新人教八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)：從一道題展開(kāi)的聯(lián)想

1、通過(guò)師生共同探討得到四種答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,由一道題展開(kāi)的聯(lián)想人教版教材（下簡(jiǎn)稱(chēng)教材）的問(wèn)題編寫(xiě)有一個(gè)特點(diǎn)，就是講解例題與課后練習(xí)題，單元 習(xí)題，拓廣探索題互相對(duì)應(yīng)，互相補(bǔ)充， 內(nèi)容聯(lián)系到初中數(shù)學(xué)各年級(jí)教學(xué)。 只要比較不難發(fā) 現(xiàn)其自成一體.在使用過(guò)程，筆者根據(jù)對(duì)一道題的長(zhǎng)期跟蹤教學(xué)， 認(rèn)識(shí)到引導(dǎo)學(xué)生在不同章節(jié)中觀察問(wèn)題，從結(jié)合新的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中提問(wèn)題，在新的知識(shí)水平范圍內(nèi)探討問(wèn)題，對(duì)學(xué) 習(xí)興趣的培養(yǎng)，創(chuàng)新意識(shí)的滲透大有幫助.原問(wèn)題：如圖 1,在厶 ABC 中，AB = AC ,點(diǎn) D 在 AC 上，且 BD = BC = AD,求厶 ABC 各角的

2、度數(shù).（教材第一版八年級(jí)上冊(cè) P142例 1）變式 1 如圖 2,在下列等腰三角形中，圖1 中/A=360,分別求出它們的底角的度數(shù).變式 2 如圖 3, ABC 是等腰直角三角形 AD是底邊 BC 上的高，標(biāo)出/ B、/ C、/ BAD 圖中有哪些相等的線段？（教材第一版八年級(jí)上冊(cè)完成以上練習(xí)后可以這樣提醒同學(xué)們：圖 3觀察到什么現(xiàn)象啦？若沒(méi)有人發(fā)覺(jué)，可以進(jìn)一步提醒：跟課本例 1 比較一下罷。歸納、概括后可以提出一般性的問(wèn)題嗎?有人說(shuō)：“過(guò)等要三角形的頂點(diǎn)畫(huà)一條直線，可以將三角形分成兩個(gè)等腰三角形”。有人補(bǔ)充說(shuō)：“過(guò)等腰三角形的任一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線，可以將三角形分成兩個(gè)等腰三角形”。又有人說(shuō)

3、：“滿(mǎn)足結(jié)論的等腰三角形各個(gè)角度有限制，應(yīng)該是有限個(gè)并且是可求的”等。在此 基礎(chǔ)上，師生共同探討，形成一道比較完整的題目：（2001 年廣東初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖4,在厶 ABC 中，AB=AC 若過(guò)其中一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，將 ABC 分成兩個(gè)等腰三角形，問(wèn) ABC 的各內(nèi)角的度數(shù)可能是多少？A圖 4通過(guò)師生共同探討得到四種答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,51172, 72）、（ 25）,（ 77 ）,（ 77）777解答如下：如圖 5, ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC 過(guò) A 作 AD 丄 BC,垂足為。，則厶ABMHAADC 均為等腰三角形。此

4、時(shí) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)分別為 90, 45, 45如圖 6, AB=AC / BAO 90,過(guò) A 作 AD 與 BC 相交于點(diǎn) D,要使 ABD 與 ADC 均為1等腰三角形，只有 AD=BD AC=CD 這時(shí)，令/ BAC=x 則/ B=ZC=90 X。 由/ CAD=211113/ ADC180 -(90 x )=45 + x,且/BAD=x-( 45+ x)=x 45,2244413由/ B=ZBAD 有 90 x= x 45，得 x=108。對(duì)應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為 108 ,36,2436如圖 7, AB=AC / BAGc 90。過(guò) B 作 BD 交 AC 于點(diǎn) D;要使

5、ABDD BCD 為等腰三角形，可分兩種情形考慮：(i)AD=BD BC=BD 令/ A=x，易求/ A=36 對(duì)應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為 36 , 72, 72(ii)如圖 8, AD=BD BC=CD 令/ A=x，則/ BDC 玄 CBD=2x 且/ C=ZABC=3x 有 7x=180 ,51對(duì)應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為（25）, （ 77 ）77以上問(wèn)題是在觀察的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題，師生交流探討得到解答的。問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)原題是一類(lèi)題的特例。同學(xué)們?cè)倏纯?，是否還可以提出其它有獨(dú)到見(jiàn)解的問(wèn)題？隨著今后學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，可供思考挖掘的題材不斷豐富。學(xué)習(xí)了 “四邊形”后，有人由四邊形內(nèi)角和等于360,而 108、108、72、72之和剛好等于 360 ，聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，要求梯形連同它的對(duì)角線形成盡可能多的（圖 9、10、11 中各有 4 個(gè)等腰三角形）ABD=x5 x= (25 )71,(77 -)7等腰三角