理學(xué)院數(shù)學(xué)系博士入學(xué)考試

1、理學(xué)院數(shù)學(xué)系博士入學(xué)考試導(dǎo)師考核及專家小組考核大綱一、導(dǎo)師考核部分導(dǎo)師考核內(nèi)容自定，可以采用筆試或面試方式，滿分100分。二、專家小組考核部分?jǐn)?shù)學(xué)系專家小組考核采用筆試、面試相結(jié)合的考試方式。面試考試部分滿分為50分，全面考評(píng)考生的基本專業(yè)知識(shí)掌握、基本原理掌握及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。主要考評(píng)考生的表達(dá)能力、邏輯思維能力、外語(yǔ)能力，以及所從事的工作或研究經(jīng)歷等內(nèi)容。筆試考試滿分為50分，考試大綱如下：（一）考試要求1在以下6個(gè)科目中選擇二個(gè)科目（專業(yè)基礎(chǔ)與專業(yè)綜合不能選同名的科目），每科25分，共50分：泛函分析、抽象代數(shù)、現(xiàn)代數(shù)值分析、概率論、常微分方程、偏微分方程。2各科目要求：要求考

2、生全面系統(tǒng)地掌握所選科目的基本知識(shí)，具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。（二）考試內(nèi)容1泛函分析：1) 度量空間、賦（準(zhǔn)）范線性空間、內(nèi)積空間的基本定義，基本定理，基本性質(zhì)及這些空間的具體例子；凸集與Minkowski泛函的定義及基本性質(zhì)。2) 算子和泛函的線性性、有界性、連續(xù)性的定義、關(guān)系、基本性質(zhì)；Riesz定理及應(yīng)用。3) 綱，開映像定理與閉圖像定理及推論（含Banach逆算子定理等），共鳴定理及應(yīng)用。4) 線性泛函的延拓定理及其幾何形式。5) 共軛空間（含例子）與共軛算子，以及二次共軛空間與空間的自反性，弱收斂及弱* 收斂，弱列緊性及弱*列緊性。6) 線性算子的譜的定義和例；緊算子的定

3、義和基本性質(zhì)。2抽象代數(shù)：1) 群論：在掌握群、子群、正規(guī)子群、商群等概念和有關(guān)性質(zhì)及群同態(tài)基本定理的基礎(chǔ)上，要求應(yīng)試者進(jìn)一步了解與掌握：作用在集上的群；p群Sylow子群；可解群與Jordan-Holder定理；有限生成Abel群的結(jié)構(gòu)。2) 環(huán)論：在掌握環(huán)、子環(huán)、理想、商環(huán)等概念和有關(guān)性質(zhì)及環(huán)同態(tài)基本定理的基礎(chǔ)上，要求應(yīng)試者進(jìn)一步了解與掌握：交換環(huán)中的素理想、極大理想的基本性質(zhì)，交換環(huán)中的可逆元，冪等元，零因子等的基本性質(zhì)；交換環(huán)的大根與小根；有關(guān)交換環(huán)的局部化理論；鏈條件；分式理想與類群。3) 模論：模與模同態(tài)；Hom與；直積與直和；自由模、投射模、入射模；正合列與交換圖；一些特殊環(huán)上的

4、模。4) 域論：?jiǎn)渭償U(kuò)張與有限擴(kuò)張；分裂域，正規(guī)擴(kuò)張；可離擴(kuò)張；有限域；有限擴(kuò)張的單純性。5) Galois 理論：Galois群；域與群的結(jié)對(duì)關(guān)系；多項(xiàng)式的Galois群。3現(xiàn)代數(shù)值分析：1) 數(shù)值逼近：多項(xiàng)式插值、樣條插值、有理插值；正交多項(xiàng)式的性質(zhì)及構(gòu)造方法；最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲線擬合的最小二乘法。2) 數(shù)值積分與微分：高斯型求積公式的一般理論；奇異積分與振蕩函數(shù)積分?jǐn)?shù)值計(jì)算；數(shù)值微分公式的構(gòu)造方法。3) 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法：直接解法；矩陣的條件數(shù)與擾動(dòng)方程組的誤差界估計(jì)；迭代解法的方法構(gòu)造及收斂性判定；共軛梯度法。4) 非線性方程組數(shù)值解法：牛頓法及其變形方法、擬牛頓法。

5、5) 常微分方程數(shù)值解法：初值問(wèn)題數(shù)值解法（單步法的收斂性與穩(wěn)定性、線性多步法）；邊值問(wèn)題數(shù)值解法（打靶法、差分法）。4概率論：1) 集類與單調(diào)類定理，測(cè)度與概率，測(cè)度的擴(kuò)張定理及測(cè)度的完備化，獨(dú)立事件類。2) 隨機(jī)變量與可測(cè)函數(shù)，分布函數(shù)，獨(dú)立隨機(jī)變量，隨機(jī)變量序列的收斂性。3) 積分的定義和性質(zhì)，收斂定理，數(shù)學(xué)期望，不定積分與可加集函數(shù)的分解。4) 有限維乘積測(cè)度，F(xiàn)ubini定理。5) 條件概率與條件數(shù)學(xué)期望，正則條件概率。5常微分方程：1) 常微分方程的基本理論：線性穩(wěn)定性理論， Liapunov 穩(wěn)定性的基本理論， Poincare-Bendixson 定理及應(yīng)用。2) 中心流形理論

6、和規(guī)范型方法：關(guān)于常微分方程的中心流形定理，向量場(chǎng)的規(guī)范型。3) 常微分方程的局部分支：不動(dòng)點(diǎn)分支，Hopf分支。能夠用中心流形理論和規(guī)范型方法結(jié)合常微分方程的基本理論討論某些常微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。6偏微分方程：1) 線性橢圓型偏微分方程的理論。主要包括: Lax-Milgram定理, 散度型線性橢圓型偏微分方程的弱解, Fredholm二擇一定理, 弱解的極值原理和弱解的正則性。2) 線性橢圓型偏微分方程古典解的Schauder理論。主要包括: Holder空間, 磨光核, 位勢(shì)方程解的估計(jì), Schauder估計(jì), 古典解的極值原理和Dirichlet問(wèn)題的可解性。3) 線性橢圓型偏微分

7、方程的理論。主要包括: Sobolev空間, Marcinkiewicz內(nèi)插定理, Calderon-Zygmund 分解, 位勢(shì)方程解的估計(jì), 強(qiáng)解的估計(jì)和強(qiáng)解的存在性。4) De Giorgi-Nash估計(jì)。主要包括: 弱解的局部性質(zhì), 內(nèi)部Holder連續(xù)性, 全局Holder連續(xù)性。（三）試卷結(jié)構(gòu)1考試時(shí)間180分鐘，滿分50分。2各科目試題結(jié)構(gòu)：每個(gè)科目出5個(gè)題目，每個(gè)題目5分，其中有些考查基本概念、基本理論的掌握情況，有些考查基本理論的應(yīng)用和理論推導(dǎo)的能力。（四）參考書目1“泛函分析”科目：張恭慶等，泛函分析上冊(cè)， 北京大學(xué)出版社2“抽象代數(shù)”科目：1）T. W. Hungerford，Algebra，Springer-Verbag2）張海權(quán)、游宏，抽象代數(shù)，東北師大出版社3“現(xiàn)代數(shù)值分析”科目：李慶揚(yáng)、關(guān)治、白峰杉，數(shù)值計(jì)算原理，清華大學(xué)出版社，20004“概率論”科目：嚴(yán)士健等，概率論基礎(chǔ)，科學(xué)出版社5“常微分方程”科目：1）S. Wingins，Introduction to Applied Nonlinear Dynamics and C