巧思妙解高考數(shù)學(xué)

1、.巧思妙解2011年高考數(shù)學(xué)題（北京卷）1.（文19）已知橢圓的離心率為，右焦點為（2,0）.斜率為1的直線與橢圓交于A,B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為.（1）求橢圓的方程；（2）求PAB的面積. 【參考答案】（1）（2）設(shè)直線l的方程為由得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點為E，則.因為AB是等腰PAB的底邊，所以PEAB. 所以PE的斜率解得m = 2.此時方程為解得所以 所以|AB|=.此時，點P（3，2）到直線AB：的距離所以PAB的面積S=巧思 橢圓的方程中，y2的系數(shù)是x2系數(shù)的3倍，故由直線方程和橢圓方程合成的方程組中，消去x得關(guān)于y的一元二次方程，一定式子比較簡單、運算比較

2、方便。 求出xA = 0或yA = 2 = yp后，便知PAB又是直角三角形（?APB為直角），故其面積可用PA2計算，而不必先求P到AB的距離d、再用ABd計算。 注意點P的坐標(biāo)為（-3, 2），而橢圓的方程中，也有b = 2，故可猜想點A（0, 2）；再令xB = - 3,得B（-3, -1），果然有kAB = 1,于是PAB又是直角三角形妙解解法1：設(shè)l：x = y2n , PDAB于DAD =BD.代入G： y2- ny + n2- 3 = 02yD = yA + yB = n，且lPD：x + y + 1 = 0 .yD = n - = n = 1 y2- y - 2 = 0 yA

3、= 2 = ypPAx軸PBy軸 SPAB = PA2 = .解法2：橢圓G的上端點為C（0,2） PCy軸，PC= 3.作PDx軸，且使PD= 3D（-3,-1）在G上.kCD = 1AB與CD重合SPAB = SPCD = .【評注】 有關(guān)平面解析幾何的命題，經(jīng)常會出現(xiàn)一次方程和二次方程合成的方程組。如果x2的系數(shù)大于y2的系數(shù)（指絕對值），就要消去y得關(guān)于x的一元二次方程；否則便反之 三角形的面積公式，除了底高，還有其他形式；即使采用“底高”，也要適當(dāng)?shù)剡x取“底”和“高”特別是遇到直角三角形時，更要注意選取的適當(dāng)、得當(dāng)、恰當(dāng)。 觀察命題條件的特點，分析命題結(jié)論的要求，揣測命題內(nèi)含的本意，

4、可能出現(xiàn)“意想不到”的“拍案驚奇”，收獲“喜出望外”的“信手拈來”。2.（理19）已知橢圓.過點（m,0）作圓x2 + y2 = 1的切線l交橢圓于A，B兩點.（1）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.【參考答案】（1）焦點坐標(biāo)為，離心率為.（2）由題意知，m1.當(dāng)時，切線l的方程為，點A、B的坐標(biāo)分別為此時.當(dāng)m = 1時，同理可得.當(dāng)m1時，設(shè)切線l的方程為由.設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則.又由l與圓所以=由于當(dāng)時，所以.因為AB=2.且當(dāng)時，|AB|= 2，所以|AB|的最大值為2.巧思 將直線l的方程設(shè)為x = ty + m型（l與y軸不垂直），可避免對其

5、位置的分類討論，且式子比y = k（x - m）簡單。 由直線方程和橢圓方程消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，同樣可以解決問題，并且式子比較簡單、容易運算。 利用“x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根x1 - x2=”，可以避免求出兩根之和、兩根之積以及繁瑣的運算。妙解（2）由題可設(shè)l：x = t y + m= 1m2= t2 + 1. 由l、G（t y + m）2 + 4 y2= 4（t 2+ 4）y 2+ 2t my + m2- 4 = 0 = 4 t 2m2 - 4（t 2+ 4）（m2- 4）= 64 -16（m2- t 2）= 48AB=yA-yB= =2m=時，ABmax=

6、 2. 【評注】 直線方程的待定式，既可設(shè)為y = f（x）型，也可設(shè)為x = g（y）型由于“習(xí)慣作用”，我們通常只想到采用前者而忽略了采用后者。 含有二元一次方程和二元二次方程（不含一次項）的方程組中，未知數(shù)x和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得關(guān)于x的一元二次方程，也可消去x得關(guān)于y的一元二次方程由于“習(xí)慣作用”，我們通常只想到采用前者而忽略了采用后者?！傲?xí)慣作用”實質(zhì)是“思維定勢”?？紤]問題不能受“思維定勢”的影響，解決問題不能受“思維定勢”的影響，而要“因地制宜”、“隨機(jī)應(yīng)變”！3.（文20）若數(shù)列An：a1，a2,，an（n2）滿足ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n

7、 -1），則稱數(shù)列An為E數(shù)列，記S（An）= a1 + a2,+ + an.（1）寫出一個E數(shù)列An滿足a1 = a3= 0；（2）若，n = 2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是= 2011；（3）在a1 = 4的E數(shù)列An中，求使得S（An）= 0成立的n的最小值.【參考答案】（1）（2）必要性：因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列，所以ak+1 - ak= 1（k = 1,2,1999）,所以An是首項為12，公差為1的等差數(shù)列，所以a2000 = 12 +（2000 1）1 = 2011.充分性：由于a2000 - a19991，a1999 - a19981，a2 - a11，所以a

8、2000 - a119999，即a2000a1+1999.又因為a1 = 12，a2000 = 2011,所以a2000 = a1 + 1999.故ak+1 - ak = 10（k = 1,2,1999）,即An是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證.（3）對首項為4的E數(shù)列An，由于a2 a1 - 1 = 3，a3 a2 - 12，a8 a7 1-3，所以 a1 + a2 + + ak 0（k = 2,3,8）.所以對任意的首項為4的E數(shù)列An，若S（An）= 0，則必有n9.又a1 = 4的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足S（An）= 0，所以n的最小值是9.巧思（2）中，“

9、必要性”和“充分性”不必分開證明，利用“等價于”或者“當(dāng)且僅當(dāng)”，便可合并操作、同時進(jìn)行；如此，則“快刀斬亂麻”而顯得“干脆利落”。（3）中，利用一個顯然的道理：“E數(shù)列An中，a1 = 4 0，若盡快地（最小的n）滿足S（An）= 0，則An必為遞減數(shù)列”，便可迅速得解，而不必證明“n9”。妙解（2）,ak+1 - ak= 1（k = 1,2,n -1）a20002011,當(dāng)且僅當(dāng)ak+1 - ak = 1（k = 1,2,n -1）時，a2000 = 2011.故E數(shù)列An是遞增數(shù)列a2000 = 2011.（3）題設(shè) E數(shù)列An為遞減數(shù)列時，n最小n = 42 + 1 = 9為最小.【評

10、注】 對于“充要條件”一類命題的證明，不一定“按部就班”地先證明“充分性”、后證明“必要性”（或者交換兩者順序），而應(yīng)考慮是否可以“合二而一”遇到相關(guān)元素之間的等價性（或者圖形的唯一性）比較明顯時，這種可能性就往往存在。 對于一些道理十分淺顯、明顯的問題，我們不必“舍近求遠(yuǎn)”地“自尋煩惱”，甚至于“舍本逐末”地“故弄玄虛”，而“回歸自然”的解題方法倒是不妨一試的。4.（理20）若數(shù)列An： a1，a2,，an（n2）滿足ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n -1），則稱數(shù)列An為E數(shù)列，記S（An）= a1 + a2,+ + an（1）寫出一個滿足，且S（An）0的E數(shù)列An；（2）

11、若，n = 2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是= 2011；（3）對任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項為0的E數(shù)列An，使得S（An）= 0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列An；如果不存在，說明理由?！緟⒖即鸢浮浚?）（2）（同文20）（3）令ck = ak+1 - ak（k = 1,2, n -1）,則ck =1.因為a2 = a1 + c1，a3 = a1 + c1 + c2 , an = a1+ c1 + c2 + + cn -1,所以S（An）= na1 +（n -1）c1 +（n -2）c2 +（n -3）c3 + + cn -1=（n -1）+（n -2）+

12、+ 1（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）=-（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）.因為ck =1，所以1 - ck 為偶數(shù)（k = 1,2, n -1）,所以（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）為偶數(shù).所以要使S（An）= 0，必須使為偶數(shù)，即4整除n（n -1），亦即n = 4m或 n = 4m + 1（m N）.當(dāng)n = 4m（m N）時，E數(shù)列An的項滿足a4k -1 = a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k =

13、1,2, m）時，有a1 = 0，S（An）= 0；當(dāng)n = 4m + 1（m N）時，E數(shù)列An的項滿足a4k -1 = a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k = 1,2, m）時，有a1 = 0，S（An）= 0；當(dāng)n = 4m + 2或n = 4m + 3（m N）時，n（n -1）不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An，使得a1 = 0，S（An）= 0.巧思 由a1 = 0，ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n -1）便知：E數(shù)列An的奇數(shù)項是偶數(shù)，偶數(shù)項是奇數(shù)；進(jìn)而得知：使得S（An）= 0的數(shù)列中，偶數(shù)項的個數(shù)是偶數(shù)，而奇數(shù)項則不限，因此n =

14、 4m或n = 4m + 1（m N）。如此，則“一干二凈、一清二楚”。 要作出滿足條件的E數(shù)列An，只要列舉數(shù)列0,1,0，-1,0,1,0，-1（依次循環(huán)），便將n = 4m時和n = 4m + 1時的情況合并給出，而無須用許多字母和符號詳細(xì)地描述，更無須先后“分別介紹”（實際表達(dá)式一樣）。如此，則“一目了然、一覽無遺”。妙解（3）a1 = 0，ak+1 - ak= 1（k N） a1,a3是偶數(shù)，a2,a4是奇數(shù)S（A4m）、S（A4m+1）是偶數(shù)，S（A4m+2）、S（A4m+3）是奇數(shù)（m N）.S（A4m+2） 0，S（A4m+3） 0，而可能 S（A4m）= 0，S（A4m+1）

15、= 0，且由數(shù)列：0,1,0，-1,0,1,0，-1（依次循環(huán)）便知，可以滿足要求.【評注】 整數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù) = 奇數(shù)，奇數(shù)奇數(shù) = 奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù) = 偶數(shù)；兩個連續(xù)整數(shù)中必有一個奇數(shù)、一個偶數(shù)掌握這些性質(zhì)，可對某些與整數(shù)有關(guān)的問題有所幫助，教師應(yīng)向?qū)W生適當(dāng)舉例介紹。 能夠用初級的知識快速解決的問題，就不必用高級的學(xué)問“不慌不忙”地“細(xì)嚼慢咽”；能夠用淺顯的道理簡單說明的問題，就不必用深奧的理論“煞有介事”地“旁征博引”；要讓廣大學(xué)生能夠聽得懂、學(xué)得會、用得上對此，我們應(yīng)引起重視、引以為鑒?！拘〗Y(jié)】數(shù)學(xué)是美的，“簡潔美”是其中之一，也是主要的數(shù)學(xué)美，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)力求簡潔、簡明、簡單、簡便，力求創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新、盡善盡美。亦即：應(yīng)當(dāng)探求盡可能簡明的思路、盡可能簡便的解法，探求盡可能簡潔的語句、盡可能簡短的表述。 如果某個數(shù)學(xué)問題的解答過