希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽沖刺班六年級(jí)教師VIP

1、2012年第十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽沖刺班六年級(jí) 第1講親愛的小朋友，歡迎你參加第十屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽！祝賀您順利通過了初賽，你將進(jìn)入一個(gè)新穎、有趣、有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)天地，將會(huì)留下一個(gè)難忘的經(jīng)歷。好，我們開始前進(jìn)吧！預(yù)祝同學(xué)們決賽中取得優(yōu)異的成績(jī)！送給各位數(shù)學(xué)精英的2句話：第1句：沒有解決不了的問題！無望而前行，百折而不撓！第2句：簡(jiǎn)單的是本質(zhì)的！極端的是很有用的！一、沖刺目標(biāo)分?jǐn)?shù) 循環(huán)小數(shù) 四則運(yùn)算 新定義運(yùn)算 約數(shù)個(gè)數(shù)二、知識(shí)歸納小數(shù)和分?jǐn)?shù)的互化（1）有限小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)：小數(shù)點(diǎn)后面有多少個(gè)數(shù)字則分母的后若干位就有多少個(gè)0；分母的首位是1，分子則是由原來

2、的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的所有數(shù)字按原來的順序所組成的數(shù)，然后再約分.如：0.3412化成分?jǐn)?shù)是；1.23化成分?jǐn)?shù)是.(2)循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，分母是由9組成的自然數(shù)，其中9的個(gè)數(shù)是循環(huán)節(jié)的位數(shù).如：.混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，分母前若干位是9，位數(shù)是循環(huán)節(jié)的位數(shù)；其余為0，位數(shù)是循環(huán)節(jié)前的小數(shù)位數(shù)，如：化成分?jǐn)?shù)時(shí)，分母為99900，分子是7345673=73383，即繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問題 1繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所示： 甚至可以簡(jiǎn)單地說：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的”找到最長(zhǎng)的

3、分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母 2一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)有分?jǐn)?shù)有小數(shù)的的運(yùn)算通常化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行處理。 3某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀 4對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可連續(xù)分?jǐn)?shù)的分拆、整數(shù)分拆1、 2、3、n×(n+1)= ×n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1) 4、n×(n+1) ×(n+2)= ×n×(n+1)×(n+2) ×(n+3)-(n-1)

4、×n×(n+1) ×(n+2）約數(shù)個(gè)數(shù)、約數(shù)和的求法 I.一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè).(包括1和它自身).約數(shù)的和是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后,將M的每個(gè)質(zhì)因數(shù)最高次冪的所有約數(shù)的和相乘所得到的積如：21000=23×3×53×7,所以21000所有約數(shù)的和為(1+2+22+23)×(1+3)

5、5;(1+5+52+53)×(1+7)=74880三、例題選講例1、計(jì)算：【分析與解】原式=例2、計(jì)算：【分析與解】 例3、計(jì)算：【分析與解】 方法一：=2.4方法二： =() =2.1+×(1+2+3+4+8+9)=2.1+×27=2.1+0.3=2.4方法三：如下式， 0.0 1 1 0.1 2 2 0.2 3 3 0.3 4 4 0.7 8 8+ 0.8 9 9 2.3 9 7所以注：2.399999=2.4 =1 ,=例4、下圖列出的十個(gè)數(shù)，按順時(shí)針次序可組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位_ ？ 講析：要想這個(gè)數(shù)最大，整數(shù)部分必須選9。它有四種：9.29189291

6、5，9.189291592，9.291592918，9.159291892。無論循環(huán)節(jié)怎樣安排，都是從小數(shù)點(diǎn)后第十位開始重復(fù)。所以，以上四數(shù)中最大的是9.291892915。再考例5、對(duì)于任意有理數(shù)x, y,定義一種運(yùn)算“”，規(guī)定:xy=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),則m的數(shù)值是 .解：由題設(shè)的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.例6、數(shù)360的約數(shù)有多少個(gè)?這

7、些約數(shù)的和是多少? 【分析與解】 360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的約數(shù)可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為03,6為02,c為01)因?yàn)閍、b、c的取值是相互獨(dú)立的,由計(jì)數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個(gè)數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24 我們先只改動(dòng)關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×2y×5w； 我們?cè)賮泶_定關(guān)于質(zhì)因

8、數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5) 于是,我們計(jì)算出值:13×15×6=1170 所以,360所有約數(shù)的和為1170四、鞏固練習(xí)1、計(jì)算:= .解：原式 .2、計(jì)算:= .解：原式 .3、計(jì)算:= .解：原式 .4、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:.解：原式 .5、計(jì)算: 解：因?yàn)?所以 原式 .6、

9、計(jì)算:【分析與解】方法一: 發(fā)現(xiàn)1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，也就是說當(dāng)作為最后一個(gè)減數(shù)分母的最后一個(gè)乘數(shù)為多少，作為最終結(jié)果的單位分?jǐn)?shù)的分母就是多少 所以，原題中最后一個(gè)減數(shù)分母的最后一個(gè)乘數(shù)為1+2+3+4+9+10=55，所以最終計(jì)算結(jié)果為方法二：,方法三：先找出通項(xiàng)的規(guī)律為 有 而,以下省略7、計(jì)算：，結(jié)果保留三位小數(shù)【分析與解】 方法一：-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666= 0.73590.736方法二：0.736方法三（推薦）：所以=0.7368、設(shè)a,b是兩個(gè)非零的數(shù),定義ab.(1)計(jì)算(23)4與2(34). (2)如果已知a是一個(gè)自

10、然數(shù),且a3=2,試求出a的值.解：(1)按照定義有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,則2,從而與矛盾.因此a5,對(duì)a=1,2,3,4,5這5個(gè)可能的值,一一代入式中檢查知,只有a=3符合要求.9、兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求19912000,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x.解：(1)19912000=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45

11、=1. (2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論. 1) x<11,這時(shí)x除11余2, x整除11-2=9.又x3(因?yàn)閤應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9. 2) x>11,這時(shí)11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解為x=3,9,13. (3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來解. 用y表示19x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19x都比19小,所以y應(yīng)小于19. 方程y19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14.

12、 當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19x=7. 1)x<19,此時(shí)x除19余7,x整除19-7=12.由于x8,所以x=12. 2) x>19,此時(shí)19除x余7, x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26或=45. 當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19x=14. 1) x<19,這時(shí)x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的. 2)x>19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)閤<50,所以x=19+14=33. 總之,方程(19x)19=5有四個(gè)解,x=12,26,33,45.10、.一個(gè)數(shù)是5個(gè)2,3個(gè)3,6個(gè)

13、5,1個(gè)7的連乘積.這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù),那么在這些兩位數(shù)的約數(shù)中,最大的是多少?【分析與解】 設(shè)這個(gè)數(shù)為A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的約數(shù),而96=25×3為A的約數(shù),所以96為其最大的兩位數(shù)約數(shù)11、寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù) 【分析與解】 一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè).(包括1和它自身) 如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù),那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè).這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇