復(fù)雜流體講義

1、2022-4-112力學面臨的機遇和挑戰(zhàn)中國科學技術(shù)協(xié)會主編，力學學科發(fā)展報告，中國科學技術(shù)出版社，2007年 北京引言引言2022-4-113引言引言力學與天文學是最早形成的兩門自然科學。從牛頓時代開始，到十九世紀末，力學以質(zhì)點、質(zhì)點系、剛體、理想彈性體和理想流體為模型，運用微積分等數(shù)學工具形成了自己完整的理論體系。進入二十世紀后，力學開始以自然界和工程技術(shù)中遇到的復(fù)雜介質(zhì)和復(fù)雜系統(tǒng)為研究對象，力學研究領(lǐng)域的不斷開拓，一方面導(dǎo)致力學新分支學科不斷出現(xiàn)，另一方面，使得力學成為現(xiàn)代工程技術(shù)（比如：航空航天工程、船舶工程、土木工程、機械工程、熱能工程和兵器工程等）的重要基礎(chǔ)。 。2022-4-11

2、4引言引言2000年底，美國工程院評出20世紀對人類社會影響最大的20項技術(shù)，許多關(guān)鍵技術(shù)的進展與力學相關(guān)。以排在前3位的技術(shù)為例：1) 電力系統(tǒng)技術(shù)。葉輪機、發(fā)電機以及輸電線路的設(shè)計都離不開力學。二十世紀后50年，從力學設(shè)計導(dǎo)致葉輪機效率提高約1/3，經(jīng)濟效益達5000億美元，而力學設(shè)計導(dǎo)致鍋爐燃燒效率提高的經(jīng)濟效益也非?？捎^。 2) 汽車制造技術(shù)。力學設(shè)計使汽車發(fā)動機的效率近50年提高約1/3，僅小轎車節(jié)省的燃料費就達2000億美元，排氣污染減少90以上。3) 航空技術(shù)。幾乎每一階段的重大進步均與力學家的貢獻密不可分?？茖W技術(shù)的進步永無止境。再過100年，20世紀引以為豪的技術(shù)成就只是人類

3、現(xiàn)代文明的一個新的起點。 2022-4-115引言引言圖-144(M=2.2)協(xié)和號 (M=2.02)協(xié)和號(1976-2003)由法英聯(lián)合研制，它和圖-144(1975-1987)同為世界上僅有的商業(yè)超音速客機。1996年2月7日，協(xié)和飛機從倫敦飛抵紐約僅耗時2小時52分59秒。2022-4-116科學大師談力學“盡管我們今天確實知道古典力學不能用來作為統(tǒng)治全部物理學的基礎(chǔ)，可是它在物理學中仍然占領(lǐng)著我們?nèi)克枷氲闹行??！?A. Einstein物理學的進化“自然的一切現(xiàn)象，完全可以根據(jù)力學的原理用相似的推理一一演示出來?！?牛頓自然哲學的數(shù)學原理1643-1727 1879-1955202

4、2-4-117力學與現(xiàn)代工程的關(guān)系“力學是航天航空的基石” 王永志 “力學搭起了基礎(chǔ)科學與工程技術(shù)之間的橋梁” 黃克智“力學能為緩解能源短缺,提高能源利用率做出重要貢獻”過增元“宇宙之大,基本粒子之小,力無所不在”楊衛(wèi)“機械科學技術(shù)中的關(guān)鍵問題依賴力學的發(fā)展”溫詩鑄2022-4-118問渠那得清如許，為有源頭活水來 宋朱熹觀書有感流體力學的源頭活水：研究對象的拓展和新研究方法的探尋引言引言2022-4-119混沌：少了一顆釘子，.丟了一個國家。Bernard 對流在二十世紀初發(fā)現(xiàn)引言引言2022-4-1110孤立波首先由S.Russell(1834)在運河中發(fā)現(xiàn)引言引言2022-4-1111原

5、地重現(xiàn)孤立波的實驗（1995） 引言引言2022-4-1112經(jīng)典流體力學主要研究牛頓流體的運動規(guī)律和應(yīng)用，二十世紀以來，近代流體流體力學迅速發(fā)展，其主要標志之一是研究對象開始從牛頓流體拓展到復(fù)雜流體。引言引言2022-4-1113問題：為什么要關(guān)注復(fù)雜流體？ICTAM2012 大會將在北京舉行2022-4-11142022-4-1115II. Fluid Physics ResearchThe fluid physics program encompasses a wide range of research in physics and engineering science, inclu

6、ding studies of heat and mass transfer processes, fluid dynamics, and the physics of complex fluids. A. Complex fluids 1) Colloids and suspensions 2) Nanoscale fabrication in the fluid phase 3) Granular mechanics 4) Non-Newtonian fluidB. Interfacial phenomenaC. Multiphase flow and phase change D. Bi

7、ofluidsNASA Research Announcement2022-4-11161.1 復(fù)雜流體的例子泥漿火山熔巖鋼水2022-4-1117血液牙膏生活中的：稀飯、果醬、酸奶、瀝青、油漆、黏合劑等復(fù)雜流體有許多不同于牛頓流體的獨特性質(zhì)1.1 復(fù)雜流體的例子同學發(fā)言：請再舉出幾個復(fù)雜流體的例子2022-4-1118電流變液1.2 復(fù)雜流體的流動特性2022-4-1119Newtonian fluid Viscoelastic fluidSprays of fluids 1.2 復(fù)雜流體的流動特性2022-4-1120A suspension sedimenting in a fluid

8、In a Newtonian fluid In a viscoelastic fluid 1.2 復(fù)雜流體的流動特性2022-4-1121Drop impact of fluids Newtonian fluid Viscoelastic fluid 1.2 復(fù)雜流體的流動特性2022-4-1122T. Cubaud and T.G. Mason, Folding of viscous threads in diverging microchannels, Phys. Rev. Lett. 96, 114501 (2006).1.2 復(fù)雜流體的流動特性2022-4-11231.2 復(fù)雜流體的流

9、動特性Many complex materials can not be described by simple models!Groisman A, Steinberg V. Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives. Nature, 2001, 410: 905-8 2022-4-1124Weissenberg 效應(yīng)1.2 復(fù)雜流體的流動特性本講座將集中討論復(fù)雜的粘彈性流體2022-4-11251.2 復(fù)雜流體的流動特性定義：粘彈性流體是一種既具有粘性又具有彈性的介質(zhì)。首先介紹粘彈性流體的幾個經(jīng)典模型：

10、它們的構(gòu)造方法非常簡單。彈性體是固體力學的理想化模型（彈簧），粘性流體是流體力學的理想化模型（粘性阻尼器）。粘彈性流體是兩者組合而成的體系。 spring (Hook law) dashpot (Newtonian friction law)2022-4-1126 Kelvin model Maxwell model Oldroyd-B model1.3 粘彈性流體的經(jīng)典模型問題：如何導(dǎo)出以上系統(tǒng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）？基本原則：并聯(lián):應(yīng)力相加，應(yīng)變相同；串聯(lián):應(yīng)力相同，應(yīng)變相加2022-4-1127GGG1dtGG12 1.3 粘彈性流體的經(jīng)典模型2022-4-11281.3 粘彈性流體

11、的經(jīng)典模型實驗表明，以上經(jīng)典模型過于簡單，無法描述某些真實粘彈性材料的行為模式，需要探尋新的開拓方法和新的模型（源頭活水）。在進一步開拓復(fù)雜粘彈流體本構(gòu)關(guān)系的各種探索中，最大膽的設(shè)想由G. W. Scott Blair 在1947年提出G. W. Scott Blair, The role of psychophysics in rheology, Journal of Colloid Science, 1947, Vol.2, pp.21-32 G. W. Scott Blair, Psychoreology: link between the past and the present, J

12、ournal of Texture Studies, 1974, Vol.5, pp.3-12 2022-4-11292. Scott Blair 模型G. W. Scott Blair在他的經(jīng)典論文“心理物理學在流變學中的作用”中指出，彈性體的應(yīng)力與應(yīng)變的零階時間導(dǎo)數(shù)成正比，牛頓流體的應(yīng)力與應(yīng)變的一階時間導(dǎo)數(shù)成正比，進一步的研究則需要考慮應(yīng)力與應(yīng)變的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)成正比的復(fù)雜粘彈性流體。d,(01)dGtG. W. Scott Blair, The role of psychophysics in rheology, Journal of Colloid Science, 1947, Vol.2

13、, pp.21-32 2022-4-1130d,(01)dGtThis is a three-parameter model and introduced by Scott Blair.GSpring (1676) GddGtDashpot (1686),G( ,)GFractional element (1947)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)在描述許多粘彈性材料的流變學行為中十分有效。 2. Scott Blair 模型2022-4-1131( , )G Fractional Maxwell fluidA. Hernndez-Jimnez, et al, Relaxation modulus in PMMA

14、and PTFE fitting by fractional Maxwell model, Polym. Test. 21 (2002) 325331.Polymer Methylmethacrylate0.587,0.692Maxwell fluid1,1Polytetrafluorethylene0.036,0.052dd,01ddGttThis is a four-parameter model of viscoelastic fluids. Conclusion: fractional element plays a vital role in the description of c

15、omplex viscoelastic fluids!2. Scott Blair 模型2022-4-1132Can the meaning of a derivative of integer order dny/dxn have meaning when n is 1/2? (LHospital 1695 )LHospital 1661-1704以上內(nèi)容，歡迎提問以上內(nèi)容，歡迎提問2. Scott Blair 模型2022-4-1133一些著名的數(shù)學大師都曾著迷于Hospital問題，比如：Euler 1707-1783Fourier 1768-1830Laplace1749-1827Ab

16、el 1802-1829Liouville 1809-1882Riemann 1826-18662. 1 Scott Blair 模型的數(shù)學基礎(chǔ)Riemann developed a different theory of fractional operations during his student days, but it was published only posthumously in 1876.The first use of fractional operation was Abel in 1823 (21歲).2022-4-1134In 1819 starting with

17、y = xm, S. F. Lacroix presented his expression of -order derivative in terms of Legendres symbol 1211220d1ddddtf tfttt which definition of a -order was introduced by Laplace in 1812.2. 1 Scott Blair 模型的數(shù)學基礎(chǔ)123 200224d33tt/tttt 1d!d!1nm nm nnmymxxxmnmn 1 21 21 21 22d2d3 2/xxxx/11 2mn/與Laplace定義的對比 f

18、tt12121 2d2d/tttNotation: the n-fold integral; the n-order derivative. nDnD2022-4-11352. 1 Scott Blair 模型的數(shù)學基礎(chǔ)-1D( )( )dtaf tf111121D( )dd()d()( )d1 !nttnnnnaaaanf tftfn timesThe n-fold iterated integral of f (t) is given by the Cauchys formulaFor exampleThe Riemann-Liouville operator of fractional

19、integration is defined as 11D( )()( )d , 0( )tataf ttf 1 21 21Ddt/ataf ttfFor example2022-4-11362. 1 Scott Blair 模型的數(shù)學基礎(chǔ)()dD( )D( ) ,(0,01) dmmatatmf tf tmtThen we get the Riemann-Liouville operator of fractional derivative 121 21 20d1dDDdddt/ttff tf tttt which coincides with Laplaces definition of

20、-order derivative. Taking = 1/2 and m = 1 in the Riemann-Liouville operator yields()11dD( )()( )d ,01( ) dtmmatmaf ttftTaking m-order ( m is integer) derivative gives2022-4-1137Recently mathematically fractional calculus has obtained much success in the study of physics including complex viscoelasti

21、c fluids.R.Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, 2000討論：除了數(shù)學定義和運算，針對Scott Blair 模型下一步應(yīng)該研究的關(guān)鍵問題是什么？目前在聚合材料中，分數(shù)階微積分已經(jīng)成為分析應(yīng)力松弛現(xiàn)象的一種極為重要的工具。2. 1 Scott Blair 模型的數(shù)學基礎(chǔ)關(guān)鍵問題：Scott Blair模型的力學機理和基礎(chǔ)。2022-4-11382.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)H. Schiessel & A. Blumen (1993) firstly

22、 constructed fractional rheological constitutive equations on the basis of well known mechanical models. H. Schiessel & A. Blumen, Hierarchical analogues to fractional relaxation equations, J. Phys. A: Math. Gen. 1993, Vol. 26, pp.5057-5069 Spring-dashpot ladder2022-4-11392.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)

23、Schiessel & Blumen利用拉氏變換，證明了系統(tǒng)各級彈簧和阻尼器參數(shù)滿足一定遞推關(guān)系時，其應(yīng)變拉氏變換與應(yīng)力拉氏變換服從以下關(guān)系100( )( )sEss再利用逆變換得到100d( )( ),0,1dttEt具體的過程將用另一個我們所提出的更加簡單的例子來說明。2022-4-11402.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)Here we present a novel mechanical model of fractional elementQuestion: how do we obtain the constitutive equation of the tre

24、e?Spring-dashpot treewhich was enlightened from a resistor-capacitor self-similar structure. I. Podlubny, Fractional Differential Equations2022-4-11412.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)Schiessel & Blumen使用的拉氏變換法，對一層的樹形結(jié)構(gòu)：G( )1111( )ssGs對兩層的樹形結(jié)構(gòu)：( )111111( )ssGGsGss2022-4-11422.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)對三層的樹形結(jié)構(gòu)：

25、( )111111( )111111111111ssGsGGsGssGGsGss遞推求解，得到該系統(tǒng)的應(yīng)變拉氏變換與應(yīng)力拉氏變換服從以下關(guān)系2022-4-1143( )111( )111111111111111111.111111111111111111111.ssGGsGsGssGsGsGs令右邊為A，利用結(jié)構(gòu)層次為無窮的特點所產(chǎn)生的自相似性，可得到( )111111( )sAsAGAs2022-4-11441/21/21/2d( )( )()dttGt1/2( )()( )sG ss2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)( )111111( )sAsAGAs解得1/2()AG s用

26、另一種方法：Heaviside算子法逆變換得到2022-4-1145G Kelvin model Maxwell model Oldroyd-B model12 GTd1dkTGt dd/ 1ddMTGtt2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)2022-4-1146彈簧1T d/dTtp假定系統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系GT11122/Gp11211/Tp GT 1212GTGT11111/TTTTGp2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)阻尼器總應(yīng)變自相似總應(yīng)力2022-4-1147GT2T Gp111111/TTGp1/21/2Tp1/21/21/2ddGt111/1TTGpT111/1T

27、GpT Heaviside operator p is disposed as a parameter during the algebraic operation.2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)2022-4-11482.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)Heaviside developed operational calculus between1880 and 1887, which is one of the three most important mathematical discoveries of the late 19th Century and ca

28、used much controversy. R. Courant & D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II Partial differential equations, Interscience Publishers, John Wiley & Sons, 1962, P507Heaviside (1850-1925)Heavisides operational calculus was placed on a rigorous mathematical basis by Jan Mikusinski, w

29、ho constructed an algebraic setting for the operational methods.J. Mikusinski, Operational Calculus, Pergamon Press, New York, 1983 在運算微積中，算子p作為參數(shù)進行代數(shù)運算，有依據(jù)嗎？ 2022-4-1149瞬態(tài)問題或混合問題有重要應(yīng)用背景(比如: 機電工程)，討論這一問題的文獻很多，其中重點是Heaviside符號算子法。該方法處理問題直捷驚人，往往能給出不能以其它方法同樣簡單地獲得的明確解答。原先發(fā)表這一方法時對于符號運算步驟并無嚴格道理可講；事實上， Hea

30、viside對職業(yè)數(shù)學家的疑慮甚至頗表不屑。然而Heaviside方法的成就壓倒一切，使人們非得從數(shù)學上去弄清它的道理不可，結(jié)果完全證明這種方法有理論依據(jù)，而終于大大促進符號方法的發(fā)展。 引自R.Courant和D.Hilbert的經(jīng)典名著 “數(shù)學物理方法”第五章附錄二 “瞬態(tài)問題和Heaviside運算微積”2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)2022-4-1150TGpG1GT2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)1Tp 11GT111Gp111111TTpp1122GTGT1211TpI. Podlubny, Fractional Differential Equati

31、ons, Academic Press, 1999. (P274,Fig. 10.3) 1Tp homework Kelvin model 2022-4-1151GTGTTGpG1GT2.2 Scott Blair 模型的力學基礎(chǔ)homework 22022-4-11523.1 圓管起動流z動量方程1 ddddddupurtzrrr 初邊值條件是00 , ru0t ,au速度分解為定常和非定常兩部分之和 t , rurut , ru21ddpGz 為Heaviside階躍函數(shù) 3. 復(fù)雜粘彈性流體的流動2022-4-11532211 d4dpuraz定常部分 解的非定常部分應(yīng)滿足齊次方程 22

32、dddduurtrrr20223112dexpdnnnnnJapuzJ 與定常部分迭加在一起，得到222023211d81exp4dnnnnnaprrtuJzaJaa 3.1 圓管起動流2022-4-11543.1 圓管起動流2022-4-1155問題：Scott-Blair 模型的圓管起動流是否會有不同的特性？3.1 圓管起動流2022-4-1156分數(shù)元模型d,(01)dtEddtVp 動量方程zrrzzerr其中1111dddtdtrzzruEEr12121uuuGEttrrr得到3.1 圓管起動流2022-4-1157用Heaviside運算微積和分數(shù)階微積分得到,0( )()kkzE

33、zk 其中 21 202,2112()( , )()()mmmmmJk ru x ttEktJkk稱為Mittag-Leffler函數(shù), 是指數(shù)函數(shù)的推廣, 為指數(shù)函數(shù) 1,13.1 圓管起動流2022-4-11582022-4-11592022-4-11602022-4-11612022-4-1162小結(jié)小結(jié)lThe constitutive equations of spring-dashpot systems can be easily derived by operational methods. lA new mechanical system of fractional eleme

34、nt is presented.lThe exact solution of starting flow of fractional element in a pipe is obtained.lThe starting flow of fractional element in a pipe will stop finally except .12022-4-1163討論討論牛頓流體在靜止時不能承受剪切力，為何分數(shù)元流體會出現(xiàn)類固體的特性？ Kelvin 模型 Maxwell模型 Oldroyd-B模型2022-4-1164討論討論2022-4-11653.2 圓管振蕩流牛頓流體001exp

35、Jri/iAu r,ti tJai/ 3. 復(fù)雜粘彈性流體的流動2022-4-1166牛頓流體3.2 圓管振蕩流2022-4-11672022-4-1168 Fractional Maxwell model(a)(b)11,G22,GGGtt GttMaxwell model when 1分數(shù)階Maxwell流體的圓管振蕩流3.2 圓管振蕩流2022-4-1169020()41exp()Jriui taJa221cossignsin1 ()22()22cossignsin22iiii Exact solution000,()uQrtuQrtuQ3.2 圓管振蕩流2022-4-1170 Maxw

36、ell fluid PTFE10.0357,0.052020 40 60 80 1001201405001000150020002500無量綱頻率 (R=0.05)無量綱速度振幅20 40 60 80 100120140100200300400500600無量綱頻率 (R=0.1)無量綱速度振幅20 40 60 80 100120140510152025無量綱頻率 (R=0.5)無量綱速度振幅20 40 60 80 1001201400.20.40.60.8無量綱頻率 (R=5)無量綱速度振幅0.05a 0.1a 0.5a 5a 20 40 60 80 10012014020040060080

37、010001200無量綱頻率 (R=0.05)無量綱速度振幅20 40 60 80 100120140100200300400500600無量綱頻率 (R=0.1)無量綱速度振幅20 40 60 80 10012014020406080100120無量綱頻率 (R=0.5)無量綱速度振幅20 40 60 80 10012014024681012無量綱頻率 (R=5)無量綱速度振幅0.05a 0.1a 0.5a 5a 3.2 圓管振蕩流2022-4-11713. 3 復(fù)雜粘彈性流體的Couette流Tan,W.C. & Xu, M.Y., Plane surface suddenly s

38、et in motion in a viscoelastic fluid with fractional Maxwell model. Acta Mech. Sinica (2002) 18:342349W. Shaowei & X. Mingyu, Exact solution on unsteady Couette flow of generalized Maxwell fluid with fractional derivative, Acta Mechanica (2006)187: 103112Haitao Qi & Hui Jin, Unsteady rotatin

39、g flows of a viscoelastic fluid with the fractional Maxwell model between coaxial cylinders, Acta Mech. Sinica (2006) 22:3013052022-4-11724. 分數(shù)階微積分在流體力學中的其它應(yīng)用111222111222042441aauuuuautxDxDDttx Sugimoto, N, Propagation of nonlinear acoustic waves in a tunnel with an array of Helmholtz resonators. JFM, 1992, 244: 55-784.1 在排列有一組Helmh