相似及相似對(duì)角化

1、1、定義定義1,.設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣, ,若若有有 階階可可逆逆方方陣陣 ，使使 則則稱(chēng)稱(chēng) 與與 相相記記作作似似，nnA BPPAPBAABB1,APAPA對(duì)對(duì) 進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算稱(chēng)稱(chēng)相相為為對(duì)對(duì) 進(jìn)進(jìn)行行似似變變換換；PAB可可逆逆矩矩陣陣 稱(chēng)稱(chēng)為為把把 變變?yōu)闉?的的相相似似變變換換矩矩陣陣. .2、 性質(zhì)(1)AA反反身身性性：；(2)ABBA對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性：；(3)ABBCAC傳傳遞遞性性：且且；等等價(jià)價(jià)關(guān)關(guān)系系(4)detdet ,相相似似矩矩陣陣的的可可逆逆性性：與與 同同時(shí)時(shí)可可逆逆或或同同時(shí)時(shí)不不可可逆逆；BABAAB11detdetdetdetdetABBPAPBPAPA證

2、11(5)逆逆矩矩陣陣相相似似性性: :且且 可可逆逆；ABAAB證111111()BPAPBPAPPA P證(6)() ,()mmkkkmABABRABN同同冪冪矩矩陣陣、數(shù)數(shù)乘乘矩矩陣陣相相似似性性：11111()mmmmBPPPAPPAAAPPA PPP 個(gè)個(gè) (7),f Af BfAB矩矩陣陣多多項(xiàng)項(xiàng)式式相相似似性性：是是多多項(xiàng)項(xiàng)式式；證1110( )ssssf xa xaxa xa設(shè)設(shè)111011111110111101( )()( )ssssssssssssfaaaaaaaaaaaafBBBBEPA PPAPPAPPEPPAAAE PPA P,pA設(shè)設(shè)是是 的的特特征征值值和和特特

3、征征向向量量，則則推論(1),kkpA是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量；,sspA( (2 2) )是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量；1,ApA- -1 1( (3 3) ) 當(dāng)當(dāng) 可可逆逆時(shí)時(shí)，是是的的特特征征值值和和特特征征向向量量. .4、矩陣多項(xiàng)式1、相似對(duì)角化條件問(wèn)題：方陣A 與對(duì)角陣相似的條件？對(duì)角化條件：定義：1212diag(,)可可 若若 階階方方陣陣，則則對(duì)對(duì)角角。化化稱(chēng)稱(chēng)nnnAA n 階方陣 A 與對(duì)角陣相似 A 有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.推論1 n階方陣A的n 個(gè)特征值互不相同A 與對(duì)角陣相似。說(shuō)明12(,),ndiag A A ( (1 1) )

4、若若則則 與與 的的特特征征值值相相同同， 相似變換矩陣不唯一；,iA A ( (3 3) ) 若若不不計(jì)計(jì) 的的排排列列順順序序, ,則則 唯唯一一，稱(chēng)稱(chēng)為為的的相相似似標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形. .12,n A的的主主對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)元元素素為為 的的全全部部特特征征值值. .121212(,),nnn Pp ppp pp設(shè)設(shè)相相似似變變換換矩矩陣陣為為，則則列列向向量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特依依次次征征向向量量. .1、相似對(duì)角化條件推論2121212,.1,2,)mmmiiiAmr rrrrrnrrim AA 設(shè)設(shè)是是的的個(gè)個(gè)互互不不相相同同的的特特征征值值，重重?cái)?shù)數(shù)依依次次為為且且則則與與對(duì)對(duì)角角陣陣

5、相相似似的的 重重特特征征值值 恰恰有有 個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量( (12111211112122222212mrrmmmrmmmnnnrrrrrrppppppppp 互互異異和和為為共共 個(gè)個(gè)合合之之仍仍線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)共共 個(gè)個(gè)重重個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)重重個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)即即重重個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)1、相似對(duì)角化條件稱(chēng)為代數(shù)維數(shù)； 的維數(shù)稱(chēng)為的幾何重?cái)?shù)。 1122mmA對(duì)對(duì)角角陣陣1r個(gè)個(gè)2r個(gè)個(gè)mr 個(gè)個(gè)注1、相似對(duì)角化條件推論3 如果 n 階方陣 A 可對(duì)角化，則 rank(A)=A的非零特征值的個(gè)數(shù)。證明若 A 可以對(duì)角化，設(shè)與其相似的對(duì)角陣為 即存在可逆矩陣P

6、，使得 。 APP1 因此 A 與 等價(jià)，則有r(A)=r( ). 所以 對(duì)角線(xiàn)上的非零元個(gè)數(shù)為r(A). 又因?yàn)?A 與 相似，所以 A 的特征值與 的特征值相同，所以r(A)= A 的非零特征值的個(gè)數(shù)。 證畢1、相似對(duì)角化條件 把一個(gè)矩陣對(duì)角化,不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化,而且在理論和應(yīng)用上都有意義.主要有以下幾種應(yīng)用:1） 由特征值特征向量反求矩陣2、相似對(duì)角化的應(yīng)用2） 求方陣的冪3） 求行列式說(shuō)明說(shuō)明：1. 1. 一般方陣常常不能對(duì)角化一般方陣常常不能對(duì)角化 2. 2. 對(duì)角化條件一般難于判斷。對(duì)角化條件一般難于判斷。本小節(jié)主要結(jié)論本小節(jié)主要結(jié)論：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 (1) (1) 特

7、征值必為實(shí)數(shù)特征值必為實(shí)數(shù) (2) (2) 必相似于對(duì)角矩陣必相似于對(duì)角矩陣 (3) (3) 且可正交相似于對(duì)角矩陣且可正交相似于對(duì)角矩陣( (相似變換可相似變換可為正交變換為正交變換) )2、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量定理：定理：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的特征實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的特征向量是實(shí)向量向量是實(shí)向量. 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)0 0zabibabiabiabiabizz分析分析定理：定理：12,.1 12 21 12 2 設(shè)設(shè)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣 的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值互互異異，是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征向向量量，則則實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣的的不不同同特

8、特征征值值所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量：互互相相正正交交. .即即 Apppp證畢證畢2、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量3、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣定理：定理：12112,(,). 設(shè)設(shè) 是是 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣正正交交相相似似于于, ,是是 的的特特征征值值則則有有正正交交矩矩陣陣使使此此時(shí)時(shí)稱(chēng)稱(chēng)nnndiag AAQQAQQ AQA推論推論121212,., 設(shè)設(shè)是是 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣 的的個(gè)個(gè)不不同同的的特特征征值值，重重?cái)?shù)數(shù)依依次次為為且且則則重重特特征征值值必必有有個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量. .

9、mmmiiinmr rrrrrnrr A3、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 A 正交相似于對(duì)角陣的問(wèn)題與正交相似于對(duì)角陣的問(wèn)題與 求解步驟求解步驟1.求求正正交交陣陣，使使問(wèn)問(wèn)題題：QQAQ（1）求）求 A 的全部特征值的全部特征值(含重?cái)?shù)含重?cái)?shù))，即，即 步驟步驟121212det()0,;,解解一一元元次次方方程程根根：重重?cái)?shù)數(shù)：且且mmmnrrrrrrn AE3、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣12,d(2),1,2,.im,對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)求求對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量：求求齊齊次次線(xiàn)線(xiàn)性性即即，注注意意：必必有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解解解間間系系空空iiiiiiiiriiiiranknrrimrpppAE xSES0A1212(3),iiiiiriiriipppqqq，得得, ,仍仍將將，正正交交化化，為為之之特特單單位位化化征征向向量量；121112121