線性空間與線性變換(重要)

1、第三章第三章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換3.1 線性空間的定義與性質(zhì)線性空間的定義與性質(zhì)0數(shù)軸數(shù)軸平面平面三維空間三維空間yxzOxyO常見的幾何空間：常見的幾何空間：幾何空間幾何空間R R3 3的運算的運算運算規(guī)律運算規(guī)律加法加法;()kkR33(3)0,0;RR 中存在零元素對都有;)1( ;)2( (8)1;(5); (7). (6); 33 (4),()0;RR 對對任任何何存存在在負(fù)負(fù)向向量量使使()，Ru對幾何空間進行推廣，通過抽對幾何空間進行推廣，通過抽象出幾何空間線性運算的本質(zhì)；象出幾何空間線性運算的本質(zhì)；u在任意研究對象的集合上定義在任意研究對象的集合上定義具有線性

2、運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。具有線性運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。線性空間線性空間 若對于任一數(shù)若對于任一數(shù) 與任一元素與任一元素 ，總有唯，總有唯一的一個元素一的一個元素 與之對應(yīng)，稱為與之對應(yīng)，稱為 與與 的積，的積，記作記作FV V 定義定義 設(shè)設(shè) 是一個非空集合，是一個非空集合， 為一個數(shù)域如果為一個數(shù)域如果對于任意兩個元素對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元，總有唯一的一個元素素 與之對應(yīng)，稱為與之對應(yīng)，稱為 與與 的和，記作的和，記作V ,V VF如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律: :(3)0,0;VV 中存在零元素對都有;)1( ;)2( (8)1;(5); (

3、7). (6); ( ),;VV40對任何都有 的負(fù)元素使()，F(xiàn)那么那么 就稱為數(shù)域就稱為數(shù)域 上的線性空間上的線性空間VF2 判別線性空間的方法：一個集合，對于定判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間 注注1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，稱為稱為線性運算線性運算特別地，特別地，當(dāng)集合中定義的加法和乘數(shù)運算是當(dāng)集合中定義的加法和乘數(shù)運算是通常通常的實數(shù)間的加乘運算的實數(shù)間的加乘運算，則

4、，則只需檢驗對運算的封閉性只需檢驗對運算的封閉性,nmnmnmCBA ,nmnmDA .m nR是實數(shù)域上的線性空間( ), nmmnRnmR11111由行向量組構(gòu)成的線性空間稱為 維行向量空間；,由列向量組構(gòu)成的線性空間稱為維列向量空間.( )nnn2維行向量空間和 維列向量空間統(tǒng)稱為 維向量空間.( )nRn3 如無特別說明表示 維列向量空間.注注易易驗驗證證加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘滿滿足足八八條條運運算算律律. .加法：加法：)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn nP

5、x故對加法、數(shù)乘運算封閉,因此構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.1010 , , |,.,.nnnnnnP xP xpa xa xaaa aR次數(shù)不超過 的多項式的全體 記作即對于通常的多項式加法 數(shù)乘多項式的乘法構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間例例2 2數(shù)乘數(shù)乘: |,.,.nnnnnnQ xpa xa xaaa aRa10100注次多項式的全體且對于通常的多項式加法和乘數(shù)運算不構(gòu)成線性空間例例3 3 全體正實數(shù)全體正實數(shù)R R+ +, ,定義加法和數(shù)量乘法如下：定義加法和數(shù)量乘法如下：, , kababa bRk aakRaR 解：解：,a bRababR，故加法運算封閉；(3),;a Raa 存在零元 ，使

6、都有(1); ab ba(2);abcabc零元為常數(shù)零元為常數(shù)1 1, kkRaRk aaR ，故數(shù)乘運算封閉。1(8)1.aaa(5);aa(7)abab ；(6)()();aaa 故在該加法和數(shù)乘運算下，對應(yīng)集合構(gòu)成故在該加法和數(shù)乘運算下，對應(yīng)集合構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間。實數(shù)域上的線性空間。(4),;aRa對任何都存在 的負(fù)元素負(fù)元為負(fù)元為1/1/a注：線性空間的元素統(tǒng)稱為注：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量向量”，但它可以，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等. .線性空間的簡單性質(zhì)：線性空間的簡單性質(zhì)： 零元素是唯一的；零元素是唯一的

7、； 負(fù)元素是唯一的；負(fù)元素是唯一的； 0 0 =0;k0=0;(-1)=0;k0=0;(-1) =-=- ； 如果如果k k =0,=0,那么那么k=0k=0或或 = =0 0。0 01=0 01+0 02=0 02 - 1=(- 1)+0 0=(- 1)+( +(- 2) =(- 1)+ )+(- 2)=0 0+(- 2)=- 23.4 線性子空間線性子空間對三維幾何空間：對三維幾何空間：yxzO任何過原點的平面是任何過原點的平面是R3的子集的子集 在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。R3的線

8、性子空間的線性子空間線性子空間線性子空間 定義：定義：設(shè)設(shè)W是數(shù)域是數(shù)域F上線性空間上線性空間V的非空子集合的非空子集合. .如果如果W中的向量對中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運算中所定義的向量加法和數(shù)乘運算也構(gòu)成也構(gòu)成F上的線性空間，則稱上的線性空間，則稱W為為V的線性子空間的線性子空間, ,簡稱子空間簡稱子空間. . 定理定理: : W是是V的非空子集合，則的非空子集合，則W是是V的子空間的充要的子空間的充要條件是條件是,.WkFkW 有 V的子空間的子空間注注V和零子空間是和零子空間是V的平凡子空間的平凡子空間；其它子空間稱為其它子空間稱為V的真子空間的真子空間.生成子空間生成子空

9、間,sV12設(shè)設(shè)則則 (,)|,ssssLkkkk kkF12112212 .VL上述集合記為是是的的子子集集. . .LV易易證證是是 的的子子空空間間 .ssL1212, , , 我我們們稱稱是是由由生生成成的的子子空空間間 是是它它的的生生成成向向量量組組 3.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性 如果線性空間如果線性空間V以通常的向量作為元素，即以通常的向量作為元素，即V中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系.yxzO( , , )rx y zxiyjzk( , , )

10、;( , , );( , , ).ijk1 0 00 1 00 0 1, ,rij k 與線性相關(guān) kcid j無法表示成的形式線性組合與線性表示線性組合與線性表示 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的一個線性空間，上的一個線性空間， 是是V 中的一組向量，中的一組向量， 是數(shù)域是數(shù)域F 中的數(shù)，那中的數(shù)，那么向量么向量,s 12,sk kk12sskkk1122,s 12稱為向量稱為向量 的一個線性組合，有時也稱向量的一個線性組合，有時也稱向量 可可以由以由 線性表示。線性表示。 例例1:1: nnxx ex ex e1 122,.,nne ee12 維單位向量組線性表示:(,)12nTnnRxxxx維

11、向量空間中任一向量可由 =, = 12344123111111111111例2 設(shè)，問能否由，線性表示？.=+4123解：觀察發(fā)現(xiàn)：線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān) 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的一個線性空間，且上的一個線性空間，且 如果在數(shù)域如果在數(shù)域F中存在中存在s 個不全為零的數(shù)個不全為零的數(shù) , ,使使得得,.sV 12,sskkk11220,12sk kk,s 12則稱向量組則稱向量組 線性相關(guān)線性相關(guān). ,s 12否則稱向量組否則稱向量組 線性無關(guān)，即若線性無關(guān)，即若,sskkk11220則必有則必有=.skkk120此時至少有一個此時至少有一個向量可以由其他向量可以由其他向量線性表

12、示。向量線性表示。進一步來理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)進一步來理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)考慮等式考慮等式)(02211 rrkkk r12向量組， ，線性相關(guān)：r12向量組， ，線性無關(guān)：總成立?？偝闪ⅰr，等式時，等式當(dāng)當(dāng)關(guān)，關(guān)，是線性相關(guān)還是線性無是線性相關(guān)還是線性無，無論向量組無論向量組)(02121 rrkkk ( )rkkk12至少有兩組以上的數(shù) ， ， ， ，使得等式成立。( )rrkkkkkk12120只存在唯一的一組數(shù) ， ， ， ，使得等式成立，即注：注：(1)(1)給定向量組給定向量組 ，該向，該向量組要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)。量組要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)。 (2

13、)(2)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。(3)(3)向量組只包含一個向量向量組只包含一個向量 時：時：若若 , ,則說則說 線性相關(guān)；線性相關(guān)； 0若若 , ,則說則說 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 0,s 12TTTneee12(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)n例例3.3.維維向向量量組組 n稱稱為為 維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組, , 討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性. .解：令解：令+nnk ek ek e1 1220即即nkkk120故故,.ne ee12 線線性性無無關(guān)關(guān)1231021 , 2 , 4157 例例4. 4. 已已知知, ,

14、 , 12312.試試討討論論向向量量組組及及的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性解：令解：令+xxx1122330即即 2+4+7xxxxxxxx1312312302050系數(shù)矩陣為方陣系數(shù)矩陣為方陣,102124157A故方程組故方程組Ax=0存在非零解存在非零解. 即即 線性相關(guān)線性相關(guān)., , 123, 0A 且A102102102124022022157055000即即r(A)=23，故，故Ax=0存在非零解存在非零解.另解：另解：同理，對同理，對 ,令令, 12kk11220即即 kkkkk1121202050.kk120得故故 線性無關(guān)線性無關(guān)., 12注：向量組只包含兩個非零向量注：向量組

15、只包含兩個非零向量 時，則時，則,12 ,= 122112線性相關(guān)，使或定理定理1 n維列向量組維列向量組 線性相關(guān)的充要線性相關(guān)的充要條件是條件是r(A) s，其中，其中,s 12,).(sA 12線性相關(guān)性的判定線性相關(guān)性的判定推論推論 n個個 n維列向量組維列向量組 線性相關(guān)的充線性相關(guān)的充要條件是要條件是|A|=0，其中，其中,).(nA 12,n 12注：若給定的是行向量組，需要將其轉(zhuǎn)化成列向量組。注：若給定的是行向量組，需要將其轉(zhuǎn)化成列向量組。1234(2, 1, 1,1,2),(1,1, 2,1,4),(4, 6,2, 2,4),(3,6, 9,7,9). A2143116612

16、2911272449 例例5 設(shè)設(shè), 1234判斷判斷 是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？解解rr rr3221,11660102008900890000 116603815038150281306821 故r(A)=35,. 125線性相關(guān)11660102008900000000 28 證證123112223331123,bbbb b b 例例6. 6. 已已知知向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)試試證證線線性性無無關(guān)關(guān) , .xxxx bx bx b1231 12233 , 0,設(shè)設(shè)有有三三個個數(shù)數(shù)使使得得xxx112223331 ()()()0, 即即xxxxxx13112223

17、3 ()()()0, 亦亦即即123 , , 因因線線性性無無關(guān)關(guān), , 故故有有xxxxxx1312230,0,0. xxxxxx1312230,0,0. 101 11020, 011由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式xxx123 0, 故故方方程程組組只只有有零零解解b b b123,.所所以以向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 定理定理2 向量組向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可以由其他向量線性表示少有一個向量可以由其他向量線性表示.定理定理3,s12 ,sss t121 線性相關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)定理定理4,s12 線性無關(guān)線性無關(guān),

18、s12 線性相關(guān)線性相關(guān),可可由由線線性性表表示示，且且表表示示法法唯唯一一. .s 12部分相關(guān)部分相關(guān), 則整體相關(guān)則整體相關(guān); 整體無關(guān)整體無關(guān), 則部分無關(guān)則部分無關(guān).向量組的等價向量組的等價ms1212 , ,. : 向向量量組組等等價價. .設(shè)設(shè)有有兩兩個個向向量量組組(I)(I)及及 (II) (II)若若 (II) (II) 組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由向向量量組組 (I) (I) 線線性性表表 示示, , 則則稱稱向向量量組組 (II) (II) 可可由由向向量量組組 (I) (I)線線性性表表示示, , 若若向向量量組組 (I) (I) 與與向向量量組組 (II

19、) (II) 能能相相互互線線性性表表示示, , 則則 稱稱這這兩兩個個 A B CAAABBAABBCAC, ： 與， ，. 設(shè)設(shè)是是向向量量組組，則則(1)(1)反反身身性性與與 等等價價(2)(2)對對稱稱性性：等等價價則則 與與 等等價價(3)(3)傳傳遞遞性性: :與與 等等價價與與 等等價價, ,則則 與與 等等價價性質(zhì)性質(zhì)定理定理1 下列命題等價下列命題等價(1)m nm ss nCAB (2) C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示(3) C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表示的列向量組線性表示TTsTTsTTmmmsmsaaaaaaa

20、aa1111211212222212 nnnssssnbbbbbbbbb1112121222121212(,)(,) 推論推論1 矩陣矩陣A經(jīng)過初等行經(jīng)過初等行(列列)變換化為變換化為B, 則則A的行的行(列列)向量組與向量組與B的行的行(列列)向量組等價。向量組等價。定理定理2 若向量組若向量組 線性無關(guān)，且可線性無關(guān)，且可由由 線性表示，則線性表示，則r12, s12,rs. 推論推論2 等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量數(shù)的向量.3.4 線性子空間線性子空間對三維幾何空間：對三維幾何空間：yxzO任何過原點的平面是任何過原點的平面是R3的子集的子集

21、在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。R3的線性子空間的線性子空間線性子空間線性子空間 定義：定義：設(shè)設(shè)W是數(shù)域是數(shù)域F上線性空間上線性空間V的非空子集合的非空子集合. .如果如果W中的向量對中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運算中所定義的向量加法和數(shù)乘運算也構(gòu)成也構(gòu)成F上的線性空間，則稱上的線性空間，則稱W為為V的線性子空間的線性子空間, ,簡稱子空間簡稱子空間. . 定理定理: : W是是V的非空子集合，則的非空子集合，則W是是V的子空間的充要的子空間的充要條件是條件是,.WkFkW 有 V

22、的子空間的子空間注注V和零子空間是和零子空間是V的平凡子空間的平凡子空間；其它子空間稱為其它子空間稱為V的真子空間的真子空間.生成子空間生成子空間,sV12設(shè)設(shè)則則 (,)|,ssssLkkkk kkF12112212 .VL上述集合記為是是的的子子集集. . .LV易易證證是是 的的子子空空間間 .ssL1212, , , 我我們們稱稱是是由由生生成成的的子子空空間間 是是它它的的生生成成向向量量組組 如果線性空間中含有無窮多個向量。如何如果線性空間中含有無窮多個向量。如何找出有限個向量刻劃空間中的所有向量？找出有限個向量刻劃空間中的所有向量？yxzO( , , )rx y zxiyjzk(

23、 , , );( , , );( , , ).ijk1 0 00 1 00 0 1, ,.ij kR3 可以用刻劃中的任意向量, ,i j k3 個最基本的向量構(gòu)成坐標(biāo)系, ,rxiyjzkx y z中稱為在該坐標(biāo)系下的坐標(biāo).3.4 線性子空間線性子空間基、維數(shù)和坐標(biāo)基、維數(shù)和坐標(biāo),( ),;rriiiiiiV12121線性空間設(shè)設(shè)是是中中的的一一個個向向量量組組，若若滿滿足足線線性性無無關(guān)關(guān)rV，為為 的的維維數(shù)數(shù)( ),riiiV122：中中任任意意一一個個向向量量 都都可可由由線線性性表表示示 ,riiiV12：.則則稱稱是是 的的一一組組基基注注: (1)規(guī)定規(guī)定V= 為零維空間為零維

24、空間. (2)有限維線性空間有限維線性空間V的基不唯一的基不唯一.riirixxx1212= = ,rxxx12 稱為 在該基下的坐標(biāo). dim( )Vr .記記為為0向量組的秩向量組的秩sLLrL 12(,),設(shè)設(shè) 子子 空空 間間的的 維維 數(shù)數(shù) 為為如如何何 確確 定定的的 一一 組組 基基 ( (或或 向向 量量 組組 的的 秩秩 ) )? ? sssLr121212 (,),(,) 生生成成子子空空間間的的維維數(shù)數(shù)稱稱為為的的記記為為定定義義 向向量量，秩秩組組. .(一一) ：若以：若以 的部分組為基的部分組為基 12,s 若若線線性性相相關(guān)關(guān)，則則s12(2), 12,1ss 中

25、中至至少少有有一一個個向向量量可可由由其其他他個個向向量量表表示示；1Ls 中中的的所所有有向向量量可可由由這這個個向向量量表表示示；1s 若若這這個個向向量量正正好好線線性性無無關(guān)關(guān)，則則它它們們可可構(gòu)構(gòu)成成一一組組基基; ;如如果果這這個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān) 可可繼繼續(xù)續(xù)討討論論.s1, 若若線線性性無無關(guān)關(guān)，則則s12(1), sL12,中中任任意意向向量量都都可可由由線線性性表表示示， 因因此此恰恰好好為為一一組組基基, ,且且srs12,. Lr總總而而言言之之，若若維維數(shù)數(shù)為為 , ,則則 (I)(II)使使得得中中任任意意向向量量都都可可以以由由線線性性表表示示. .(II

26、)(I)即即是是的的一一組組基基( (或或最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組) ). .rsiii1212(I), (II),：中中存存在在線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組： 尋尋基基求求秩秩的過程的過程明確向量組線性明確向量組線性關(guān)系的過程關(guān)系的過程(找最大線性無關(guān)組的過程找最大線性無關(guān)組的過程)sssiLxxxxF121122, =+|設(shè)設(shè)為為列列向向量量組組. .生生成成的的子子空空間間 A 初初等等行行變變換換不不改改變變矩矩陣陣 的的列列向向量量組組的的線線 關(guān)關(guān)系系 性性定定理理。證證sA12(,)令令 43解解TTTTT12345. (1,1,0,0) , ( 1,2,1, 1) ,

27、(0,1,1, 1) , ( 1,3,2,1) , ( 2,6,4,1) . 例例1 1 求求向向量量組組的的秩秩及及其其最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組, ,并并把把不不在在該該組組中中的的向向量量用用最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示AA 12345 (), 設(shè)設(shè)用用初初等等行行變變換換化化為為階階梯梯形形A110121213601124011111101201124000350000012345 124, 線線 性性 無無 關(guān)關(guān) ；135, 也也線線性性無無關(guān)關(guān)r124()3) 123, 線線性性相相關(guān)關(guān)13235310100110000100000124, 線線 性性 無無 關(guān)關(guān)

28、12345 3121255124.333=+,=+ 3故故向向量量組組的的秩秩為為 ，124,是是一一組組最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組, ,且且 3121255124.333=+,=+ 繼繼續(xù)續(xù)行行變變換換11012011240003500000(行最簡形)3最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的個個數(shù)數(shù)為為 ，總結(jié)：求列向量組最大線性無關(guān)組或生成子空間總結(jié)：求列向量組最大線性無關(guān)組或生成子空間 ssiLxxxxF1122=+| 的基：的基：(1)將向量按列寫成矩陣：將向量按列寫成矩陣：sA12(,) (2)用初等用初等行變換行變換將矩陣化為行階梯形；將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數(shù)行階梯形非

29、零行的行數(shù)r即為空間的維數(shù)；即為空間的維數(shù)； (4)如果行階梯形每個非零行的首非零元對如果行階梯形每個非零行的首非零元對應(yīng)列指標(biāo)為應(yīng)列指標(biāo)為 ，則，則riii12,riiiL12,且且為為的的一一組組基基( () ). .或或最最大大無無關(guān)關(guān)組組 (向向量量組組的的秩秩) )(5)若要明確其他向量和最大無關(guān)組的線性關(guān)系，需繼若要明確其他向量和最大無關(guān)組的線性關(guān)系，需繼續(xù)進行續(xù)進行行變換行變換將矩陣化為行最簡形將矩陣化為行最簡形.注：注：若生成向量組為行向量組，則可以轉(zhuǎn)置為列向若生成向量組為行向量組，則可以轉(zhuǎn)置為列向量組，量組，選取部分組選取部分組為對應(yīng)子空間的基為對應(yīng)子空間的基.轉(zhuǎn)置不改變轉(zhuǎn)置

30、不改變行向量組的行向量組的線性關(guān)系。線性關(guān)系。(二二) ：若：若不以不以 的部分組為基的部分組為基 12,s 設(shè)設(shè) 中中有有兩兩個個向向量量組組(I)(I)及及 (II) (II)則則的的充充要要條條件件是是(I)(I)與與(II)(II)等等價價. .rsrsVLL12121212 , ,. , : ()= ()()= ()定定理理則需要找與則需要找與 等價的線性無關(guān)向量組等價的線性無關(guān)向量組12,s (二二) ：若：若不以不以 的部分組為基的部分組為基 12,s Recall 推論推論 矩陣矩陣A經(jīng)過初等行經(jīng)過初等行(列列)變換化為變換化為B, 則則A的行的行(列列)向量組與向量組與B的行

31、的行(列列)向量組等價。向量組等價。 等等價價的的向向量量組組有有相相同同的的注注秩秩. .1212, ssA 設(shè)設(shè)為為行行向向量量組組. .令令= =100rB = =初等行變換初等行變換AB則則 ， 的的行行向向量量組組等等價價，因因此此,LL BL 的的行行向向量量組組生生成成子子空空間間的的基基也也為為的的基基. .(行階梯形行階梯形)TTTTLL12341234=(1,1, 2, 2, 1) ,=(0, 2, 1, 5, 1) ,=(2, 0, 3, 1, 3) , (1,1,2,4, 1) .,子子例例2 2空空間間由由生生成成，求求生生成成組組以以外外的的一一組組 設(shè)設(shè)基基. .

32、 11221021512031311241A 解：解：11221021510215100022 行變換行變換11221021510002200000 1234 123(1,1,2,2,1),(0,2,1,5,1),(0,0,0,2,2) 故故是所求空間的一組基是所求空間的一組基.矩陣的行秩與列秩矩陣的行秩與列秩給定矩陣給定矩陣A，稱矩陣稱矩陣A的的行向量組行向量組生成的子空間生成的子空間R(A), 對應(yīng)空間的維數(shù)為對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的行秩；矩陣的行秩；稱矩陣稱矩陣A的的列向量組列向量組生成的子空間生成的子空間C(A)， 對應(yīng)空間的維數(shù)為對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的列秩矩陣的列秩.矩矩陣陣的的行行秩

33、秩、列列秩秩和和矩矩陣陣的的秩秩相相等等. .定定理理 回顧：求回顧：求列向量組列向量組生成子空間的維數(shù)：生成子空間的維數(shù)： (1)將向量按列寫成矩陣：將向量按列寫成矩陣：nA 12(,) (2)用初等用初等行變換行變換將矩陣化為行階梯形；將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數(shù)即為空間的維數(shù)。行階梯形非零行的行數(shù)即為空間的維數(shù)。 mA 12= = 100rB = =初等行變換初等行變換行向量組：行向量組：(行秩行秩=矩陣的秩矩陣的秩)(列秩列秩=矩陣的秩矩陣的秩)3.6 歐氏空間歐氏空間對三維幾何空間：對三維幾何空間：yxzO定義了向量長度，向量夾角定義了向量長度，向量夾角線性空間中對

34、向量如何度量？線性空間中對向量如何度量？向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 , ,V對對于于線線性性空空間間 中中任任意意兩兩個個向向量量如如果果有有唯唯一一確確定定的的實實數(shù)數(shù) 與與定定之之且且足足義義對對應(yīng)應(yīng)，滿滿 1212(1);, , , , ;(3) , 0,=0kkkkV 對對稱稱性性: :線線性性性性 , , ,( (2 2) ) 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng): :正正定定時時立立性性等等號號成成; ;: :,V 則則稱稱 為為 的的內(nèi)內(nèi)積積. .,歐歐幾幾里里德德定定義義了了內(nèi)內(nèi)積積的的線線性性空空間間稱稱為為簡簡空空間間稱稱歐歐氏氏空空間間. ., ,kk,0V 是是 中中任任意意元元素素：( (1

35、1) ) , , = =0 0; ; ( (2 2) ) , , + + = = , , + + , , ; ;( (3 3) ) = = 性性質(zhì)質(zhì) nRn設(shè)設(shè)有有維維向向量量1122,nnxyxyxyxyTnnx yx yx yx yx y1122 , , 令令 , .nx yR 易易驗驗證證是是上上的的內(nèi)內(nèi)積積=(1,-2,1) , =(-1,2,1) ,TTxy如如：則則 , 6; x x , 6;y y , 4.x y 向量的長度與夾角向量的長度與夾角.V , , 稱稱為為歐歐氏氏空空間間 中中向向量量 的的長長定定 度度 記記為為義義. .長長度度為為1 1單單位位向向量量 的的向向

36、量量 1 0 若若，則則是是單單單單位位化化 位位向向量量. .V歐歐氏氏空空間間 中中任任意意兩兩個個向向量量 ，向向量量夾夾 為為角角 的的夾夾角角 ,=arccos ，| ,|3.6.1 這這里里由由定定理理( (柯柯西西- -布布涅涅柯柯夫夫斯斯基基不不等等式式) )保保證證. .V歐歐氏氏空空間間 中中兩兩個個向向量量 ， 滿滿足足 , =0 , =0，則則稱稱 ， 相相互互正正交交或或垂垂直直正正交交向向量量 .零零向向量量與與任任注注何何向向量量正正交交 0, . (1,2,2,3) (3,1,5,1) . TT 例例求求向向量量與與的的夾夾角角 , cos 183 26 2,2

37、 .4 夾角歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基1212,. .ssV設(shè)設(shè),是是歐歐氏氏空空間間 的的兩兩兩兩正正交交的的非非零零向向量量組組，則則,線線性性無無關(guān)關(guān) 反反不不真真質(zhì)質(zhì) 之之性性 nVn在在 維維歐歐氏氏空空間間 中中，由由 個個兩兩兩兩正正交交的的向向量量組組組組成成的的基基稱稱為為正正定定義義 交交基基; ; 由由單單位位向向量量組組成成的的正正交交基基稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基. .12, nne eeR如如: :為為的的一一組組標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基. .12,1, ,0,.sijVijij ,是是歐歐氏氏空空間間 的的一一組組標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基性性 質(zhì)質(zhì) 59得得即即TTxxx3123(,)(1,0,1) . TT1231231. (1,1,1) , (1,2,1) , 3 , , . 例例已已知知向向量量正正交交試試 求求一一個個非非零零的的維維向向量量使使兩兩兩兩