高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義--第1-4講

1、宜陽(yáng)一高數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座（1）1.數(shù)學(xué)方法選講同學(xué)們?cè)陂喿x課外讀物的時(shí)候，或在聽老師講課的時(shí)候，書上的例題或老師講解的例題他都能聽懂，但一遇到?jīng)]有見過面的問題就不知從何處入手?？磥?lái)，要提高解決問題的能力，要能在競(jìng)賽中有所作為，首先得提高分析問題的能力，這就需要學(xué)習(xí)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。例題講解一、從簡(jiǎn)單情況考慮華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。從簡(jiǎn)單情況考慮，就是一種以退為進(jìn)的一種解題策略。1. 兩人坐在一張長(zhǎng)方形桌子旁，相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，直到桌

2、子上再也放不下一枚硬幣為止。誰(shuí)放入了最后一枚硬幣誰(shuí)獲勝。問：先放的人有沒有必定取勝的策略？2線段AB上有1998個(gè)點(diǎn)（包括A，B兩點(diǎn)），將點(diǎn)A染成紅色，點(diǎn)B染成藍(lán)色，其余各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色。這時(shí)，圖中共有1997條互不重疊的線段。問：兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？+31000個(gè)學(xué)生坐成一圈，依次編號(hào)為1，2，3，1000?，F(xiàn)在進(jìn)行1，2報(bào)數(shù)：1號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開，2號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下，3號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開，4號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下學(xué)生們依次交替報(bào)1或2，凡報(bào)1的學(xué)生立即離開，報(bào)2的學(xué)生留下，如此進(jìn)行下去，直到最后還剩下一個(gè)人。問：這個(gè)學(xué)生的編號(hào)是幾號(hào)？例題解析1分析與解：如

3、果桌子大小只能容納一枚硬幣，那么先放的人當(dāng)然能夠取勝。然后設(shè)想桌面變大，注意到長(zhǎng)方形有一個(gè)對(duì)稱中心，先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心，繼而把硬幣放在后放者所放位置的對(duì)稱位置上，這樣進(jìn)行下去，必然輪到先放者放最后一枚硬幣。2分析：從最簡(jiǎn)單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)。然后我們對(duì)這種染色方式進(jìn)行調(diào)整：將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí)，異色線段的條數(shù)隨之有哪些變化。由于顏色的調(diào)整是任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了。解：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段僅有1條，是一個(gè)奇數(shù)。將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)色時(shí)，這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩

4、側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若同色，則異色小線段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為藍(lán)色）；這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若異色，則異色小線段的條數(shù)不變。綜上所述，改變?nèi)我鈧€(gè)點(diǎn)的顏色，異色線段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù)，從而異色線段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)。3解：如果有2n個(gè)人，那么報(bào)完第1圈后，剩下的是2的倍數(shù)號(hào)；報(bào)完第2圈后，剩下的是22的倍數(shù)號(hào)報(bào)完第n圈后，剩下的是2n的倍數(shù)號(hào)，此時(shí)，只剩下一人，是2n號(hào)。如果有（2nd）（1d2n）人，那么當(dāng)有d人退出圈子后還剩下2n人。因?yàn)橄乱粋€(gè)該退出去的是（2d1）號(hào)，所以此時(shí)的第（2d1）號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第1號(hào)，而2d號(hào)相

5、當(dāng)于2n人時(shí)的第2n號(hào)，所以最后剩下的是第2d號(hào)。由1000=29488知，最后剩下的學(xué)生的編號(hào)是4882=976（號(hào)）。宜陽(yáng)一高數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座（2）二、從極端情況考慮從問題的極端情況考慮，對(duì)于數(shù)值問題來(lái)說，就是指取它的最大或最小值；對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來(lái)說，指的是線段的端點(diǎn)，三角形的頂點(diǎn)等等。極端化的假設(shè)實(shí)際上也為題目增加了一個(gè)條件，求解也就會(huì)變得容易得多。5新上任的宿舍管理員拿著20把鑰匙去開20個(gè)房間的門，他知道每把鑰匙只能打開其中的一個(gè)門，但不知道哪一把鑰匙開哪一個(gè)門，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉的20個(gè)門，他最多要開多少次？6有n名（n3）選手參加的一次乒乓球循環(huán)賽中，沒有一個(gè)全勝的。問：是否能夠找

6、到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A？7n（n3）名乒乓球選手單打比賽若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同。試證明，總可以從中去掉一名選手，而使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同。例題解析5. 解：從最不利的極端情況考慮：打開第一個(gè)房間要20次，打開第二個(gè)房間需要19次共計(jì)最多要開2019181=210（次）。6. 解：從極端情況觀察入手，設(shè)B是勝的次數(shù)最多的一個(gè)選手，但因B沒獲全勝，故必有選手A勝B。在敗給B的選手中，一定有一個(gè)勝A的選手C，否則，A勝的次數(shù)就比B多一次了，這與B是勝的次數(shù)最多的矛盾。所以，一定能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝

7、B，B勝C，C勝A。7. 證明：如果去掉選手H，能使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同，那么我們稱H為可去選手。我們的問題就是要證明存在可去選手。設(shè)A是已賽過對(duì)手最多的選手。若不存在可去選手，則A不是可去選手，故存在選手B和C，使當(dāng)去掉A時(shí)，與B賽過的選手和與C賽過的選手相同。從而B和C不可能賽過，并且B和C中一定有一個(gè)（不妨設(shè)為B）與A賽過，而另一個(gè)（即C）未與A賽過。又因C不是可去選手，故存在選手D，E，其中D和C賽過，而E和C未賽過。顯然，D不是A，也不是B，因?yàn)镈與C賽過，所以D也與B賽過。又因?yàn)锽和D賽過，所以B也與E賽過，但E未與C賽過，因而選手E只能是選手A。

8、于是，與A賽過的對(duì)手?jǐn)?shù)就是與E賽過的對(duì)手?jǐn)?shù)，他比與D賽過的對(duì)手?jǐn)?shù)少1，這與假設(shè)A是已賽過對(duì)手最多的選手矛盾。故一定存在可去選手。宜陽(yáng)一高數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座（3）三、從整體考慮從整體上來(lái)考察研究的對(duì)象，不糾纏于問題的各項(xiàng)具體的細(xì)節(jié)，從而能夠拓寬思路，抓住主要矛盾，一舉解決問題。9右圖是一個(gè)44的表格，每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”：每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字：1變成0，0變成1。問：能否通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1？10有三堆石子，每堆分別有1998，998，98?！，F(xiàn)在對(duì)這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”：每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子，或從任一堆中取出

9、一些石子放入另一堆中。按上述方式進(jìn)行“操作”，能否把這三堆石子都取光？如行，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如不行，請(qǐng)說明理由。11我們將若干個(gè)數(shù)x，y，z，的最大值和最小值分別記為max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）例題解析9. 解：我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一個(gè)奇數(shù)，每一次“操作”，要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性，顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí)，整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16，為一偶數(shù)。故不

10、能通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“操作”規(guī)則，每次拿掉的石子數(shù)的總和是3的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被 3除時(shí)的余數(shù)。而1998+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光時(shí)總和被3除余0。所以，三堆石子都被取光是辦不到的。11. 解：設(shè) M=max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。因?yàn)閍+b+c，c+d+e，e+f+g都不大于M，所以練習(xí)題1.方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一個(gè)自然數(shù)解嗎？為什么？2.連續(xù)自然數(shù)1，2，3，8899排成一列。從1開始，留1劃掉2和3

11、，留4劃掉5和6這么轉(zhuǎn)圈劃下去，最后留下的是哪個(gè)數(shù)？3.給出一個(gè)自然數(shù)n，n的約數(shù)的個(gè)數(shù)用一個(gè)記號(hào)A（n）來(lái)表示。例如當(dāng)n=6時(shí)，因?yàn)?的約數(shù)有1，2，3，6四個(gè)，所以A（6）=4。已知a1，a2，a10是 10個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，又x為a1，a2，a10的積，求 A（x）。宜陽(yáng)一高數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座（4）1.有。解：當(dāng)n=2時(shí)，方程x1+x2=x1x2有一個(gè)自然數(shù)解：x1=2，x2=2；當(dāng)n=3時(shí)，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=2，x3=3；當(dāng)n=4時(shí)，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。一般地，

12、方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。2 .3508。解：仿例3。當(dāng)有3n個(gè)數(shù)時(shí)，留下的數(shù)是1號(hào)。小于8899的形如3n的數(shù)是38=6561，故從1號(hào)開始按規(guī)則劃數(shù)，劃了8899-6561=2338（個(gè)）數(shù)后，還剩下6561個(gè)數(shù)。下一個(gè)要?jiǎng)澋舻臄?shù)是238823+1=3507，故最后留下的就是3508。3.1024。解：質(zhì)數(shù)a1有2個(gè)約數(shù)：1和a，從而A（a1）=2；2個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2的積有4個(gè)約數(shù)：1，a1，a2，a1a2，從而A（a1a2）=4=22；3個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，a3的積有8個(gè)約數(shù)：1，

13、a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，從而A（a1a2a3）=8=23；于是，10個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，a10的積的約數(shù)個(gè)數(shù)為A（x）=210=1024。6.把1600?；ㄉ纸o100只猴子，請(qǐng)你說明不管怎樣分，至少有4只猴子分的花生一樣多。7.有兩只桶和一只空杯子。甲桶裝的是牛奶，乙桶裝的是酒精（未滿）?，F(xiàn)在從甲桶取一滿杯奶倒入乙桶，然后從乙桶取一滿杯混合液倒入甲桶，這時(shí)，是甲桶中的酒精多，還是乙桶中的牛奶多？為什么？8.在黑板上寫上1，2，3，1998。按下列規(guī)定進(jìn)行“操作”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b，然后寫上它們的差（大減?。?，直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止。問：黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？6.假設(shè)沒有4只猴子分的花生一樣多，那么至多3只猴子分的花生一樣多。我們從所需花生最少情況出發(fā)考慮：得1粒、2粒、3粒32粒的猴子各有3只，得33?；ㄉ暮镒佑?只，于是100只猴子最少需要分得花生3（0+1+2+32）+33=1617（粒），現(xiàn)在只有1600?；ㄉ?，無(wú)法使得至多3只猴子分的花生一樣多，故至少有4只猴子分的