斗爭，幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。

13、這大大有助于科學和哲學從宗教分離開來。米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認的希臘哲學鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學學派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬物的根源。 當時天文、數(shù)學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數(shù)學。他曾預測一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭，多數(shù)學者認為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。泰勒斯在數(shù)學方面的貢獻是開始了命題的證明，它標志著人們對客觀事物的

14、認識從感性上升到理性，這在數(shù)學史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達哥拉斯有很大的影響。畢達哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學、數(shù)學合一的秘密團體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續(xù)存在兩個世紀之久。畢達哥拉斯學派企圖用數(shù)來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達哥拉斯定理)聞名于世，又由此導致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯(lián)系起來。他們找到用三個正整數(shù)表示直角三角

15、形三邊長的一種公式，又注意到從 1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術問題，又和幾何有關，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。伊奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數(shù)學并不單純?yōu)榱苏軐W的興趣，同時也為了實用。而后者卻不注重實際應用，將數(shù)學和宗教聯(lián)系起來，想通過數(shù)學去探索永恒的真理。公元前五世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數(shù)學等知識，于是“智人學派”應運而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正

16、方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學從實際應用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。這個學派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8、16、32、邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽的割圓術思想不謀而合。  公元前三世紀，柏拉圖在雅典建立學派，創(chuàng)辦學園。他非常重視數(shù)學，但片面強調數(shù)學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主

17、張通過幾何的學習培養(yǎng)邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。這個學派培養(yǎng)出不少數(shù)學家，如歐多克索斯就曾就學于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。這個時期的希臘數(shù)學中心還有以芝諾為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術界以極大的震動。這四個悖論的其中兩個我們已經(jīng)提到了，即使我的數(shù)學啟蒙興趣的故事，另外一個也不妨跟大家分享： 二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先

18、通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重復下去，總也追不上；飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的；運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。以德謨克利特為代表的原子論學派，認為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新結果的重要線索。公元前四世紀以后的希臘數(shù)學，逐漸脫離哲學和天文學，

19、成為獨立的學科。數(shù)學的歷史于是進入一個新階段初等數(shù)學時期。這個時期的特點是，數(shù)學(主要是幾何學)已建立起自己的理論體系，從以實驗和觀察為依據(jù)的經(jīng)驗科學過渡到演繹的科學。由少數(shù)幾個原始命題(公理)出發(fā)，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數(shù)學的基本精神。在這一時期里，初等幾何、算術初等代數(shù)大體己成為獨立的科目。和17世紀出現(xiàn)的解析幾何學、微積分學相比，這一個時期的研究內容可以用“初等數(shù)學”來概括，因此叫做初等數(shù)學時期。埃及的亞歷山大城，是東西海陸交通的樞紐，又經(jīng)過托勒密王的加意經(jīng)營，逐漸成為新的希臘文化中心，希臘本土這時已經(jīng)退居次要地位。幾何學最初萌芽于埃及，以后移植于伊奧尼亞，其次繁盛于意大

20、利和雅典，最后又回到發(fā)源地。經(jīng)過這一番培植，已達到豐茂成林的境地。從公元前四世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止，希臘數(shù)學以亞歷山大為中心，達到它的全盛時期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學術空氣，各地學者云集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。歐幾里得的幾何原本是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯(lián)系，整理在一個嚴密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的

21、大廈。幾何原本體現(xiàn)了這種精神，它對整個數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生深遠的影響。阿基米德是物理學家兼數(shù)學家，他善于將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經(jīng)驗事實上升為理論。他根據(jù)力學原理去探求解決面積和體積問題，已經(jīng)包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。除了三大數(shù)學家以外，埃拉托斯特尼的大地測量和以他為名的“素數(shù)篩子”也很出名。天文學家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角學的先導。  公元前146年以后，在羅馬統(tǒng)治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，不斷有所發(fā)明。海倫(約公元62)、門納勞斯(約公元100)、帕普斯等人都有重要貢獻

22、。天文學家托勒密將喜帕恰斯的工作加以整理發(fā)揮，奠定了三角學的基礎。晚期的希臘學者在算術和代數(shù)方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯(約公元100)和丟番圖(約250)前者是杰拉什(今約旦北部)地方的人。著有算術入門，后者的算術是講數(shù)的理論的，而大部分內容可以歸入代數(shù)的范圍。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數(shù)學中獨樹一幟，對后世影響之大，僅次于幾何原本。公元325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統(tǒng)治的工具，把一切學術都置于基督教神學的控制之下。 公元529年，東羅馬帝國皇帝查士·丁尼下令關閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數(shù)學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數(shù)學研究受到

23、沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領，圖書館再次被毀，希臘數(shù)學至此告一段落。我一直覺得我之所以選擇數(shù)學文化這門課程，根本原因不是因為我喜歡數(shù)學，而是因為我熱愛歷史。就我看來，數(shù)學文化這門課程在農(nóng)大的開設，更多的是通過睿智詼諧的數(shù)學小故事啟迪思維，培養(yǎng)對數(shù)學的興趣愛好。我們說古希臘的歷史發(fā)展，也是通過希臘豐富多彩具有哲學性的數(shù)學家們的歷史來談論，欣賞這門學科。的確，希臘文化，尤其是他的數(shù)學文化，在幼兒教學中，有著十分中意的指導作用。我們講阿基里德的名言，“給我一個支點我將轉動地球”，他的水量法測不規(guī)則物體的體積，甚至他頗為玄幻色彩的，運用鏡面反射點燃敵軍的戰(zhàn)艦，都讓人神往。結 論了解西方

24、數(shù)學文化的發(fā)展，我們可以從中窺測中西文化差異之一所以存在的原因。2.1希臘數(shù)學文化的特點1.希臘人將數(shù)學抽象化，使之成為一種科學，具有不可估量的意義和價值。希臘人堅持使用演繹證明，認識到只有用勿容置疑的演繹推理法才能獲得真理。要獲得真理就必須從真理出發(fā)，不能把靠不住的事實當作已知。從幾何原本中的10個公理出發(fā)，可以得到相當多的定理和命題。 2希臘人在數(shù)學內容方面的貢獻主要是創(chuàng)立平面幾何、立體幾何、平面與球面三角、數(shù)論，推廣了算術和代數(shù)，但只是初步的，尚有不足乃至錯誤； 3.希臘人重視數(shù)學在美學上的意義，認為數(shù)學是一種美，是和諧、簡單、明確以及有秩序的藝術； 4.希臘人認為在數(shù)學中可以看到關于宇

25、宙結構和設計的最終真理，使數(shù)學與自然界緊密聯(lián)系起來，并認為宇宙是按數(shù)學規(guī)律設計的，并且能被人們所認識的。 2.2中國數(shù)學文化的特點如下：  1.中國數(shù)學最基本的特點是具有鮮明的社會性。通觀中國古典數(shù)學著作的內容，幾乎都與當時社會生活的實際需要有著密切的聯(lián)系。從九章算術開始，中國算學經(jīng)典基本上都遵從問題集解的體例編纂而成，其內容反映了當時社會政治、經(jīng)濟、軍事、文化等方面的某些實際需要，具有濃厚的應用數(shù)學的色彩； 2.中國數(shù)學教育與研究始終置于政府的控制之下，以適應統(tǒng)治階級的需要； 3.中國數(shù)學家的數(shù)學論著深受歷史上各種社會思潮、哲學流派以至宗教神學的影響，具有形形色色的社會痕跡。 4.中國數(shù)學是以幾何方法和代數(shù)方法的相互滲透表現(xiàn)為形數(shù)結合的，是用算籌來計算的。并采用了十進位制。同時，用一整套“程序語言”來揭示計算方法，而演算程序簡捷而巧妙。 5.中國數(shù)學理論表現(xiàn)為運算過程之中，即“寓理于算”。中國數(shù)學家善于從錯綜復雜的數(shù)學現(xiàn)象中抽象出深刻的數(shù)學概念，提煉出一般的數(shù)學原理，作為研究眾多數(shù)學問題的基礎。 古希臘數(shù)學屬于公理化演繹體系，著眼于“理”首先給出公理、公設、定義，爾后在此基礎上有條不紊地、由簡到繁地進行一系列定理的證明；中國數(shù)學