高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義(免費(fèi))

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽資料高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽資料一、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部 2000 年全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高。 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）與國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識(shí)方面有所擴(kuò)展；適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加的內(nèi)容是： 1.平面幾何 幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的幾個(gè)特殊點(diǎn)：旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線。幾何不等式。幾何極值問(wèn)題。幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)。圓的冪和根軸。面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法

2、。 2.代數(shù) 周期函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)。遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式。第二數(shù)學(xué)歸納法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)。復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根。多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*。n 次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理。函數(shù)迭代，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程* 3. 初等數(shù)論 同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余類，二次剩余，不定方程和方程組，高斯函數(shù)x，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其

3、性質(zhì)，無(wú)窮遞降法，歐拉定理*，孫子定理*。 4.組合問(wèn)題圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式。組合計(jì)數(shù)，組合幾何。抽屜原理。容斥原理。極端原理。圖論問(wèn)題。集合的劃分。覆蓋。平面凸集、凸包及應(yīng)用*。注：有*號(hào)的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營(yíng)中可能考。三、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽基礎(chǔ)知識(shí)第一章 集合與簡(jiǎn)易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 一般地，一組確定的、互異的、無(wú)序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫字母來(lái)表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來(lái)表示，元素在集合 A 中，稱屬xx于 A，記為，否則稱不屬于 A，記作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分別AxxAx表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正

4、有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來(lái)表示。集合分有限集和無(wú)限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。0 xx定義 2 子集：對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B，如果集合 A 中的任何一個(gè)元素都是集合 B 中的元素，則 A 叫做 B 的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果 A 是BA ZN B 的子集，B 也是 A 的子集，則稱 A 與 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不屬于 A，則 A 叫 B 的

5、真子集。定義 3 交集，.BxAxxBA且定義 4 并集，.BxAxxBA或定義 5 補(bǔ)集，若稱為 A 在 I 中的補(bǔ)集。,1AxIxxACIA且則定義 6 差集，。,BxAxxBA且定義 7 集合記作開區(qū)間，集合,baRxbxax),(ba記作閉區(qū)間，R 記作,baRxbxax,ba).,(定理 1 集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合 A，B，C，有：（1） （2）；);()()(CABACBA)()()(CABACBA（3） （4）);(111BACBCAC).(111BACBCAC【證明】這里僅證（1） 、 （3） ，其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或)(CBAxAxBxCx)(BAx，

6、即；反之，則)(CAx)()(CABAx)()(CABAx或，即且或，即且，即)(BAx)(CAxAxBxCxAx)(CBx).(CBAx（3）若，則或，所以或，所以BCACx11ACx1BCx1AxBx，又，所以，即，反之也有)(BAxIx)(1BACx)(111BACBCAC.)(111BCACBAC定理 2 加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法n1m中有種不同的方法，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有2mnnm種不同的方法。nmmmN21定理 3 乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不n1m2m同的方法，第步有種不同的方法

7、，那么完成這件事一共有nnm種不同的方法。nmmmN21二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例 1 設(shè)，求證：,22ZyxyxaaM（1）；)( ,12ZkMk（2）；)( ,24ZkMk（3）若，則 MqMp,.Mpq證明（1）因?yàn)?，且，所以Zkk1,22) 1(12kkk.12Mk（2）假設(shè)，則存在，使，由于和)(24ZkMkZyx,2224yxkyx 有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或 4 的倍數(shù)，不可能等于yx )(22yxyxyx，假設(shè)不成立，所以24 k.24Mk（3）設(shè)，則Zbayxbaqyxp,2222)(2222bayxpq22222222aybxbyaaM

8、yaxbybxa22)()(（因?yàn)椋?。ZyaxbZyaxa,2利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則 A=B。BA AB 例 2 設(shè) A，B 是兩個(gè)集合，又設(shè)集合 M 滿足，求集合 M（用 A，B 表示） 。BAMBABAMBMA,【解】先證，若，因?yàn)?，所以MBA)()(BAxBAMA，所以； MxMAx,MBA)(再證，若，則1）若，則)(BAMMx.BAMBAxAx；2）若，則。所以BAMAxBxBAMBx).(BAM綜上，.BAM3分類討論思想的應(yīng)用。例 3 ，若02,01,023222mxxxCaaxxxBxxxA，求CCAABA,.,ma【解】依題設(shè)，再由解得或，2 , 1A0

9、12aaxx1 ax1x因?yàn)?，所以，所以，所以?2，所以或 3。ABAAB Aa111a2a因?yàn)?，所以，若，則，即，CCAAC C082m2222m若，則或，解得CC1C2. 3m綜上所述，或；或。2a3a3m2222m4計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若，IBA求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)?！窘狻?（1）集合 I 可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB，BA，中的每個(gè)元素恰屬于IBA,其中一個(gè)子集，10 個(gè)元素共有 310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有 310個(gè)。（2

10、）I 的子集分三類：空集，非空真子集，集合 I 本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1 或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2 也有兩種，第 10 步，0 也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有 1022 個(gè)。10242105配對(duì)方法。例 5 給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非, 3 , 2 , 1nIkkAAA,21空，并且再添加 I 的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。k【解】將 I 的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同12n在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，k12nkk若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為

11、C1A 與 A，并設(shè)，則，從而可以在1AAACA11個(gè)子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。kAC112nk12nk6競(jìng)賽常用方法與例問(wèn)題。定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素個(gè)數(shù)，則A,BABABA，需要xy 此結(jié)論可CBACBCABACBACBA以推廣到個(gè)集合的情況，即nnikjijinkjijiiniiAAAAAAA111.) 1(11niinA定義 8 集合的劃分：若，且，IAAAn21),1 (jinjiAAji則這些子集的全集叫 I 的一個(gè)-劃分。n定理 5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理 6 抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于1mn)

12、 1( nn個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有1mmn一個(gè)抽屜放有無(wú)窮多個(gè)元素。例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘狻?記，（2（2,1001,100, 3 , 2 , 1xxxxAI記為整除能被且，由容斥原理，5 ,1001,3 ,1001xxxCxxxB31002100CBAACCBBACBACBA，所以不能被 2，3，5 整除的數(shù)有7430100151001010061005100個(gè)。26CBAI例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于 4 或 7，問(wèn) S 中最多含有多少個(gè)元素？【解】將

13、任意連續(xù)的 11 個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于 S，將這 11 個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成 6 組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若 S 含有這 11 個(gè)數(shù)中至少 6 個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 個(gè)數(shù)。又因?yàn)?2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且 S 滿足題目條,2004,10, 7 , 4 , 2 , 1,11NkrttkrrS912S件，所以最少含有 912 個(gè)元素。例 8求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：)2( nnnaaa,21.2) 1(, 2 , 11

14、nnnjiaaji【解】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 2n1, 021aa3n3, 1, 0321aaa4n。下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。1, 5, 2, 04321aaaa5nnaaa,21令，則naaa210.2) 1( nnan所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或ji 1njiaaa1111nnnaaaa，即，所以或，21aaann12a1,2) 1(1nnnaanna2) 1( nnan。12a（）若，考慮，有或，1,2) 1(1nnnaanna2na22nnaa22aaann即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有22a22nnaa121nnnnaaaa. 22a考慮，有或，即，設(shè)，則3na23nnaa

15、33aaann33a23nnaa，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛02212aaaann33a2311aaaann盾， 所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。4,22naan5n（）若，考慮，有或，即1,2) 1(2annan2na12nnaa32aaann，這時(shí)，推出矛盾，故。考慮，有23a1223aaaa21nnaa3na或，即=3，于是，矛盾。因此23nnaannaa33a3a123nnaaaa，所以，這又矛盾，所以只有，所以32nnaa12211aaaann22aan。故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。4n5n例 9 設(shè) A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三個(gè)數(shù)，B 中取兩

16、個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值。iA.201 , 2,20, 2 , 1jiAAijin【解】 .16minn設(shè) B 中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（iAk4kmk） ，則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè) A 中的數(shù)出現(xiàn) 3 次，不妨設(shè)它是4k.123 kmiA1，就有集合1，其中，121,bmaa, 1, 1365243bmaabmaa61 ,iAai為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 這 5 個(gè)數(shù)，這不可能，所以ia. 4k20 個(gè)中，B 中的數(shù)有 40 個(gè)，因此至少是 10 個(gè)不同的，所以。當(dāng)時(shí)，如iA16n16n下 20 個(gè)集合滿足要求：

17、1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例 10 集合1，2，3n可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，n,zyxzyx3求滿足條件的最小正整數(shù). n【解

18、】 設(shè)其中第 個(gè)三元集為則 1+2+i, 2 , 1,nizyxiiniizn1,43所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有niiznn142) 13(3nn388nn，所以，當(dāng)時(shí)，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，138n5n5n9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為 5。n第二章 二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識(shí)1二次函數(shù)：當(dāng)0 時(shí)，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 稱為關(guān)于 x 的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸a為直線 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。ab2ab22二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng) a0 時(shí)，f(x)的

19、圖象開口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量 x 增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減） ，在x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增） 。當(dāng) a0 時(shí)，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè) x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是x|xx2和x|x1xx2，二次函數(shù) f(x)圖象與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別ab2是x|x和空集，f(x)的圖象與 x 軸有唯一公共點(diǎn)。ab23

20、）當(dāng)0 時(shí)，方程無(wú)解，不等式和不等式的解集分別是 R 和.f(x)圖象與 x 軸無(wú)公共點(diǎn)。當(dāng) a0，當(dāng) x=x0時(shí)，f(x)取最小值 f(x0)=,若 a0)，當(dāng) x0m, n時(shí)，f(x)在m, n上的最小值為 f(x0); 當(dāng) x0n 時(shí)，f(x)在m, n上的最小值為 f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出） 。定義 1 能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“35”是命題， “蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” 、 “且” 、 “非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注 1 “p 或 q”復(fù)合命題只有當(dāng) p，q 同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p 且 q”復(fù)合

21、命題只有當(dāng) p，q 同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p 與“非 p”即“p”恰好一真一假。定義 2 原命題：若 p 則 q（p 為條件，q 為結(jié)論） ；逆命題：若 q 則 p；否命題：若非 p 則q；逆否命題：若非 q 則非 p。注 2 原命題與其逆否命題同真假。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。注 3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義 3 如果命題“若 p 則 q”為真，則記為 pq 否則記作 pq.在命題“若 p 則 q”中，如果已知 pq,則 p 是 q 的充分條件；如果 qp，則稱 p 是 q 的必要條件；如果 pq但 q 不p，則稱 p 是 q 的充

22、分非必要條件；如果 p 不q 但 pq，則 p 稱為 q 的必要非充分條件；若 pq 且 qp，則 p 是 q 的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例 1 設(shè)方程 x2-x+1=0 的兩根是 ，求滿足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函數(shù) f(x).【解】 設(shè) f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知 f()=,f()= 相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因?yàn)榉匠?x2-x+1=0 中0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因?yàn)?f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+

23、1)x+2.再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=,所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0.即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 滿足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范圍。【解】 因?yàn)?4f(1)=a-c-1,所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),3835所以(-1)+f(3)5+4,38353835所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例 3 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a,b,

24、cR, a0)，若方程 f(x)=x 無(wú)實(shí)根，求證：方程 f(f(x)=x 也無(wú)實(shí)根?！咀C明】若 a0，因?yàn)?f(x)=x 無(wú)實(shí)根，所以二次函數(shù) g(x)=f(x)-x 圖象與 x 軸無(wú)公共點(diǎn)且開口向上，所以對(duì)任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，從而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 無(wú)實(shí)根。注：請(qǐng)讀者思考例 3 的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例 4 設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的兩根 x1, x2滿足 0 x1x2,a1（）當(dāng) x(0, x1)時(shí)，求證：xf(x)x1；（）設(shè)函數(shù) f(x)的

25、圖象關(guān)于 x=x0對(duì)稱，求證：x0.21x【證明】 因?yàn)?x1, x2是方程 f(x)-x=0 的兩根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng) x(0, x1)時(shí)，x-x10, x-x20，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以 f(x)x1.a1綜上，xf(x)1，求證：方程的正根比 1 小，負(fù)根比-1 大?！咀C明】 方程化為 2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f

26、(0)=1-a20，所以 f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，負(fù)根比-1 大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例 6 當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù) y=取最小值？求出這個(gè)最小值。2224) 1(5xxx【解】 y=1-,令u,則 0u1。222) 1(511xx112xy=5u2-u+1=5,201920191012u且當(dāng)即 x=3 時(shí)，ymin=.101u2019例 7 設(shè)變量 x 滿足 x2+bx-x(b-1)，并且 x2+bx 的最小值是，求 b 的值。21【解】 由 x2+bx-x(b-(b+1)，即 b-2 時(shí)，x2+bx 在0，-(b+1)上是減函數(shù)

27、，2b所以 x2+bx 的最小值為 b+1,b+1=-,b=-.2123綜上，b=-.237.一元二次不等式問(wèn)題的解法。例 8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求 a 的取值范圍。12022axaaxx【解】 因?yàn)榉匠?x2-x+a-a2=0 的兩根為 x1=a, x2=1-a,若 a0，則 x1x2.的解集為 ax1-2a.因?yàn)?1-2a1-a，所以 a0,所以不等式組無(wú)解。若 a0，）當(dāng) 0a時(shí)，x1x2,的解集為 ax1-a.21因?yàn)?0ax1-a時(shí)，a1-a，由得 x1-2a，21所以不等式組的解集為 1-ax1 且 a-(1-a)3，所以 1a2，并且當(dāng) 1a2 時(shí)，不等式組恰有兩

28、個(gè)整數(shù)解 0，1。綜上，a 的取值范圍是 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再證充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若 A=0，則由 B2+C22BC 得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分性得證。9常用結(jié)論。定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)?|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|

29、b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，則-mxm 等價(jià)于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理 1 得證。定理 2 若 a,bR, 則 a2+b22ab；若 x,yR+,則 x+y.2 xy(證略)注 定理 2 可以推廣到 n 個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。第三章 函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合 A，B，依對(duì)應(yīng)法則 f，若對(duì) A 中的任意一個(gè)元素 x，在B 中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱 f: AB 為一個(gè)映射。定義 2 單射，若 f: AB 是一個(gè)映射且對(duì)任意 x, yA, x

30、y, 都有 f(x)f(y)則稱之為單射。定義 3 滿射，若 f: AB 是映射且對(duì)任意 yB，都有一個(gè) xA 使得 f(x)=y，則稱 f: AB是 A 到 B 上的滿射。定義 4 一一映射，若 f: AB 既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從 B 到 A 由相反的對(duì)應(yīng)法則 f-1構(gòu)成的映射，記作 f-1: AB。定義 5 函數(shù)，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A 稱為它的定義域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 對(duì)應(yīng) B 中的 y） ，則 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由

31、解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù) y=3-1 的定義域?yàn)閤|x0,xR.x 定義 6 反函數(shù)，若函數(shù) f: AB（通常記作 y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射 f-1: AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作 y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過(guò)程是：在解析式 y=f(x)中反解 x得 x=f-1(y)，然后將 x, y 互換得 y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù) y=的反函數(shù)是 y=1-(x0).x11x1定理 1 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱。定理 2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）

32、函數(shù)。定義 7 函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上滿足對(duì)任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，總有 f(x1)f(x2)，則稱 f(x)在區(qū)間 I 上是增（減）函數(shù)，區(qū)間 I 稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?D，且 D 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，若對(duì)于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，則稱 f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，則稱 f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。（3）周期性：對(duì)于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，

33、f(x+T)=f(x)總成立，則稱 f(x)為周期函數(shù)，T 稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù) T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù) f(x)的最小正周期。定義 8 如果實(shí)數(shù) ab，則數(shù)集x|axb, xR叫做開區(qū)間，記作（a,b） ，集合x|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集合x|axb記作半開半閉區(qū)間（a,b，集合x|axa記作開區(qū)間（a, +） ，集合x|xa記作半開半閉區(qū)間（-,a.定義 9 函數(shù)的圖象，點(diǎn)集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù) y=f(x)的圖象，其中 D 為 f(x)的定義域。通過(guò)畫圖不難得出函數(shù) y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平

34、移 a 個(gè)單位得到 y=f(x-a)的圖象；（2）向左平移 a 個(gè)單位得到 y=f(x+a)的圖象；（3）向下平移 b 個(gè)單位得到 y=f(x)-b 的圖象；（4）與函數(shù) y=f(-x)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；（5）與函數(shù) y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（6）與函數(shù) y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱；（7）與函數(shù) y=-f(x)的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。定理 3 復(fù)合函數(shù) y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減” 。例如 y=, u=2-x 在x21（-,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+）上是減函數(shù)，所以 y=在（-,2）上是增函u1x21數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判

35、斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法與例題1數(shù)形結(jié)合法。例 1 求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).x1【解】 分別畫出 y=|x-1|和 y=的圖象，由圖象可知兩者有x1唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。例 2 求函數(shù) f(x)=的最113632424xxxxx大值?！窘狻?f(x)=，記點(diǎn) P(x, x-2)，A（3，2） ，222222)0() 1()3()2(xxxxB（0，1） ，則 f(x)表示動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) A 和 B 距離的差。因?yàn)閨PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng) P 為 AB 延長(zhǎng)線與拋物線 y=x2的交點(diǎn)10) 12(322時(shí)等號(hào)成立。所以 f(x)m

36、ax=.102.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。xyx11x例 3 設(shè) x, yR，且滿足，求 x+y.1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(32yyxx【解】 設(shè) f(t)=t3+1997t，先證 f(t)在（-，+）上遞增。事實(shí)上，若 a0，所以 f(t)遞增。由題設(shè) f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例 4 奇函數(shù) f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范圍。【解】 因?yàn)?f(x) 是奇函數(shù)，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè) f(1-a)f(a2-1)。又 f(x)在定義域（-1，1）

37、上遞減，所以-11-aa2-11，解得 0a1。例 5 設(shè) f(x)是定義在（-，+）上以 2 為周期的函數(shù)，對(duì) kZ, 用 Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當(dāng) xI0時(shí)，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik上的解析式。【解】 設(shè) xIk，則 2k-10，則由得 n0，設(shè) f(t)=t(+1),則 f(t)在（0，+）上是增函數(shù)。又 f(m)42t=f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=.54)若 m0。同理有 m+n=0,x=,但與 m0 矛盾。54綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解 x=.543.配方法。例 7 求函數(shù) y=x+的值域。12 x【解】 y=x+=2

38、x+1+2+1-112 x2112 x=(+1)-1-1=-.2112 x2121當(dāng) x=-時(shí)，y 取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+） 。2121214換元法。例 8 求函數(shù) y=(+2)(+1),x0,1的值域。x1x121x【解】令+=u，因?yàn)?x0,1，所以 2u2=2+24,所以u(píng)2,x1x121x2所以2，12，所以 y=,u2+2，8。222 22u22u22u2所以該函數(shù)值域?yàn)?+，8。25判別式法。例 9 求函數(shù) y=的值域。434322xxxx【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng) y1 時(shí)，式是關(guān)于 x 的方程有實(shí)根。所以=9(y+1)2-1

39、6(y-1)20，解得y1.71又當(dāng) y=1 時(shí)，存在 x=0 使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)椋?。716關(guān)于反函數(shù)。例 10 若函數(shù) y=f(x)定義域、值域均為 R，且存在反函數(shù)。若 f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)?！咀C明】設(shè) x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，則因?yàn)?f(x)在(-,+ )上遞增，所以 x1x2與假設(shè)矛盾，所以 y1y2。即 y=f-1(x)在(-,+ )遞增。例 11 設(shè)函數(shù) f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).42314xx【解】

40、首先 f(x)定義域?yàn)椋?，-）-，+） ；其次，設(shè) x1, x2是定義域內(nèi)變量，3241且 x1x20,32231422xx231411xx)23)(23()(51212xxxx所以 f(x)在（-，-）上遞增，同理 f(x)在-，+）上遞增。3241在方程 f(x)=f-1(x)中，記 f(x)=f-1(x)=y，則 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y-，+）.41若 xy，設(shè) xy，則 f(x)=yy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化簡(jiǎn)得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因?yàn)?x0，所

41、以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.第四章 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=ax(a0, a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?R，值域?yàn)椋?，+） ，當(dāng) 0a1 時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1） 。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,13對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=logax(a0, a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+） ，值域?yàn)?R，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0） 。當(dāng) 0a1 時(shí)，y=logax 為增函數(shù)。4對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M0, N0） ；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN

42、)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，NM5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).nMn1abccloglog5. 函數(shù) y=x+（a0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為xaa,a和。 （請(qǐng)讀者自己用定義證明）0 ,aa, 06連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若 ab, f(x)在a, b上連續(xù)，且 f(a)f(b)0.【證明】 設(shè) f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，則 f(x)是關(guān)于 x 的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證 f

43、(-1)0 且 f(1)0（因?yàn)?1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an是不全為 0 的實(shí)數(shù)，b1, b2,bnR，則（）（）()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使 ai=, i=1, 2, , nniia12niib12niiiba1ib時(shí)成立?！咀C明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=,niia12niiiba1niib12niiibxa12)(因?yàn)?，且對(duì)任意 xR, f(x)0，niia12所以=4()-4（）()0.niiiba1niia12niib12展開得（）()()2。

44、niia12niib12niiiba1等號(hào)成立等價(jià)于 f(x)=0 有實(shí)根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。ib例 3 設(shè) x, yR+, x+y=c, c 為常數(shù)且 c(0, 2，求 u=的最小值。yyxx11【解】u=xy+xy+2yyxx11xyxyyx1xy1xyyx=xy+2.xy1令 xy=t，則 0t=xy,設(shè) f(t)=t+,0t44)(22cyxt1.42c因?yàn)?0c2，所以 00，所以=pqpq.251例 5 對(duì)于正整數(shù) a, b, c(abc)和實(shí)數(shù) x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，wzyx1111求證：a+b=c.【證明】 由 ax

45、=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，w1x1w1y1w1z1相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設(shè)，w1zyx111wzyx1111所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，則因?yàn)?xlga=wlg70，所以 w=0 與題設(shè)矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 為 70 的正約數(shù)，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+log

46、cx=2logbx，求證 c2=(ac)logab.【證明】 由題設(shè) logax+logcx=2logbx，化為以 a 為底的對(duì)數(shù)，得，bxcxxaaaaaloglog2logloglog因?yàn)?ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為=1。設(shè) f(x)= , 則 f(x)在(-xxx65322

47、1xxx653221,+)上是減函數(shù)，因?yàn)?f(3)=1，所以方程只有一個(gè)解 x=3.例 8 解方程組：（其中 x, yR+）.312xyyxyxyx【解】 兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為 .3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程組的解為 .24;112211yxyx例 9 已知 a0, a1，試求使方程 loga(x-ak)=

48、loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范圍?！窘狻坑蓪?duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解 x 應(yīng)滿足.00)(22222axakxaxakx若、同時(shí)成立，則必成立，故只需解. 0)(222akxaxakx由可得 2kx=a(1+k2)， 當(dāng) k=0 時(shí)，無(wú)解；當(dāng) k0 時(shí)，的解是 x=，代入得k.kka2)1 (2kk212若 k1，所以 k0，則 k21，所以 0k1 時(shí)，an=Sn-Sn-1.定義 2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 an+1-an=d（常數(shù)） ，則an稱為等差數(shù)列，d 叫做公差。若三個(gè)數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列，即 2b=a+c，則稱 b 為 a 和 c 的等差中項(xiàng)，若

49、公差為 d, 則 a=b-d, c=b+d.定理 2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 項(xiàng)和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 為正整數(shù)；4）若dnnnaaann2) 1(2)(11n+m=p+q，則 an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù) p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一個(gè)不為零，則an是等差數(shù)列的充要條件是 Sn=An2+Bn.定義 3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù) n，都有，則an稱為等比數(shù)列，q 叫做公qaann1比。定理 3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前 n 項(xiàng)和

50、 Sn，當(dāng) q1 時(shí)，Sn=；qqan1)1 (1當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=na1；3）如果 a, b, c 成等比數(shù)列，即 b2=ac(b0)，則 b 叫做 a, c 的等比中項(xiàng)；4）若 m+n=p+q，則 aman=apaq。定義 4 極限，給定數(shù)列an和實(shí)數(shù) A，若對(duì)任意的0，存在 M，對(duì)任意的 nM(nN),都有|an-A|，則稱 A 為 n+時(shí)數(shù)列an的極限，記作.limAann定義 5 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列an的公比 q 滿足|q|1，則稱之為無(wú)窮遞增等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得） 。qa11定理 3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(

51、n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng) p(n)時(shí) n=k 成立時(shí)能推出 p(n)對(duì) n=k+1 成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) nn0成立。競(jìng)賽常用定理定理 4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng) p(n)對(duì)一切 nk的自然數(shù) n 都成立時(shí)（kn0）可推出 p(k+1)成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) nn0成立。定理 5 對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列 xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程 x2=ax+b 的兩個(gè)根為,:(1)若 ，則 xn=c1an-1+c2n-1，其中 c1, c2由初始條件

52、x1, x2的值確定；(2)若=，則 xn=(c1n+c2) n-1，其中 c1, c2的值由 x1, x2的值確定。二、方法與例題1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊猜想數(shù)學(xué)歸納法證明。例 1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明） ；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，?！窘狻?）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例 2 已知數(shù)列an滿足 a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通項(xiàng) an.21【解】 因

53、為 a1=,又 a1+a2=22a2,21所以 a2=，a3=,猜想(n1).2314311322aa) 1(1nnan證明；1）當(dāng) n=1 時(shí)，a1=，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)猜想成立。121當(dāng) n=k+1 時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, ) 1(1231121kk即=k(k+2)ak+1,1113121211kk所以=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=1kk.)2)(1(1kk由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以.) 1(1nnan例 3 設(shè) 0a1.na1【證明】 證明更強(qiáng)的結(jié)論：1an1+a.1)當(dāng) n=1 時(shí)，

54、1a1=1+a，式成立；2)假設(shè) n=k 時(shí)，式成立，即 1an.又由 an+1=5an+移項(xiàng)、平方得1242na . 01102121nnnnaaaa當(dāng) n2 時(shí)，把式中的 n 換成 n-1 得，即01102112nnnnaaaa . 01102121nnnnaaaa因?yàn)?an-1an+1，所以式和式說(shuō)明 an-1, an+1是方程 x2-10anx+-1=0 的兩個(gè)不等根。由韋2na達(dá)定理得 an+1+ an-1=10an(n2).再由 a1=0, a2=1 及式可知，當(dāng) nN+時(shí)，an都是整數(shù)。3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例 6 已知 an=(n=1

55、, 2, )，求 S99=a1+a2+a99.100241n【解】 因?yàn)?an+a100-n=+=，100241n100100241n10010010010010010021)44(2244422nnnn所以 S99=.29929921)(21101100991100nnnaa例 7 求和：+43213211nS.)2)(1(1nnn【解】 一般地，)2)(1(22)2)(1(1kkkkkkkk，)2)(1(1) 1(121kkkk所以 Sn=nkkkk1)2)(1(1)2)(1(1) 1(143132132121121nnnn)2)(1(12121nn.)2)(1(2141nn例 8 已知數(shù)

56、列an滿足 a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，求證：Sn2。nna2【證明】 由遞推公式可知，數(shù)列an前幾項(xiàng)為 1，1，2，3，5，8，13。因?yàn)椋?nnnaS228252322212165432所以。 1543222523222121nnnaS由-得，12222222121212121nnnnnaaS所以。122412121nnnnaSS又因?yàn)?Sn-20,12nna所以Sn, 所以，412121nS2141nS所以 Sn0，2211xx由可知對(duì)任意 nN+，0 且,22nnxx22lg222lg11nnnnxxxx所以是首項(xiàng)為，公比為 2 的等比數(shù)列。2

57、2lgnnxx2222lg所以，所以，1222lgnnnxx2222lg22nnxx122222n解得。2nx11112222)22()22()22()22(nnnn注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。第六章 三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍瑒t角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中 r 是圓的半徑。r

58、L定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y） ，到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù) cos=,正切函數(shù) tan=，余切函數(shù) cot=，正割函ryrxxyyx數(shù) sec=,余割函數(shù) csc=xr.yr定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=cot1csc1；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：sec1sincoscot,cossintancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2

59、+1=csc2.定理 2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, 2cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限） 。22定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周22 ,22kk232 ,22kk期

60、為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k-時(shí), 22y 取最小值-1。對(duì)稱性：直線 x=k+均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱中心，值2域?yàn)?1，1。這里 kZ.定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線 x=k 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)0 ,2kx=2k 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時(shí)，y 取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里 kZ.定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)