學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)1.能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟；2.能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非預(yù)制性、條理性、技藝性和局限性等特點(diǎn)；3.能表述數(shù)學(xué)建模的分類；4.會采用靈活的表述方法建立數(shù)學(xué)模型；5.培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機(jī)理分析方法，一類是測試分析方法。機(jī)理分析是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.測試分折將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，可以測量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、并以此

2、為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識(System Identification)將這兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模方法。即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識確定模型的參數(shù)可以看出，用上面的哪一類方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的決定的如果掌握了機(jī)理方面的一定知識，模型也要求具有反映內(nèi)部特性的物理意義。那么應(yīng)該以機(jī)理分析方法為主當(dāng)然,若需要模型參數(shù)的具體數(shù)值，還可以用系統(tǒng)辨識或其他統(tǒng)計方法得到如果對象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒掌握，模型也不用于分析內(nèi)部特性,譬如僅用來做輸出預(yù)報，則可以系統(tǒng)辯識方法為主系統(tǒng)辨識是

3、一門專門學(xué)科，需要一定的控制理論和隨機(jī)過程方面的知識。以下所謂建模方法只指機(jī)理分析。建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，下面給出建模的般步驟。模型準(zhǔn)備 首先要了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征,由此初步確定用哪一類模型，總之做好建模的準(zhǔn)備工作情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.模型假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步一般地說，一個實(shí)際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)

4、問題，即使可能，也很難求解不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過份簡單，會導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合作假設(shè)時既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用寫出假設(shè)時，語言要精確，就象做習(xí)題時寫出已知條件那樣模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)，

5、分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識，以開拓思路.當(dāng)然不能要求對數(shù)學(xué)學(xué)科門門精通,而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法建模時還應(yīng)遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟娜肆私夂褪褂?而不是只供少數(shù)專家欣賞.模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計

6、算機(jī)技術(shù)模型分析 對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報，有時則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等。模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來對待當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了模型檢驗(yàn)的結(jié)果，如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果

7、獲得某種程度上的滿意模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書討論的范圍。應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明建模時不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班。二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的重要手段。數(shù)學(xué)模型有許多優(yōu)點(diǎn)，也有弱點(diǎn)。建模需要相當(dāng)豐富的知識、經(jīng)驗(yàn)和各方面的能力，同時應(yīng)注意掌握分寸下面歸納出數(shù)學(xué)模型的若干特點(diǎn)，以期在學(xué)習(xí)過程中逐步領(lǐng)會模型的逼真性和可行性 一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對象，但是一個非常逼真的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的，因而不容易達(dá)到通過建模對現(xiàn)實(shí)對象進(jìn)行分析、預(yù)報、決策或

8、者控制的目的，即實(shí)用上不可行另一方面，越逼真的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理，這樣的模型應(yīng)用時所需要的“費(fèi)用”也相當(dāng)高，而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益”相匹配所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間做出折衷和抉擇模型的漸進(jìn)性 稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模，通常不可能一次成功，要經(jīng)過上一節(jié)描述的建模過程的反復(fù)迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型在科學(xué)發(fā)展過程中隨著人們認(rèn)識和實(shí)踐能力的提高，各門學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型也存在著一個不斷完善或者推陳出新的過程從19世紀(jì)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等許多學(xué)科由牛頓力學(xué)的模型主宰，到20世紀(jì)愛因斯坦相對論模型的建立，

9、是模型漸進(jìn)性的明顯例證模型的強(qiáng)健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對象的信息如觀測數(shù)據(jù)確定的，而觀測數(shù)據(jù)是允許有誤差的一個好的模型應(yīng)該具有下述意義的強(qiáng)健性：當(dāng)觀測數(shù)據(jù)(或其他信息)有微小改變時，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化，并且一般也應(yīng)導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化模型的可轉(zhuǎn)移性 模型是現(xiàn)實(shí)對象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會等領(lǐng)域內(nèi)建模就常常借用物理領(lǐng)域中的模型模型的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用的極端廣泛性模型的非預(yù)制性 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應(yīng)用廣泛的模型，但是實(shí)際問題是各種各樣、變化萬千的，不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時使用。模型的這種非預(yù)

10、制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題(Openend problem)在建立新的模型的過程中甚至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生模型的條理性 從建模的角度考慮問題可以促使人們對現(xiàn)實(shí)對象的分析更全面、更深入、更具條理性，這樣即使建立的模型由于種種原因尚未達(dá)到實(shí)用的程度，對問題的研究也是有利的。模型的技藝性 建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是根本不同的，無法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧。有入說，建模目前與其是一門技術(shù)、不如說是一種藝術(shù)是技藝性很強(qiáng)的技巧經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知識更大。模型的局限性 這里有

11、幾方面的含義第一，由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具有通用性和精確性，但是因?yàn)槟Ｐ褪乾F(xiàn)實(shí)對象簡化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題，就回到了現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對的和近似的第二，由于人們認(rèn)識能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，還有不少實(shí)際問題很難得到有著實(shí)用價值的數(shù)學(xué)模型如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測量手段不夠完善、技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過程，像生鐵冶煉過程，需要開發(fā)專家系統(tǒng)，與建立數(shù)學(xué)模型相結(jié)合才能獲得較滿意的應(yīng)用效果專家系統(tǒng)是一種計算機(jī)軟件系統(tǒng)，它總結(jié)專家的知識和經(jīng)驗(yàn)，模擬人類的邏輯思維過程，建立若干規(guī)則和推理途徑，主要是定

12、性地分析各種實(shí)際現(xiàn)象并做出判斷專家系統(tǒng)可以看成計算機(jī)模擬的新發(fā)展第三，還有些領(lǐng)域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過程，目前所謂計算機(jī)輔助診斷也是屬于總結(jié)著名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng)驗(yàn)的專家系統(tǒng)建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維范疇的能力之外，直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。當(dāng)由于各種限制利用已有知識難以對研究對象做出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴(yán)密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認(rèn)識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計算機(jī)、機(jī)器人的高明之處歷史上

13、不乏在科學(xué)家的直覺和靈感的火花中誕生的假說、論證和定律。當(dāng)然，直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進(jìn)行反復(fù)思考和艱苦探索，對各種思維方法運(yùn)用嫻熟相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素。所以由各種專門人才組成的所謂團(tuán)隊工作方式(Team work)越來越受到重視。前面說過，建?？梢钥闯梢婚T藝術(shù)藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的一名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實(shí)踐。類似地，掌握建模這門藝術(shù)培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動手，認(rèn)真做幾個實(shí)際題目。三、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模

14、型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會學(xué)等2.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法(或所屬數(shù)學(xué)分支)分如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中，著重于某一專門領(lǐng)域中用不同方法建立模型，而按第二種方法分類的書里，是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用在本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識在各個

15、不同領(lǐng)域中建模3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型 取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響近年來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型靜態(tài)模型和動態(tài)模型 取決于是否考慮時間因素引起的變化線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線性的離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量(主要是時間變量)取為離散還是連續(xù)的雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的、動態(tài)的、非線性的，但是由于確定性、靜態(tài)、線性模型容易處理，并且往往可以作為初步的近似來解決問題，所以建模時常先考慮確定性、靜態(tài)、線性模型連續(xù)模型便于利用微積分方法求解，作理論分析，而離散模型便于在計算機(jī)上作數(shù)值計算，所以用哪種模型要看具體問題而定在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化，或?qū)㈦x散變量視作連續(xù)，也是常采用的方法4.按照建模目的分有描述模型、分析模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等5.按照對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型這是把研究對象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān)，要通過建模來揭示它的奧妙白箱主要包括用力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技