第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課參賽教案

1、3.8 函數(shù)的最大值和最小值（第1課時）江西省臨川第一中學(xué) 游建龍人教版全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊（選修）【教材分析】本節(jié)教材知識間的前后聯(lián)系，以及地位與作用本節(jié)主要研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值的求法和實際應(yīng)用，分兩課時，這里是第一課時，它是在學(xué)生已經(jīng)會求某些函數(shù)的最值，并且已經(jīng)掌握了性質(zhì)：“如果f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值” ，以及會求可導(dǎo)函數(shù)的極值之后進(jìn)行學(xué)習(xí)的，學(xué)好這一節(jié)，學(xué)生將會求更多的函數(shù)的最值，運用本節(jié)知識可以解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會中的一些如何使成本最低、產(chǎn)量最高、效益最大等實際問題這節(jié)課集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、理論聯(lián)系

2、實際等重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)好本節(jié)，對于進(jìn)一步完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識都具有重要的理論價值和現(xiàn)實價值高中階段對用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法不要求作嚴(yán)密的理論推導(dǎo)，這一方法完全可以由學(xué)生通過對函數(shù)圖象的觀察、歸納得到，所以本節(jié)教材還有一個重要的教育功能，那就是培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，體驗自主學(xué)習(xí)的成功愉悅.【教學(xué)目標(biāo)】根據(jù)本節(jié)教材特點，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，制定本節(jié)如下的三維教學(xué)目標(biāo)：1知識和技能目標(biāo)（1）進(jìn)一步明確閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)f(x)，在a，b上必有最大、最小值（2）理解上述函數(shù)的最值存在的可能位置（3）掌握用導(dǎo)數(shù)法求上述函數(shù)的最大值與最小值的方法和步驟2過

3、程和方法目標(biāo)（1）在學(xué)習(xí)過程中，觀察、歸納、表述、交流、合作，最終形成認(rèn)識（2）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能夠自己發(fā)現(xiàn)問題，分析問題并最終解決問題3情感和價值目標(biāo)（1）認(rèn)識事物之間的的區(qū)別和聯(lián)系，體會事物的變化是有規(guī)律的唯物主義思想（2）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實踐能力和理性精神【教學(xué)重點、難點】1教學(xué)重點 基于以上對本節(jié)教材特點和教學(xué)目標(biāo)的分析，將本節(jié)課的教學(xué)重點確定為：（1）培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,積累自主學(xué)習(xí)的經(jīng)驗；（2）會求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值2教學(xué)難點高三年級學(xué)生雖然已經(jīng)具有一定的知識基礎(chǔ)，但由于對求函數(shù)極值還不熟練，特別是對優(yōu)化解題過程依據(jù)的理解會有較大的困難，

4、所以這節(jié)課的難點是(1)發(fā)現(xiàn)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f (x)的最值只可能存在于極值點處或區(qū)間端點處；(2)理解方程f(x)=0的解，包含有指定區(qū)間內(nèi)全部可能的極值點3教學(xué)關(guān)鍵本節(jié)課突破難點的關(guān)鍵是：通過合作探究的方式，讓學(xué)生在運動變化的過程中通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)結(jié)論【教法選擇】關(guān)于教法與學(xué)法：（1）班杜拉的社會學(xué)習(xí)原理認(rèn)為：觀察學(xué)習(xí)是重要的學(xué)習(xí)方法這節(jié)課采用的第一個方法就是“觀察、比較法”；（2）為了克服學(xué)生已有知識經(jīng)驗和閱歷不足的弱點，采用多媒體輔助教學(xué)，設(shè)計了一個動畫課件，讓學(xué)生在函數(shù)圖象的運動變化中觀察、比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)；（3）根據(jù)新課標(biāo)的教學(xué)理念，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生合作共事的團(tuán)隊精神，這節(jié)

5、課還采用了“合作、討論法”，讓學(xué)生共同探討、合作學(xué)習(xí)、取長補短、形成共識【學(xué)法指導(dǎo)】對于求函數(shù)的最值，高三學(xué)生已經(jīng)具備了良好的知識基礎(chǔ)，剩下的問題就是有沒有一種更一般的方法，能運用于更多更復(fù)雜函數(shù)的求最值問題？教學(xué)設(shè)計中注意激發(fā)起學(xué)生強烈的求知欲望，使得他們能積極主動地觀察、分析、歸納，以形成認(rèn)識，參與到課堂活動中，充分發(fā)揮他們作為認(rèn)知主體的作用【教學(xué)過程】本節(jié)課的教學(xué)，大致按照“創(chuàng)設(shè)情境，鋪墊導(dǎo)入合作學(xué)習(xí)，探索新知指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵創(chuàng)新歸納小結(jié)，反饋建構(gòu)”四個環(huán)節(jié)進(jìn)行組織教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 內(nèi) 容設(shè) 計 意 圖一、創(chuàng) 設(shè) 情 境，鋪 墊 導(dǎo) 入1問題情境：在日常生活、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到求什么條

6、件下可以使成本最低、產(chǎn)量最大、效益最高等問題，這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值與最小值如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm且不大于20cm設(shè)長方體的高為xcm,體積為Vcm3問x為多大時,V最大?并求這個最大值解：由長方體的高為xcm，可知其底面兩邊長分別是（802x）cm，（602x）cm,(10x20).所以體積V與高x有以下函數(shù)關(guān)系V=（802x）（602x）x=4（40x）（30x）x.2引出課題：分析函數(shù)關(guān)系可以看出，以前學(xué)過的方法在這個問題中較難湊效，這節(jié)

7、課我們將學(xué)習(xí)一種很重要的方法，來求某些函數(shù)的最值 以實例引入新課，有利于學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識， 通過運用幾何畫板演示,增強直觀性,幫助學(xué)生迅速準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系實際問題中，在設(shè)元、列式后將這個實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題這時學(xué)生經(jīng)思考后會發(fā)現(xiàn)，以前學(xué)習(xí)過的知識不能解決這一問題，從而激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 內(nèi) 容設(shè) 計 意 圖二、合 作 學(xué) 習(xí)，探 索 新 知1我們知道，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值 2如圖為連續(xù)函數(shù)f(x)的圖象：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值、最小值分別是什么？分別在何處取

8、得？3以上分析，說明求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上最值的關(guān)鍵是什么？歸納：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f (x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f (x)在(a,b)內(nèi)的極值；（2）將f (x)的各極值與f (a)、f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值通過對已有相關(guān)知識的回顧和深入分析，自然地提出問題：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值在何處取得？如何能求得最大值和最小值？以問題制造懸念，引領(lǐng)著學(xué)生來到新知識的生成場景中為新知的發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)后，提出教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，既明確了學(xué)習(xí)目的，又激發(fā)起學(xué)生的求知熱情為讓學(xué)生更好地進(jìn)

9、行發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中通過改變區(qū)間位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察同一函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)圖象上最大值最小值取得的位置，形成感性認(rèn)識，進(jìn)而上升到理性的高度學(xué)生在合作交流的探究氛圍中思考、質(zhì)疑、傾聽、表述，體驗到成功的喜悅，學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作在整個新知形成過程中，教師的身份始終是啟發(fā)者、鼓勵者和指導(dǎo)者，以提高學(xué)生抽象概括、分析歸納及語言表述等基本的數(shù)學(xué)思維能力 教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 內(nèi) 容設(shè) 計 意 圖三、指 導(dǎo) 應(yīng) 用，鼓 勵 創(chuàng) 新例1 求函數(shù)y= x42 x25在區(qū)間2，2上的最大值與最小值解： y=4 x34x，令y=0，有4 x34x=0，解得：x=1,0,1當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表：x2(-2,-1)1(

10、-1,0)0(0,1)1(1,2)2y000y1345413從上表可知，最大值是13，最小值是4思考：求函數(shù)f (x)在a,b上最值過程中，判斷極值往往比較麻煩，我們有沒有辦法簡化解題步驟？分析：在(a,b)內(nèi)解方程f(x)=0 , 但不需要判斷是否是極值點,更不需要判斷是極大值還是極小值設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟可以改為：（1）求f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)為零的點，并計算出其函數(shù)值；（2）將f(x)的各導(dǎo)數(shù)值為零的點的函數(shù)值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值解法2：y=4 x34x令y=0，

11、有4x34x=0，解得：x=1,0,1x=1時，y=4,x=0時，y=5, x=1時，y=4又 x=2時，y=13，x=2時，y=13所求最大值是13，最小值是4課堂練習(xí)：求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值與最小值：（1）y=xx3,x0,2；（2）y=x3x2x，x2,1解決例1的方法并不唯一，還可以通過換元轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的二次函數(shù)問題；而這里利用新學(xué)的導(dǎo)數(shù)法求解，這種方法更具一般性，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點“問起于疑，疑源于思”，數(shù)學(xué)最積極的成分是問題，提出問題并解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂思考題的目的是優(yōu)化導(dǎo)數(shù)法求最大、最小值的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識及創(chuàng)新精神，提高學(xué)生分析和解決問題的能力 對例

12、題1用簡化后的方法求解，便于學(xué)生將它與第一種解法形成對照，使得問題的解決更簡單明快，更易于操作，更容易被學(xué)生所接受 課堂練習(xí)的目的在于及時鞏固重點內(nèi)容，使學(xué)生在課堂上就能掌握同時強調(diào)規(guī)范的書寫和準(zhǔn)確的運算，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣對學(xué)生完成練習(xí)情況進(jìn)行評價，使所有學(xué)生都體驗到成功或得到鼓勵，并據(jù)此調(diào)控教學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 內(nèi) 容設(shè) 計 意 圖三、指 導(dǎo) 應(yīng) 用，鼓 勵 創(chuàng) 新例2如圖,有一長80cm,寬60cm的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折成一個長方體無蓋容器,要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求,長方體的高不小于10cm不大于20cm,設(shè)長方體的高為xcm,體積為Vc

13、m3問x為多大時,V最大?并求這個最大值分析：建立V與x的函數(shù)的關(guān)系后，問題相當(dāng)于求x為何值時，V最大，可用本節(jié)課學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)法加以解決例題2的解決與本課的引例前后呼應(yīng)，繼續(xù)鞏固用導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值，同時也讓學(xué)生體會到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學(xué)信息，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的意識和能力四、歸 納 小 結(jié) ，反 思 建 構(gòu)課堂小結(jié)：1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在 a,b上必有最大值與最小值;2求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的方法與步驟;3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)鍵是對可導(dǎo)函數(shù)使導(dǎo)數(shù)為零的點的判定.作業(yè)布置：P134 1選做題：已知拋物線 y =4 x2 的頂點為O，點A（5，0），傾斜角為 的直

14、線與線段OA相交，且不過O、A兩點，l 交拋物線于M、N兩點，求使AMN面積最大時的直線 l 的方程.通過課堂小結(jié)，深化對知識理解，完善認(rèn)識結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法，強化情感體驗，提高認(rèn)識能力課外作業(yè)分必做題與選做題，因材施教、及時反饋，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展同時有利于教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足，及時反饋調(diào)節(jié)【教學(xué)設(shè)計說明】本節(jié)課旨在加強學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決問題的意識和能力，即利用導(dǎo)數(shù)知識求閉區(qū)間上可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的最值，這是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具的一個具體體現(xiàn)，整堂課對閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”為線索展開1由于學(xué)生對極限和導(dǎo)數(shù)的知識學(xué)習(xí)還談不上深入熟練，因此教學(xué)中從直觀性和新舊知識的矛盾沖突中激發(fā)學(xué)生的探究熱情，充分利用學(xué)生已有的知識體驗和生活經(jīng)驗，遵循學(xué)生認(rèn)知的心理規(guī)律，努力實現(xiàn)課程改革中以“學(xué)生的發(fā)展為本”的基本理念2關(guān)于教學(xué)過程，對于本節(jié)課的重點：求閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的最值的方法和一般步驟，必須讓學(xué)生在