高中數(shù)學(xué)放縮法(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考專題 放縮法縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)論的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題能有效地考

2、查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問題的能力本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和一先求和后放縮例1正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)

3、、倒序相加等方法來求和二先放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因?yàn)?，所以，所以?放縮后成等比數(shù)列，再求和例3（1）設(shè)a，nN*，a2，證明：；（2）等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列bn前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana，于是， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放縮后為差比數(shù)列，再求和例4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)?，所以，?/p>

4、，即所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5在m（m2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時(shí)PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?=. 綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）常見高考放縮法試題1. 設(shè)都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（1

5、）試問是否成等差數(shù)列？為什么？（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和2. 已知等差數(shù)列中，8，66.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求證：.3. 已知數(shù)列中，（n2，），數(shù)列，滿足（）（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；（3）記，求4. 已知數(shù)列an中，a1>0, 且an+1=， ()試求a1的值，使得數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列； ()試求a1的取值范圍,使得an+1>an對任何自然數(shù)n都成立； ()若a1 = 2，設(shè)bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和，求證：Sn<5. （1）已知：，求證；（2）已知：，求

6、證：。6. 已知，各項(xiàng)為正的等差數(shù)列滿足，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和是。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，如果沒有，說明理由。7. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,且(3,其中m為常數(shù),m(1) 求證:是等比數(shù)列;若數(shù)列的公比q=f(m),數(shù)列滿足求證:為等差數(shù)列,求.8. 已知數(shù)列滿足：且，（）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；9. 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，（）， 滿足：對于任意的總有兩個(gè)不同的根。（1）試寫出，并求出；（2）求，并求出的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求。10. 已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足是大于0的常數(shù)），且a1=1，a

7、3=4.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an；（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較與Sn的大小.11. 已知數(shù)列an中，（n2，3，4，） （I）求的值； （II）證明當(dāng)n2，3，4，時(shí)，12. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足條件：；，求的通項(xiàng)公式13. 已知函數(shù)f（x）（axb）圖象過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）記，是否存在正數(shù)k，使得對一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，請說明理由14. 已知曲線C：， ： （）。從上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再從點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)。 （I）求的坐標(biāo)； （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：

8、1. 由題意，得， （1） （2） （1）因?yàn)?，所以由式?）得，從而當(dāng)時(shí)，代入式（1）得，即，故是等差數(shù)列（2）由及式（1），式（2），易得 因此的公差，從而，得 （3）又也適合式（3），得，所以，從而 2. 解：（）（）， = 而是遞增數(shù)列 ， . 3. （1），而，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列（2）依題意有，而，對于函數(shù)，在x3.5時(shí)，y0，在（3.5，）上為減函數(shù)故當(dāng)n4時(shí)，取最大值3而函數(shù)在x3.5時(shí)，y0，在（，3.5）上也為減函數(shù)故當(dāng)n3時(shí)，取最小值，-1（3），4. ()欲使數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，則an+1= an 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1

9、 = an = ()研究an+1an= (n2) 注意到>0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符號(hào)7要使an+1>an對任意自然數(shù)都成立,只須a2a1>0即可.由>0，解得：0<a1<()用與()中相同的方法，可得當(dāng)a1>時(shí)，an+1<an對任何自然數(shù)n都成立.因此當(dāng)a1=2時(shí)，an+1an<0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=< an+1，可解得an+1>, 故Sn<

10、2=5. （1）令，由x>0，t>1，原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)f(t)在遞增f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，則有g(shù)(t)在上遞增，g(t)>g(1)=0綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得6. （1），又 或 若，則，與矛盾； 若，則，顯然， （2）， 當(dāng)時(shí)，歐 時(shí)， 數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則 由 可得數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是。7. （1）由是等比數(shù)列。（2）8. （）經(jīng)計(jì)算， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，； 當(dāng)為偶數(shù)，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列， 因此，

11、數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）， （1） （2）（1）、（2）兩式相減，得 9. （1）,當(dāng)時(shí), 又對任意的,總有兩個(gè)不同的根,， 由(1), 對任意的,總有兩個(gè)不同的根, 對任意的,總有兩個(gè)不同的根, 由此可得， （1） 當(dāng)， 當(dāng)，10. （I）解：由得， （II）由，數(shù)列是以S1+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)a1=1滿足 （III），得，則. 當(dāng)n=1時(shí)，即當(dāng)n=1或2時(shí)，當(dāng)n>2時(shí)， 11. （I）， 4分 （II）當(dāng)k2，3，4，5，時(shí)， ， ， ， ， 12. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知條件，得÷得：，所以×，得，即或（舍去）由得：13. （1）

12、由已知，得解得：（2）設(shè)存在正數(shù)k，使得對一切均成立，則記，則，F(xiàn)（n）是隨n的增大而增大，當(dāng)時(shí)，即k的最大值為14. （1）由題意得知，（2），點(diǎn)的坐標(biāo)為在曲線上，又在曲線上， （III）+ 7分 = ， 例題講解部分1【2008年湖南理】已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）求的最大值解： （）函數(shù)的定義域是，設(shè)，則令則當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，在上為減函數(shù)所以在處取得極大值，而，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（）不等式等價(jià)于不等式由知，設(shè)則由（）知，即

13、所以于是在上為減函數(shù)故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為2山東省日照市2009屆高三模擬考試數(shù)學(xué)理科試題已知，函數(shù)（）試問在定義域上能否是單調(diào)函數(shù)？請說明理由；（）若在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng) 時(shí)，設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為，求證：解：（）的定義域?yàn)椋傻?2分 當(dāng)時(shí)，遞減； 當(dāng)時(shí)，遞增 所以不是定義域上的單調(diào)函數(shù) 4分（）若在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即恒成立6分 即 8分 （）當(dāng)時(shí)，由（）知，在上為增函數(shù)， 又當(dāng)時(shí)， ，即 令則，當(dāng)時(shí)， 從而函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有即得 綜上有： 10分 12分 令時(shí)，不等式也成立， 于是代入，將所得各不等式相加，得 即即 14分320

14、09屆山東省德州市高三第一次練兵（理數(shù)）已知函數(shù)在是增函數(shù),在（0,1）為減函數(shù)（1）求、的表達(dá)式；（2）求證：當(dāng)時(shí),方程有唯一解；（3）當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,求的取值范圍解：（1）依題意,即,上式恒成立, 1分又,依題意,即,上式恒成立, 2分 由得3分 4分（2）由（1）可知,方程,設(shè),令,并由得解知5分令由 6分 列表分析：（0,1）1（1,+¥）-0+遞減0遞增可知在處有一個(gè)最小值0, 7分當(dāng)時(shí),0,在（0,+¥）上只有一個(gè)解即當(dāng)x0時(shí),方程有唯一解8分（3）設(shè), 9分在為減函數(shù) 又11分所以：為所求范圍 12分4山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第三次診斷考試（數(shù)學(xué)理）已

15、知函數(shù) （注：）（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)解：（1）因?yàn)?所以依題意可得，對恒成立，所以 對恒成立，所以 對恒成立，即（2）當(dāng)時(shí)，若，單調(diào)遞減；若單調(diào)遞增；故在處取得極小值，即最小值又所以要使直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)為，即；（3）當(dāng)時(shí)，由可知，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，故，即所以故 相加可得又因?yàn)樗詫Υ笥?的任意正整書5山東省煙臺(tái)市2009屆高考適應(yīng)性練習(xí)（二）理綜試題 數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對于任意，總有成等差數(shù)列 （1）求數(shù)列的通

16、項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證：對任意實(shí)數(shù)是常數(shù)，=271828）和任意正整數(shù)，總有；（3）在正數(shù)數(shù)列中，求數(shù)列中的最大項(xiàng)解：由已知：對于，總有成立（1） （2） 1分（1）（2）得均為正數(shù)， 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 3分 又時(shí)，解得 5分（2）證明：對任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，總有6分 9分（3）解：由已知 ， 易得 猜想時(shí)，是遞減數(shù)列 11分 令，則 當(dāng)時(shí)，則，即 在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)， 由知 時(shí)，是遞減數(shù)列，即是遞減數(shù)列 又，數(shù)列中的最大項(xiàng)為 14分1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例1、已知求證：證明： 本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（