數(shù)學(xué)無憂之最終幻想

1、數(shù)學(xué)無憂之最終幻想版濤濤：dwrong我們每個(gè)人都是單翼的天使，只有相互扶持，才能飛向夢中的天堂.祝福在這條路上一同奮斗的情侶們。代數(shù)與幾何部分1.正整數(shù)n有奇數(shù)個(gè)因子,則n為完全平方數(shù) 2.因子個(gè)數(shù)求解公式:將整數(shù)n分解為質(zhì)因子乘積形式,然后將每個(gè)質(zhì)因子的冪分別加一相乘.n=a*a*a*b*b*c則因子個(gè)數(shù)=(3+1)(2+1)(1+1)eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子個(gè)數(shù)=(3+1)(2+1)=12個(gè) 3.能被8整除的數(shù)后三位的和能被8整除;能被9整除的數(shù)各位數(shù)的和能被9整除.能被3整除的數(shù),各位的和能被3整除. 4.多邊形內(nèi)角和=(n-2)x180 5.菱形面積=1/2 x

2、對角線乘積6.歐拉公式： 邊數(shù)=面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-2 8.三角形余玄定理 C2=A2+B2-2ABCOS,為AB兩條線間的夾角9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各邊及所對應(yīng)的角,R是三角形 外接圓的半徑)10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，兩線垂直的條件為K1K2=-111.N的階乘公式: N!=1*2*3*.(N-2)*(N-1)*N 且規(guī)定0!=1 1!=1 Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*812. 熟悉一下根號2、3、5的值 sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.23613. .2/3 as

3、 many A as B: A=2/3*B1 / 24 .twice as many. A as B: A=2*B14. 華氏溫度與攝氏溫度的換算 換算公式:(F-32)*5/9=CPS.常用計(jì)量單位的換算:（自己查查牛津大字典的附錄吧）練習(xí)題:1：還有數(shù)列題：a1=2，a2=6，an=an-1/an-2，求a150.解答: an=an-1/an-2,所以an-1=an-2/an-3,帶入前式得an=1/an-3,然后再拆一遍得到an=an-6,也就是說,這個(gè)數(shù)列是以6為周期的,則a150=a144=.=a6,利用a1,a2可以計(jì)算出a6=1/3.如果實(shí)在想不到這個(gè)方法,可以寫幾項(xiàng)看看很快就會

4、發(fā)現(xiàn)a150=a144,大膽推測該數(shù)列是以6為周期得,然后寫出a1-a13(也就是寫到你能看出來規(guī)律),不難發(fā)現(xiàn)a6=a12,a7=a13,然后那,稍微數(shù)數(shù),就可以知道a150=a6了,同樣計(jì)算得1/3.2：問攝氏升高30度華氏升高的度數(shù)與62比大小. key:F=30*9/5=54<623：那道費(fèi)波拉契數(shù)列的題:已知,a1=1 a2=1 an=an-1+an-2 ，問a1,a2,a3,a6四項(xiàng)的平均數(shù)和a1,a3,a4,a5四項(xiàng)的平均數(shù)大小比較。解答:費(fèi)波契那數(shù)列就是第三項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和,依此類推得到a1-a6為:1 1 2 3 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+

5、a3+a4+a5=11,所以為大于.4：滿足x2+y2<=100的整數(shù)對（x,y）有多少？ key: 按照X的可能情況順序?qū)懗? X= Y=1 1-92 1-93 1-94 1-95 1-86 1-87 1-78 1-69 1-4 >Myanswer:加起來=695：24，36，90，100四個(gè)數(shù)中,該數(shù)除以它的所有的質(zhì)因子，最后的結(jié)果是質(zhì)數(shù)的是那個(gè)：Key:906:0.123456789101112.，這個(gè)小數(shù)無限不循環(huán)地把所有整數(shù)都列出來.請問小數(shù)點(diǎn)后第100位的數(shù)字是多少？Key: 位數(shù)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 12 19 2020 2129

6、2030 39 2040 49 2050 51 52 53 54 55 56 第101位 5？7：2904x=y2（y的平方），x、y都是正整數(shù)，求x的最小值。因?yàn)椋篨2×Y2×Z2=(X×Y×Z)2所以把2904除呀除2×2×2×3×11×1122×112×6再乘一個(gè)6就OK了 22×112×6×6（2×11×6）2=1322Key：最小的x68:序列An=1/n-1/(n+1),n>=1,問前100項(xiàng)和.解答：An 1/n-1

7、/(n+1) An-1=1/(n-1)-1/n An-2=1/(n-2)-/(n-1) A111/2把左邊加起來就是An+An-1+A1=1-1/(n+1) .消掉了好多好多項(xiàng)之后的結(jié)果Key:把n100帶入得 前100項(xiàng)之和為100/1019:等腰三角形，腰為6.底邊上的高為x,底邊為y,問4x2+y2和144誰大 解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=14410:-1<r<t <0(有一數(shù)軸) question:r+r*t*t與-1的關(guān)系Key:我想的辦法只能是嘗試:原式=r(1+t*t)恒小于零 1)r 1， t 0 則原式 1 2)r 1， t

8、1則原式 2 3)r 0 ， t 0 則原式 0例如：r-0.9 t=-1/3 時(shí),原式=-1,若此時(shí)-0.9<t<-1/3 原式<-1 反之>-1.11:有長方形4feet*8feet,長寬各截去x inch,長寬比2：5， 解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5 => x=16概率論部分1.排列(permutation):從N個(gè)東東(有區(qū)別)中不重復(fù)(即取完后不再取)取出M個(gè)并作排列,共有幾種方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:從1-5中取出3個(gè)數(shù)不重復(fù),問能組成幾個(gè)三位數(shù)？解答：P(3,5)=5!/(5-3)!

9、=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60也可以這樣想從五個(gè)數(shù)中取出三個(gè)放三個(gè)固定位置那么第一個(gè)位置可以放五個(gè)數(shù)中任一一個(gè),所以有5種可能選法，那么第二個(gè)位置余下四個(gè)數(shù)中任一個(gè),.4.，那么第三個(gè)位置3所以總共的排列為5*4*3=60同理可知如果可以重復(fù)選(即取完后可再取),總共的排列是5*5*5=1252組合(combination):從N個(gè)東東(可以無區(qū)別)中不重復(fù)(即取完后不再取)取出M個(gè)(不作排列,即不管取得次序先后),共有幾種方法C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3

10、/(1*2*3)=10可以這樣理解：組合與排列的區(qū)別就在于取出的M個(gè)作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，那末他們之間關(guān)系就有先做組合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得組合公式性質(zhì):C(M,N)=C( (N-M), N )即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=103概率概率的定義：P=滿足某個(gè)條件的所有可能情況數(shù)量/所有可能情況數(shù)量概率的性質(zhì) ：0<=P<=11)不相容事件的概率：a,b為兩兩不相容的事件（即發(fā)生了a，就不會發(fā)生b)P(a或b)=P(a)+P(b)P(a且b)=P(a)+P

11、(b)=0 (A,B不能同時(shí)發(fā)生)2）對立事件的概率:對立事件就是a+b就是全部情況,所以不是發(fā)生a,就是b發(fā)生,但是,有一點(diǎn)a,b不能同時(shí)發(fā)生.例如:a:一件事不發(fā)生b:一件事發(fā)生,則A,B是對立事件顯然：P（一件事發(fā)生的概率或一件事不發(fā)生的概率）=1（必然事件的概率為1）則一件事發(fā)生的概率=1 - 一件事不發(fā)生的概率.公式1理解抽象的概率最好用集合的概念來講，否則結(jié)合具體體好理解寫a,b不是不相容事件(也就是說a,b有公共部分)分別用集合A和集合B來表示即集合A與集合B有交集，表示為A*B （a發(fā)生且b發(fā)生）集合A與集合B的并集，表示為A U B （a發(fā)生或b發(fā)生）則:P（A U B）=

12、P(A)+P(B)-P(A*B).公式23）條件概率：考慮的是事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P（A）>0,稱P（B|A）=P（A*B）/P（A）.公式3為事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率理解：就是P（A與B的交集）/P（A集合）理解: “事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率”，很明顯，說這句話的時(shí)候，A，B都發(fā)生了，求的是A，B同時(shí)發(fā)生的情況占A發(fā)生時(shí)的比例，就是A與B同時(shí)發(fā)生與A發(fā)生的概率比。4）獨(dú)立事件與概率兩個(gè)事件獨(dú)立也就是說，A，B的發(fā)生與否互不影響，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以說兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率就是： P（

13、A U B）P（A）×P（B）.公式4練習(xí)題:1：A, B獨(dú)立事件，一個(gè)發(fā)生的概率是0.6 ，一個(gè)是0.8，問：兩個(gè)中發(fā)生一個(gè)或都發(fā)生的概率 ？解答： PP(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B) =0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92 另一個(gè)角度,所求概率P=1-P(A,B都不發(fā)生) =1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.922：一道概率題：就是100以內(nèi)取兩個(gè)數(shù)是6的整倍數(shù)的概率.解答:100以內(nèi)的倍數(shù)有6,12,18,.96共計(jì)16個(gè)所以從中取出兩個(gè)共有16*15種方法,從1-100中取出兩個(gè)數(shù)的方法有99*100種,所以P=(16*1

14、5)/(99*100)=12/505=0.0243：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之間以3,4,5,6,7,8,9結(jié)尾的數(shù)的概率.因?yàn)?00-299中以3,4,5,6,7,8,9結(jié)尾的數(shù)各有20個(gè),所以Key:（2*10*7）/350=0.4 4.在1-350中（inclusive），337-350之間整數(shù)占的百分比Key:(359-337+1)/350=4%5.在E發(fā)生的情況下，F(xiàn)發(fā)生的概率為0.45，問E不發(fā)生的情況下，F(xiàn)發(fā)生的概率與0.55比大小解答:看了原來的答案,我差點(diǎn)要不考G了.無論柳大俠的推理還是那個(gè)哥哥的圖,都太過分了吧?其實(shí)用全概率公式

15、是很好解決這個(gè)問題的,還是先用白話文說一遍吧: 某一個(gè)事件A的發(fā)生總是在一定的其它條件下如B,C,D發(fā)生的,也就是說A的概率其實(shí)就是在,B,C,D發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率之和.A在B發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,在C發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,在D發(fā)生時(shí)有一個(gè)條件概率,如果B,C,D包括了A發(fā)生的所有的條件.那么,A的概率不就是這幾個(gè)條件概率之和么. P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D) 好了,看看這個(gè)題目就明白了.F發(fā)生時(shí),E要么發(fā)生,要么不發(fā)生,OK?所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感覺上也沒錯(cuò)吧? 給了P(F|E)=0.45,所以 P(F|!E)= P(F)-P(F|E)=

16、 P(F)-0.45如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55如果0.45=<P(F)<1,那么0=<P(F|!E)<0.55如果，唉，我就不說你什么了sigh統(tǒng)計(jì)學(xué)部分1.mode（眾數(shù)） 一堆數(shù)中出現(xiàn)頻率最高的一個(gè)或幾個(gè)數(shù) e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0 2.range（值域） 一堆數(shù)中最大和最小數(shù)之差 ,所以統(tǒng)計(jì)學(xué)上又稱之為極差.(兩極的差)e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4 3.mean（平均數(shù)） arithmatic mean（算術(shù)平均數(shù)）: n個(gè)數(shù)之和再除以n geomet

17、ric mean （幾何平均數(shù)）: n個(gè)數(shù)之積的n次方根 4.median（中數(shù)） 將一堆數(shù)排序之后，正中間的一個(gè)數(shù)（奇數(shù)個(gè)數(shù)字）， 或者中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個(gè)數(shù)字） e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6 5.standard error（標(biāo)準(zhǔn)偏差） 一堆數(shù)中，每個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和，除以這堆數(shù)的個(gè)數(shù)(n) e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4 6.stan

18、dard variation 一堆數(shù)中，每個(gè)數(shù)與平均數(shù)之差的平方之和，再除以n 標(biāo)準(zhǔn)方差的公式：d2=(a1-a)2+(a2-a)2+.+(an-a)2 /ne.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4(0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8 7.standard deviation 就是standard variation的平方根 d8.the calculation of quartile(四分位數(shù)的計(jì)算)Quartile（四分位數(shù)）：第0個(gè)Quartile實(shí)際為通常所說的最小值（MINim

19、um）；第1個(gè)Quartile（En：1st Quartile）；第2個(gè)Quartile實(shí)際為通常所說的中分位數(shù)（中數(shù)、二分位分、中位數(shù)：Median）；第3個(gè)Quartile（En：3rd Quartile）；第4個(gè)Quartile實(shí)際為通常所說的最大值（MAXimum）；我想大家除了對1st、3rd Quartile不了解外，對其他幾個(gè)統(tǒng)計(jì)值的求法都是比較熟悉的了，而求1st、3rd是比較麻煩的。下面以求1rd為例：設(shè)樣本數(shù)為n（即共有n個(gè)數(shù)），可以按下列步驟求1st Quartile：1n個(gè)數(shù)從小到大排列，求(n-1)/4，設(shè)商為i，余數(shù)為j2則可求得1st Quartile為：(第i+

20、1個(gè)數(shù))*(4-j)/4+(第i+2個(gè)數(shù))*j/4例（已經(jīng)排過序啦?。?）.設(shè)序列為5，只有一個(gè)樣本則：(1-1)/4 商0，余數(shù)01st=第1個(gè)數(shù)*4/4+第2個(gè)數(shù)*0/4=52）.設(shè)序列為1,4，有兩個(gè)樣本則：(2-1)/4 商0，余數(shù)11st=第1個(gè)數(shù)*3/4+第2個(gè)數(shù)*1/4=1.753）.設(shè)序列為1,5,7，有三個(gè)樣本則：(3-1)/4 商0，余數(shù)21st=第1個(gè)數(shù)*2/4+第2個(gè)數(shù)*2/4=34）.設(shè)序列為1,3,6,10，四個(gè)樣本：(4-1)/4 商0，余數(shù)21st=第1個(gè)數(shù)*1/4+第2個(gè)數(shù)*3/4=2.55）.其他類推！因?yàn)?rd與1rd的位置對稱，這是可以將序列從大到小排

21、（即倒過來排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：1.序列5，3rd=52.4,1，3rd=4*3/4+1*1/4=3.253.7,5,1，3rd=7*2/4+5*2/4=64.10,6,3,1，3rd=10*1/4+6*3/4=79The calculation of Percentile 設(shè)一個(gè)序列供有n個(gè)數(shù)，要求（k%）的Percentile： （1）從小到大排序，求(n-1)*k%，記整數(shù)部分為i，小數(shù)部分為j 可以如此記憶：n個(gè)數(shù)中間有n-1個(gè)間隔，n-1/4就是處于前四分之一處，（2）所求結(jié)果（1j）*第(i1)個(gè)數(shù)j*第(i+2)個(gè)數(shù) 特別注意以下兩種最可

22、能考的情況： （1）j為0，即(n-1)*k%恰為整數(shù)，則結(jié)果恰為第(i+1)個(gè)數(shù) （2）第(i+1)個(gè)數(shù)與第(i+2)個(gè)數(shù)相等，不用算也知道正是這兩個(gè)數(shù). 注意：前面提到的Quartile也可用這種方法計(jì)算， 其中1st Quartile的k%=25% 2nd Quartile的k%=50% 3rd Quartile的k%=75% 計(jì)算結(jié)果一樣. 例：（注意一定要先從小到大排序的，這里已經(jīng)排過序啦?。?1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80共16個(gè)樣本 要求:percentile30%：則(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i4，j0.5(1-0

23、.5)*第5個(gè)數(shù)0.5*第6個(gè)數(shù)=0.5*6+0.5*7=6.5 10.To find median using Stem-and-Leaf (莖葉法計(jì)算中位數(shù)) Stem-and-Leaf method 其實(shí)并不是很適用于GRE考試,除非有大量數(shù)據(jù)時(shí)可以用這種方法比較迅速的將數(shù)據(jù)有序化.一般GRE給出的數(shù)據(jù)在10個(gè)左右,莖葉法有點(diǎn)大材小用. Stem-and-Leaf 其實(shí)就是一種分級將數(shù)據(jù)分類的方法.Stem就是大的劃分,如可以劃分為110，1120，2130，而Leaf就是把劃分到Stem一類中的數(shù)據(jù)再排一下序?？戳死泳兔靼琢?。Example for Stem-and-Leaf met

24、hod:Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，200| 1 2 2 4 1| 12 15 18 2| 20 23 23 24 27 5| 51 59 Stem (unit) = 10 Leaf (unit) = 1 分析如下：最左邊的一豎行 0, 1, 2, 5叫做Stem, 而右邊剩下的就是Leaf(leaves). 上面的Stem-and-Leaf 共包含了14個(gè)data, 根據(jù)Stem及l(fā)eaf的unit, 分別是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24,

25、27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf其實(shí)就是把各個(gè)unit，比如個(gè)位，十位等歸類了而已，一般是從小到大有序排列，所以在找Stem-and Leaf 找median的時(shí)候，一般不需要你自己把所有的數(shù)寫出來從新排序.所以只要找到中間的那個(gè)數(shù) (如果data個(gè)數(shù)是偶，則取中間兩數(shù)的平均數(shù)), 就是median了.這道題的median是18和20的平均值 =19. 大家在碰到這種題的時(shí)候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分類的數(shù)量級就行了.為什么用Stem-and-Leaf 方法？可能你覺得這樣做太麻煩了，其實(shí)Stem-and-Lea

26、f 方法好處就是：你不必從一大堆數(shù)里去按大小挑數(shù)了，按照data給出的順序填到表里就可以了。但是，GRE考試這樣做是否值自己斟酌。我的方法，不就是找十來個(gè)數(shù)么？排序！在先瀏一眼數(shù)據(jù)看看大致范圍，然后在答題紙上按個(gè)的寫，覺得小的寫前面，大的寫后面，寫了幾個(gè)數(shù)之后，就是把剩下的數(shù)兒們，一個(gè)個(gè)的插到已寫的數(shù)中間么！注意盡可能的把數(shù)之間的距離留大一些，否則，如果某些數(shù)比較密集，呵呵，你會死的很慘的。11To find the median of data given by percentage(按比例求中位數(shù)) 給了不同年齡range, 和各個(gè)range的percentage, 問median 落在哪

27、個(gè)range里. 把percentage加到50%就是median的range了.擔(dān)小心一點(diǎn)，range首先要保證是有序排列. Example for this: Given: 1020 = 20%, 3050 = 30%, 010 = 40%, 2030 = 10%, 問median在哪個(gè)range里. 分析： 千萬不要上來就加，要先排序，切記！ 重新排序?yàn)椋?010 = 40%, 1020 = 20%, 2030 = 10%, 3050 = 40%. 然后從小開始加， median（50）落在 1020這個(gè)range里. 如果覺得比較玄乎，我的方法，GRE大部分的題都可以這么搞。010歲

28、40匹ETS豬，1020歲 20匹ETS豬，2030歲 匹ETS豬，3050歲 匹ETS豬，這100匹ETS豬按著年齡排下來，你說第五十匹ETS豬的年齡落在那個(gè)范圍。(原題: 說一堆人0-10歲 占 10%,11-20歲 占 12%,21-30歲 占 23%,31-40歲 占 20%,40歲 占 35%,問median 在什么范圍?)12：比較,當(dāng)n<1時(shí)，n，1，2 和1，2,3的標(biāo)準(zhǔn)方差誰大standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)數(shù)值,只不過由于standard erro

29、r中涉及絕對值,在數(shù)學(xué)上是很難處里的所以,都用標(biāo)準(zhǔn)方差,實(shí)際上standard error更合理一些,它代表了數(shù)據(jù)和平均值的平均距離.很明顯題目中如果n=0的話,0,1,2的離散程度應(yīng)該和1,2,3的離散程度相同.如果n<0,則n,1,2,的離散程度大于后者,而0<n<1的話,則后者大于前者,但是n為整數(shù),這種情況不成立.故而Key: n是整數(shù)， 前=后(n=0,等；n=-1,-2,大于)13.算數(shù)平均值和加權(quán)平均值三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布FREQUENCY DISTRIBUTION： 1（6），2（4），3（1），4（4），5（6） 1（1），2（4），3（6），4（4），5（1

30、） 1（1），2（2），3（3），4（4），5（5） 其中括號里的是出現(xiàn)的頻率，問MEAN和AVERAGE相等的有那些.答案：只有第二個(gè). mean-arithmetic mean 算術(shù)平均值（1+2+3+4+5）/ 5 = 3 average-weighted average 加權(quán)平均值: (1*1+2*4+.5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=3 14.正態(tài)分布題.一列數(shù)從0到28，給出正態(tài)分布曲線.75%的percentile是20，85%的percentile是r,95%的percentile是26,問r與23的大小.Key:r<23下面是來自柳大俠的七種武器中的正態(tài)分

31、布15正態(tài)分布高斯分布（Gaussian）（正態(tài)分布）的概率密度函數(shù)為一鐘型曲線，即a為均值，為標(biāo)準(zhǔn)方差，曲線關(guān)于x=a的虛線對稱，決定了曲線的“胖瘦”，形狀為：圖1高斯型隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，是將其密度函數(shù)取積分，即（）, 表示隨機(jī)變量A的取值小于等于x的概率。比如A的取值小于等于均值a的概率是50%。曲線為axF(x)1.050%ABC圖2如果前面看得有些頭大也沒有關(guān)系，結(jié)合具體題目就很容易理解了J1） 一道正態(tài)分布：95%26，75%20，85%r,問r與23的大小，答小于解： 由圖2，正態(tài)分布的分布函數(shù)F（x）在其期望a的右方曲線是向上凸的，此時(shí)F（20）=75%，F(xiàn)（r）=85%，

32、F（26）=95%，ABOACA如果把曲線的片段放大就比較清楚了。O為AB的中點(diǎn)。A(20, 75%)B(26, 95%)O(23, 85%)C(r, 85%)由于曲線上凸，顯然C的橫坐標(biāo)小于O，所以r<23。 補(bǔ)充：如果問的是曲線的左半部分或者其它一些情況，只要畫一下圖就很easy了。2) 正態(tài)分布題好象是：有一組數(shù)平均值9，標(biāo)準(zhǔn)方差2，另一組數(shù)平均值3，標(biāo)準(zhǔn)方差1，問分別在（5，11）和（1，4）中個(gè)數(shù)(概率)誰大，應(yīng)該是相等。解：令圖1中的曲線a=0, , 就得到了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，曲線如圖3。x1x2圖3此時(shí)問分布在區(qū)間（x1, x2）的概率，就是圖中的陰影面積。注意此時(shí)的曲線關(guān)于x

33、=0對稱。（）對于一般的正態(tài)分布，可以通過變換，歸一化到標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，算法為：設(shè)原正態(tài)分布的期望為a，標(biāo)準(zhǔn)方差為,欲求分布在區(qū)間（y1, y2）的概率，可以變換為求圖3中分布在（x1, x2）間的概率。其中。比如題目中a=9，, 區(qū)間為（5, 11），則區(qū)間歸一化為(2，1)，即同理，a=3，, 區(qū)間為（1, 4），則區(qū)間歸一化后也為(2，1)。所以兩者的分布概率相等。估計(jì)最難的題也就是利用鐘型曲線的對稱性，比如歸一化后的區(qū)間并不相同，而是(-2,1)和（-1,2），但根據(jù)對稱性，仍然可以比較概率的大小。GRE&GMAT數(shù)學(xué)部分術(shù)語總匯代數(shù)部分 1. 有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算 add，plus

34、加 subtract 減 difference 差 multiply, times 乘 product 積 divide 除 divisible 可被整除的 divided evenly 被整除dividend 被除數(shù)，紅利 divisor 因子，除數(shù) quotient 商 remainder 余數(shù) factorial 階乘 power 乘方 radical sign, root sign 根號round to 四舍五入 to the nearest 四舍五入 2. 有關(guān)集合 union 并集 proper subset 真子集 solution set 解集 3.有關(guān)代數(shù)式、方程和不等式 a

35、lgebraic term 代數(shù)項(xiàng) like terms, similar terms 同類項(xiàng) numerical coefficient 數(shù)字系數(shù) literal coefficient 字母系數(shù) inequality 不等式 triangle inequality 三角不等式 range 值域 original equation 原方程 equivalent equation 同解方程，等價(jià)方程 linear equation 線性方程(e.g. 5x+6=22) 4.有關(guān)分?jǐn)?shù)和小數(shù) proper fraction 真分?jǐn)?shù) improper fraction 假分?jǐn)?shù)mixed number

36、 帶分?jǐn)?shù) vulgar fraction，common fraction 普通分?jǐn)?shù) simple fraction 簡分?jǐn)?shù) complex fraction 繁分?jǐn)?shù) numerator 分子 denominator 分母 (least) common denominator （最?。┕帜?quarter 四分之一 decimal fraction 純小數(shù) infinite decimal 無窮小數(shù) recurring decimal 循環(huán)小數(shù) tenths unit 十分位 5. 基本數(shù)學(xué)概念 arithmetic mean 算術(shù)平均值 weighted average 加權(quán)平均值 geom

37、etric mean 幾何平均數(shù) exponent 指數(shù)，冪 base 乘冪的底數(shù),底邊 cube 立方數(shù)，立方體 square root 平方根 cube root 立方根 common logarithm 常用對數(shù) digit 數(shù)字 constant 常數(shù) variable 變量 inverse function 反函數(shù) complementary function 余函數(shù) linear 一次的，線性的 factorization 因式分解 absolute value 絕對值，e.g.-32=32 round off 四舍五入 6.有關(guān)數(shù)論 natural number 自然數(shù) posi

38、tive number 正數(shù) negative number 負(fù)數(shù) odd integer, odd number 奇數(shù) even integer, even number 偶數(shù) integer, whole number 整數(shù) positive whole number 正整數(shù) negative whole number 負(fù)整數(shù) consecutive number 連續(xù)整數(shù) real number, rational number 實(shí)數(shù),有理數(shù) irrational（number） 無理數(shù) inverse 倒數(shù) composite number 合數(shù) prime number 質(zhì)數(shù)reci

39、procal 倒數(shù) common divisor 公約數(shù) multiple 倍數(shù) (least)common multiple (最小)公倍數(shù) (prime) factor (質(zhì))因子 common factor 公因子 ordinary scale, decimal scale 十進(jìn)制 nonnegative 非負(fù)的 tens 十位 units 個(gè)位 mode 眾數(shù) median 中數(shù) common ratio 公比 7.數(shù)列 arithmetic progression(sequence) 等差數(shù)列 geometric progression(sequence) 等比數(shù)列 8.其它 app

40、roximate 近似 (anti)clockwise (逆) 順時(shí)針方向 cardinal 基數(shù) ordinal 序數(shù) direct proportion 正比 distinct 不同的 estimation 估計(jì)，近似 parentheses 括號 proportion 比例 permutation 排列 combination 組合 table 表格 trigonometric function 三角函數(shù) unit 單位,位 幾何部分 1. 所有的角 alternate angle 內(nèi)錯(cuò)角 corresponding angle 同位角 vertical angle 對頂角 centra

41、l angle 圓心角 interior angle 內(nèi)角 exterior angle 外角 supplementary angles 補(bǔ)角 complementary angle 余角 adjacent angle 鄰角 acute angle 銳角 obtuse angle 鈍角 right angle 直角 round angle 周角 straight angle 平角 included angle 夾角 2.所有的三角形 equilateral triangle 等邊三角形 scalene triangle 不等邊三角形 isosceles triangle 等腰三角形 right

42、 triangle 直角三角形 oblique 斜三角形 inscribed triangle 內(nèi)接三角形 3.有關(guān)收斂的平面圖形，除三角形外 semicircle 半圓 concentric circles 同心圓 quadrilateral 四邊形 pentagon 五邊形 hexagon 六邊形 heptagon 七邊形 octagon 八邊形 nonagon 九邊形 decagon 十邊形 polygon 多邊形 parallelogram 平行四邊形 equilateral 等邊形 plane 平面 square 正方形，平方 rectangle 長方形 regular polygo

43、n 正多邊形 rhombus 菱形 trapezoid 梯形 4.其它平面圖形 arc 弧 line, straight line 直線 line segment 線段 parallel lines 平行線 segment of a circle 弧形 5.有關(guān)立體圖形 cube 立方體，立方數(shù) rectangular solid 長方體 regular solid/regular polyhedron 正多面體 circular cylinder 圓柱體 cone 圓錐 sphere 球體 solid 立體的 6.有關(guān)圖形上的附屬物 altitude 高 depth 深度 side 邊長 circumference, perimeter 周長 radian 弧度 surface area 表面積 volume 體積 arm 直角三角形的股 cross section 橫截