兩線段和最小

1、兩線段和最小求線段和的最小值問題，在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到，利用軸對稱知識可以比較簡單的解決。我們先通過一個非常典型的例題來推導(dǎo)一個性質(zhì)：一、性質(zhì)推導(dǎo)例題：如圖所示，在河岸L的一側(cè)有兩個村莊A、B，現(xiàn)要在河岸L上修建一個供水站，問供水站應(yīng)建在什么地方，才能到A，B兩村莊的距離之和最短？首先，我們來推導(dǎo)一個軸對稱的性質(zhì)，如圖，作B點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)B1, 在直線L上任意定一點(diǎn)M，連接B B1，BM，B1M，根據(jù)軸對稱知識，我們可以求證BMB1M，所以，我們可以得出這樣的性質(zhì)：成軸對稱的兩個對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。在該例題中，利用這一性質(zhì)，我們可得出：點(diǎn)B到河岸L上任意點(diǎn)M的距離等于對稱B

2、1到點(diǎn)M的距離。要使AM+ B1M最小，必須使A、M、B1三點(diǎn)共線，也就是說，必須使點(diǎn)M，與A B1連線和L的交點(diǎn)N重合，所以，河岸上的N點(diǎn)為到A、B的距離之和最小的點(diǎn)。證明：M為L上的任意點(diǎn) 因?yàn)锽MB1M所以，BM+AMB1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，結(jié)論成立二、應(yīng)用1 ：在圖（1）中，若A到直線L的距離AC是3千米，B到直線L的距離BD是1千米，并且CD的距離4千米，在直線L上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。求這個最小值。解：作出A1B（作法如上圖）過A1點(diǎn)畫直線L的平行線與BD的延長線交于H，在RtA1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的長度為4千

3、米，即PA+PB的最小值為4千米。圖（1）2、 如圖（1），在直角坐標(biāo)系XOY中，X軸上的動點(diǎn)M（x，0）到定點(diǎn)P（5，5）和到Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ取最小值時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=_。圖（1）圖（2）解：如圖（2），只要畫出點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q1（2，-1），連結(jié)PQ1 交x軸于點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為所求。點(diǎn)M的橫坐標(biāo)只要先求出經(jīng)過PQ1兩點(diǎn)的直線的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。3、 求函數(shù)y= +的最小值。解：方法（）把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y= + ，因此可以理解為在X軸上找一個點(diǎn)，使它到點(diǎn)（3，1）和（-3，5

4、）的距離之和最小。（解法同上一題）。方法（）如圖（9），分別以PM=（3-x）、AM=1為邊和以PN=（x+3）、BN=5為邊構(gòu)建使（3-x）和（x+3）在同一直線上的兩個直角PAM、PNB，兩條斜邊的長就是PA= 和PB= ，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用軸對稱性質(zhì)求出BA1的長，就是y的最小值。（6）。三、拓展（一）三條線段的和最小的問題：如圖3，已知甲、乙、丙三人做接力游戲，開始時,甲站在AOB內(nèi)的P點(diǎn)，乙站在OA邊上，丙站在OB邊上，游戲規(guī)則：甲將接力棒傳給乙，乙將接力棒傳給丙，最后丙跑至終點(diǎn)P處。如果三人速度相同，試作圖求出乙丙站在何處，他們比賽所用時間最短。析

5、解：三人的速度一定且相同，要使比賽時間最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用軸對稱知識，作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)、，連接，交OA于，交OB于，則點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)分別是乙、丙的位置。這樣連接、則三人行的路程和為。規(guī)律總結(jié)：軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變位置，要注意體會軸對稱在這方面的應(yīng)用。 （二）利用菱形的對稱性，求線段和的最小值1、如圖（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,點(diǎn)P在BD上，則PE+PC的最小值是（ ）（A）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。解：如圖（6），因?yàn)榱庑问禽S對稱圖形，所以B

6、C中點(diǎn)E關(guān)于對角線BD的對稱點(diǎn)E一定落在AB的中點(diǎn)E1，只要連結(jié)CE1，CE1即為PC+PE的最小值。這時三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以選（D）。2、已知在菱形ABCD中，A=600，AD=8，M、N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，P是對角線AC上一動點(diǎn)，求PMPN的最小值。分析：因?yàn)閯狱c(diǎn)P在菱形ABCD的對角線AC上，而CD邊的中點(diǎn)G，是N關(guān)于對稱軸AC的對應(yīng)點(diǎn)所以，PGPN，因此求PMPN的最小值就轉(zhuǎn)化為求PMPG的最小值，連接MG，在PMG中，PMPG的最小值就是MG，即PMPGMG（僅當(dāng)M、P、G三點(diǎn)共線時取得最小值）。解：取CD的中點(diǎn)G，連接P

7、G AC是菱形ABCD的對角線 PCGPCN又CBCD，N是BC邊的中點(diǎn) CNCG又PCPC，PCGPCNPGPN連接MG。 四邊形AMGD為平行四邊形MGAD8在PMG中，（僅當(dāng)P、M、G三點(diǎn)共線時取等號）即，故PMPN的最小值為8。（三）利用正方形的對稱性，求線段和的最小值已知如圖：正方形ABCD的邊長是3,E點(diǎn)分邊BC為2:1,P為對角線BD上一點(diǎn),求PE+PC的最小值. 分析:要想求PE+PC的最小值,關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置,根據(jù)對稱的知識我們知道點(diǎn)P的位置應(yīng)是，點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)和點(diǎn)E連線與BD的交點(diǎn).解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A,連接AE交BD于

8、P點(diǎn),則此時 PE+PC的最小值最小,最小值為:PE+PC=AE= （四）利用等腰梯形的對稱性，求線段和的最小值如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD1，B60，直線MN為梯形ABCD的對稱軸，P為MN上一點(diǎn)，那么PCPD的最小值為_。分析：在梯形ABCD中，因?yàn)锳BCDAD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直線MN是梯形ABCD的對稱軸，所以直線MN是底邊AD、BC的垂直平分線，連接PA，由線段垂直平分線上任一點(diǎn)，到已知線段兩端的距離相等知，PAPD，所以求PCPD的最小值就轉(zhuǎn)化為求PCPA的最小值，即求AC的長度即可。 解：連接PAABCDAD1，梯形ABCD是等腰梯形又直線MN是梯

9、形ABCD的對稱軸PAPD過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)D作DFBC，E、F為垂足，易證ABEDCF，BECF在RtABE中，B60，AB1在RtABC中，由勾股定理，得即PAPC的最小值為（當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時取得最小值）也可這樣求AC的值：過A點(diǎn)作CD的平行線，交BC于G，則BGAB1,GCAD1BC2而角BCADACDCA，角BCA30,角BAC90度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圓的對稱性，求線段和的最小值已知如圖,AB是的直徑,AB=2cm,OCAB,點(diǎn)D是弧AC的三等分點(diǎn),P是OC上一動點(diǎn),求PA+PD的最小值.分析：圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓上

10、任意一點(diǎn)的關(guān)于直徑所在直線的對稱點(diǎn)都在圓上。 解:作點(diǎn)D關(guān)于OC的對稱點(diǎn)F,連接AF,此時PA+PD的最小值為AF.因?yàn)锳B是圓O的直徑,OCAB，則弧AC的度數(shù)為900，因?yàn)镈是弧AC的三等分點(diǎn)，所以弧AD的度數(shù)是600，弧DC的度數(shù)是300，因?yàn)辄c(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于OC的對稱，所以且弧DC與弧CF相等,都為300，AOF=1200，作OEAF，則AOE=600。在RtAOE中，AO= 1cm，AOE=600，則AE=，AF=。（六）利用坐標(biāo)系的對稱性，求線段和的最小值如圖,在直角坐標(biāo)系中, 有四個點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四邊形ABCD周長最短時的值。分析：

11、因?yàn)锳、B是定點(diǎn)且長度不變，四邊形ABCD的周長最短，需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D兩點(diǎn)未知，所以本題關(guān)鍵是找C、D兩點(diǎn)，可考慮用軸對稱的方法將BC、CD、AD這三條折線拉直。解：分別作A點(diǎn)關(guān)于x軸、B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A/（-8，-3）、B/（4，5），連接A/B/分別交x軸、y軸于D、C點(diǎn)。設(shè)直線A/B/的解析式為y=kx+b，把x=-8，y=-3；x=4，y=5分別代入得： -8k+b=-3 4k+b =5 解得k和b值，得到A/B/的解析式為:3y=2x+7 令x=0，求得y，得到C點(diǎn)令y0，求得x，得到D點(diǎn)由以上幾例可以看出，當(dāng)求線段和的最小值時，常常借助軸對稱將兩條線段

12、轉(zhuǎn)化到一條直線上，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”進(jìn)行求解。四、鏈接看這樣一題：要在一條河上架一座橋（橋須與河岸垂直，兩河岸平行），請?zhí)峁┮环N設(shè)計(jì)方案，使從A地到B地的路徑最短，請說明理由。請思考：1、這題為什么不能用軸對稱知識解決？(認(rèn)真理解我推導(dǎo)出的性質(zhì)就可明白)2、如何用平移知識解決此題？3、類似我推導(dǎo)出的軸對稱性質(zhì)，平移的知識能否推導(dǎo)出類似的性質(zhì)？五、練習(xí)1、（2002湖北黃崗競賽題）如圖（10），AOB=450，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則PQR的周長最小值是_ 。當(dāng)PQR周長最小時，QPR的度數(shù)=_。提示：畫點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于OB的

13、對稱點(diǎn)P2， AOB=450，P1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10。又問:當(dāng)PQR周長最小時，QPR的度數(shù)=_。（答案：900）2、已知點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B（3，4）。在X軸上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。這個最小值是_。（同例2）3、（北京市競賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值。提示：要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線BM+MN拉直，從而想到用軸對稱性質(zhì)來做。畫出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B1，則B1N的長就是最小值；又因?yàn)镹也是動點(diǎn)，所以，當(dāng)B1NAB時這個值最小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個最小值為16。初三的