數(shù)學教學中學生思維靈活性

1、數(shù)學教學中學生思維靈活性培養(yǎng)的實踐與體會江蘇省武進高級中學 張運江 郵編 213161 我校是一所縣重點高級中學，生源較好。然而總有較多學生進入高中之后，不能適應高中階段的數(shù)學學習，在思維要求上有較大差距，成績顯下降趨勢。究其原因：由于初中數(shù)學教學受升學考試指揮棒的影響，在教學過程中注重了知識的傳授，而忽視了思維品質(zhì)的培養(yǎng)。 現(xiàn)代教育強調(diào)“知識結構”與“學習過程”，目的在于發(fā)展學生的思維能力，而把知識作為思維過程的材料和媒介。只有把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求。數(shù)學知識可能在將來會遺忘，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)會影響學生的一生，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是數(shù)學教育的價值得以真

2、正實現(xiàn)的理想途徑。 高中學生一般年齡為1518歲，處于青年初期。他們的身心急劇發(fā)展、變化和成熟，學習的內(nèi)容更加復雜、深刻，生活更加豐富多采。這種巨大的變化對高中學生的思維發(fā)展提出了更高的要求。研究表明，從初中二年級開始，學生的思維由經(jīng)驗型水平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到高中一、二年級，逐步趨向成熟。作為高中教學教師，應抓住學生思維發(fā)展的飛躍時期，利用成熟期前可塑性大的特點，做好思維品質(zhì)的培養(yǎng)工作，使學生的思維得到更好的發(fā)展。 教育心理學理論認為：思維是人腦對事物本質(zhì)和事物之間規(guī)律性關系概括的間接的反映。思維是認知的核心成分，思維的發(fā)展水平?jīng)Q定著整個知識系統(tǒng)的結構和功能。因此，開發(fā)高中學生的思維潛能，提

3、高思維品質(zhì)，具有十分重大的意義。 思維品質(zhì)主要包括思維的靈活性、廣闊性、敏捷供、深刻性、獨創(chuàng)性和批判性等幾個方面。思維的靈活性是建立在思維廣闊性和深刻性的基礎上，并為思維敏捷性、獨創(chuàng)性和批判性提供保證的良好品質(zhì)。在人們的工作、生活中，照章辦事易，開拓創(chuàng)新難，難就難在缺乏靈活的思維。所以，思維靈活性的培養(yǎng)顯得尤為重要。 思維的靈活性指思維活動的靈活程度，指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時地用新的觀點看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方法。學生思維的靈活性主要表現(xiàn)于：(1)思維起點的靈活：能從不同角度、不同層次、不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向。(2)思維過程

4、的靈活：能靈活運用各種法則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑。(3)思維遷移的靈活：能舉一反三，觸類旁通。 如何使更多的學生思維具有靈活特點呢？我在教學實踐中作了一些探索： 一、以“發(fā)散思維”的培養(yǎng)提高思維靈活性。 美國心理學家吉爾福特（J·P·Guilford）提出的“發(fā)散思維”(divergent thinking)的培養(yǎng)就是思維靈活性的培養(yǎng)?！鞍l(fā)散思維”指“從給定義的信息中產(chǎn)生信息，其著重點是從同一的來源中產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的輸出，很可能會發(fā)生轉(zhuǎn)換作用。” 在當前的數(shù)學教學中，普遍存在著比較重視集中思維的訓練，而相對忽視了發(fā)散思維的培養(yǎng)。發(fā)散思維

5、是理解教材、靈活運用知識所必須的，也是迎接信息時代、適應未來生活所應具備的能力。 l、引導學生對問題的解法進行發(fā)散。 在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養(yǎng)學生思維過程的靈活性。 <例>求證： 證法1：（運用二倍角公式統(tǒng)一角度） 證法2：（逆用半角公式統(tǒng)一角度） 證法3：（運用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類）設 證明4：(構法分母并促使分子重新組合，在運算形式上得到統(tǒng)一。) 證法5：可用變更論證法。只要證下式即可。 證法6：由正切半角公式，利用合分比性質(zhì)，則命題得證。 通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法：(1)統(tǒng)一函數(shù)種類；(2)統(tǒng)

6、一角度；(3)統(tǒng)一運算。 一題多解可以拓寬思路，增強知識間聯(lián)系，學會多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。 2、引導學生對問題的結論進行發(fā)散。 對結論的發(fā)散是指確定了已知條件后沒有現(xiàn)成的結論讓學生自己盡可能多地探究尋找有關結論，并進行求解。 <例>已知： (1)， (2)，由此可得到哪些結論？ 讓學生進行探素，然后相互討論研究，各抒己見。 8【3 想法一：(1)2(2)2可得（兩角差的余弦公式）。 想法二：(1)×(2)，再和差化積： 結合想法一可知：想法三：(1)2-(2)2再和差化積：結合想法一可知：可得 想法四；，再和差化積約去公因式可得：，進而用萬能公式可求：、。

7、 想法五：由消去得： 消去可得（消參思想） 想法六：(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式： (1)-(2)并逆用兩角差的正弦公式。 想法七：(1)×3-(2)×4： 即 則、均可求。 開放型題目的引入，可以引導學生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關系。要根據(jù)條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結論，有利于思維起點靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。 3、引導學生對問題的條件進行發(fā)散。 對問題的條件進行發(fā)散是指問題的結構確定以后，盡可能變化已知條件，進而從不同角度和用不同知識來解決問題。 對于等差數(shù)列的通項公式：ana1(n1

8、)d，顯然，四個變量中知道三個即可求另一個（解方程）。如“an為等差數(shù)列，a1，d2問9為第幾項”等等。然后，放手讓學生自己編寫題目。編題過程中學生要對公式中變量的取值范圍、變量之間的內(nèi)在關系、公式的適用范圍等有全面的掌握。否則，信手拈來會鬧出笑話。上題中，若改d3，則9為第項，顯然荒謬。如此，學生對于等差數(shù)列的通項公式與求和公式的掌握會比較全面，而且能站在較高層次來看待問題，提高思維遷移的靈活性。 二、以思維靈活性的提高帶動思維其他品質(zhì)的提高，以思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)來促進思維靈活性的培養(yǎng)。 由于思維的各種品質(zhì)是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機的統(tǒng)一體中，所以，思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)能有力地促進思維靈

9、活性的提高。 1、思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，是否善于從事物之間的關系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。 <例>方程sinxlgx的解有（ ）個。（A）1（B）2（C）3（D）4 學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無進。若能運用靈活的思維換一個角度思考：此題的本質(zhì)為求方程組的公共解。運用數(shù)形結合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖家交點問題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過知識串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，在思維深刻性的基礎上，思維靈活性才有了用武之地。 2、思維的廣闊性是指善于抓住問題的各個方面，又不忽視其重要細節(jié)的思維品質(zhì)。要求學生能認真

10、分析題意，調(diào)動和選擇與之相應的知識，尋找解答關鍵。 <例>已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x1，在x軸上截得線段長為4，求拋物線方程。 解法一：截距為3，可選擇一般式方程： 顯然有c3，利用其他條件可列方程組求a，b值。 解法二：由對稱軸為直線x1，可選擇頂點式方程：顯然有m1，利用其他條件可列方程組求a，k的值。 另外，由圖象對稱性可知x軸上交點為(l，0)和(3，0)。 解法三：由截距為3，即過三點(0，3)、(l，0)和(3，0), 可選擇一般式方程： 代人點坐標，列方程組求a，b，c值。解法四：由一元二次方程與一元二次函數(shù)關系可選擇兩根式（必須與x軸有交點） 顯然

11、；x13，x21。由截距3，可求a值。 在把握整體的前提下，側(cè)重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性的基礎上，充分運用思維靈活性調(diào)動相關知識、技能尋找解題途徑。 3、思維的敏捷性指思維活動的速度。它的指標有二個：一是速度，二是正確率。具有這一品質(zhì)的學生能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程。思維靈活性對于思維速度和準確率的提高起著決定性作用。 <例>相鄰邊長為a和b的平行四邊形，分別繞兩邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體體積為Va（繞a邊）和Vb（繞b邊），則Va：Vb（ ） （A）a：b （B）b：a （C）a2：b2 （D）b2：a2 用直接法求解：以一般平行四邊形為例。如圖，可求:，aba則Va：Vbb：a

12、，由于要引入兩邊夾角來求解，學生常無法入手。若以特殊的平行四邊形 矩形來處理，則相當簡便。 此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性，以簡馭繁，用特殊化思想求解，解題迅速、正確。 4、思維的獨創(chuàng)性指思維活動的獨創(chuàng)程度，具有新穎善于應變的特點。思維的靈活性為思維的獨創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的閃現(xiàn)提供了燃料。 在教學實線中，我常發(fā)現(xiàn)，學生提出富有個性的見解的時候,往往是“思維火花”閃爍的時候 <例>求值：一般解法： 獨特靈活的解法1：令 則， 即，則原式 構造對偶式求解，思維靈活頗有獨創(chuàng)牲。 解法2：構造1為直徑的圓內(nèi)接三角形，三個角為， 則可構成三角形三邊長。 逆用余弦定理： 則原式

13、靈活的構想獨特巧妙，數(shù)形結合思想得到充分體現(xiàn)。我在教學中比較注重學生解題思路的獨特征、新穎性的肯定和提倡，充分給予嘗試、探索的機會，以活躍思維、發(fā)展個性。 5、思維的批判性指思維活動中獨立分析的程度，是否善于嚴格地估計思維材料和仔細地檢查思維過程。我在數(shù)學教學中，鼓勵學生提出不同的甚至懷疑的意見，注意引導和啟發(fā)，提倡獨立思考能力的培養(yǎng)。 <例>ABC中，求大部分學生如此解：由可得；由可得，進而可求或。有學生提出異議：由可知：，同理可知。由知：不可能！即取不到。 故只有一解 學生對結論的可靠程度進行懷疑，在獨立分析的基礎上，靈活運用三角函數(shù)的單調(diào)性來確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴密論證

14、了三角函數(shù)值取值的可能性。 三、靈活新穎的教法探求和靈活扎實的學法指導。 教師的教法常常影響到學生的學法。靈活多變的教學方法對學生思維靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，而富有新意的學法指導能及時為學生注人靈活思維的活力。 “導入出新”良好的開端是成功的一半。引人入勝的教學導入可以激發(fā)學習興趣和熱情。以“創(chuàng)設情境”，“敘述故事”、“利用矛盾”、“設置懸念”、“引用名句”、“巧用道具”等新穎多變的教學手段，使學生及早進入積極思維狀態(tài)。 “錯解剖析”提供給學生題解過程，但其中有錯誤的地方。讓學生反串角色，扮演教師批改作業(yè)。換一個角度來考察學生的知識掌握情況，尋找錯誤產(chǎn)生的原因，以求更好的加深對知識的掌

15、握。 “例題變式”從例題入手，變換條件尋求結論的不同之處；變換結論尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解；以變來培養(yǎng)學生靈活的思維。 “編制試卷”列出考查知識點、考查重點、試題類型，讓學生自己編制一份測驗試卷并給出解答。使學生站在老師的角度體驗出題心理，更好的掌握知識結構和思維方式。 “撰寫小論文”根據(jù)學習體會、解題經(jīng)驗、考試心得等等，撰寫學科研究性小論文。選擇比較好的指導修改并編輯出版，激勵學生善于進行總結，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。以上只是我在培養(yǎng)學生思維靈活性方面的一些實踐和體會。幾年來，所教學生在經(jīng)過有目的的培養(yǎng)后，思維品質(zhì)都有了很大的提高。相應的，學生的學習質(zhì)量也有了很大提高。許多學生進入大學、甚至走上工作崗位后，常常來