全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽B組答案

1、2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：B我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話(huà)

2、）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名廣日期：2011年9月12日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置和調(diào)度摘要“有困難找警察”，是家喻戶(hù)曉的一句流行語(yǔ)。警察肩負(fù)著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實(shí)施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)。本文通過(guò)定性與

3、定量分析、建立優(yōu)化模型，為交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置和調(diào)度提供參考。在第一個(gè)問(wèn)題中，選擇Dijkstra最短路徑算法，利用Matlab軟件，先根據(jù)城區(qū)A交通路口的路線(xiàn)，求出表示各節(jié)點(diǎn)之間是否直接相連的0-1矩陣，然后根據(jù)城區(qū)A各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求出城區(qū)A各節(jié)點(diǎn)距離的權(quán)值矩陣(若兩節(jié)點(diǎn)內(nèi)無(wú)路則權(quán)值為無(wú)窮大)，接著把權(quán)值矩陣化為最短距離矩陣。根據(jù)需要變化最短距離矩陣，建立0-1規(guī)劃模型，目標(biāo)是使得出警時(shí)間最短(轉(zhuǎn)化為出警距離最短計(jì)算)，列出最優(yōu)化方程，最后利用Lingo軟件進(jìn)行求解，得出服務(wù)平臺(tái)管轄路口節(jié)點(diǎn)以及堵截路口的最合理方案。綜合考慮交巡警服務(wù)平臺(tái)的發(fā)案率和出警時(shí)間，采用動(dòng)態(tài)加權(quán)平均的方法算出各個(gè)交巡警服

4、務(wù)平臺(tái)的忙碌值。然后進(jìn)行排名。取大于平均值的前九名，在城區(qū)A增加25個(gè)服務(wù)平臺(tái)時(shí)，綜合這些節(jié)點(diǎn)周?chē)煌ü?jié)點(diǎn)的密集程度，決定在A區(qū)增加三個(gè)服務(wù)平臺(tái)，分別為A20附近的節(jié)點(diǎn)90(440.5,381.5),A1、A2和A3區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)67(401,359),A4和A5區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)56(354,374)。在第二個(gè)問(wèn)題中，首先對(duì)各城區(qū)現(xiàn)有平臺(tái)設(shè)置的合理性進(jìn)行評(píng)估。引入負(fù)荷距離法、方差分析法，求得方差、偏差距離、單位平臺(tái)處理案件數(shù)等參數(shù)，得出結(jié)論：城區(qū)C、F服務(wù)平臺(tái)的負(fù)擔(dān)太大，而且警力配置不均勻；城區(qū)D、E服務(wù)平臺(tái)的地理分布與發(fā)案的地理分布相差較大，不能及時(shí)趕到發(fā)案地點(diǎn)。再針對(duì)各個(gè)地區(qū)的不同情況（人口、面

5、積、發(fā)案率、平臺(tái)分布疏密程度），經(jīng)過(guò)科學(xué)分析，得出方案為：C區(qū)增加節(jié)點(diǎn)305（200，487）、節(jié)點(diǎn)300（206，507）、節(jié)點(diǎn)207（333，511）為三個(gè)新服務(wù)平臺(tái)，F(xiàn)區(qū)增加節(jié)點(diǎn)506（358，195）、節(jié)點(diǎn)522（371,244）為兩個(gè)新的服務(wù)平臺(tái)；D區(qū)中位于坐標(biāo)為（70,377）的服務(wù)平臺(tái)D3移動(dòng)到節(jié)點(diǎn)360（76.355）,E區(qū)中位于坐標(biāo)為（90,198）的服務(wù)平臺(tái)E15移動(dòng)到節(jié)點(diǎn)422（74,198）。最后通過(guò)比較調(diào)度前后的該城區(qū)的偏差距離、方差、單位平臺(tái)處理按鍵數(shù)的變化，評(píng)估解決方案的合理性。在圍堵犯罪嫌疑人的時(shí)候，采用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，以三分鐘為一個(gè)層次，結(jié)合概率知識(shí)。無(wú)論他選

6、擇從哪條路出城，得出的圍堵方案都能在報(bào)警后六分鐘之內(nèi)抓住犯罪嫌疑人。具體方案為：第一個(gè)三分鐘出動(dòng)服務(wù)平臺(tái)A5、A6、A10、A15>A16、A2、AaA4、A17、C&C6C4、C7和F1,分別派往節(jié)點(diǎn)5、6、10、15、16、3、55、60、41、232、244、240、242、561進(jìn)行圍堵。第二個(gè)三分鐘出動(dòng)服務(wù)平臺(tái)C2、C&D1和D2,分別派往節(jié)點(diǎn)248、168、349、369進(jìn)行圍堵。如果第一個(gè)三分鐘時(shí)已經(jīng)圍堵到了犯罪嫌疑人，那就不用出動(dòng)第二個(gè)三分鐘的四個(gè)平臺(tái)，可以節(jié)省警力，而且能確保抓住犯罪嫌疑人。關(guān)鍵字：Dijkstra最短路徑算法0-1規(guī)劃負(fù)荷距離法方差樹(shù)狀

7、圖1.問(wèn)題的重述“有困難找警察”，是家喻戶(hù)曉的一句流行語(yǔ)。警察肩負(fù)著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實(shí)施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)。每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的職能和警力配備基本相同。由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實(shí)際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)、分配各平臺(tái)的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門(mén)面臨的一個(gè)實(shí)際課題。以給出的條件為例，一共有五個(gè)問(wèn)題需要解決。問(wèn)題一：為各交巡警服務(wù)平臺(tái)分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時(shí)，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車(chē)的時(shí)速為60km/h）到達(dá)事發(fā)地。問(wèn)題二：對(duì)于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度

8、全區(qū)20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的警力資源，對(duì)進(jìn)出該區(qū)的13條交通要道實(shí)現(xiàn)快速全封鎖。實(shí)際中一個(gè)平臺(tái)的警力最多封鎖一個(gè)路口，請(qǐng)給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺(tái)警力合理的調(diào)度方案。問(wèn)題三：根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)的工作量不均衡和有些地方出警時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的實(shí)際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個(gè)平臺(tái)，請(qǐng)確定需要增加平臺(tái)的具體個(gè)數(shù)和位置。問(wèn)題四：針對(duì)全市（主城六區(qū)A,B,C,D,E,F）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺(tái)的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置方案（參見(jiàn)附件）的合理性。如果有明顯不合理，請(qǐng)給出解決方案。問(wèn)題五：如果該市地點(diǎn)P（第32個(gè)節(jié)點(diǎn)）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報(bào)警，犯罪嫌疑人已駕車(chē)逃跑

9、。為了快速搜捕嫌疑犯，請(qǐng)給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺(tái)警力資源的最佳圍堵方案。2 .模型的假設(shè)（ 1）交通路口之間的路線(xiàn)都是直線(xiàn)；（ 2）每條路都是雙向的；（ 3）每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的警力相當(dāng)；（ 4）每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)出警速度均為60km/h，不存在堵車(chē)等現(xiàn)象；5）每個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)最多只能封鎖一個(gè)路口；6）犯罪嫌疑人對(duì)逃跑路線(xiàn)的選擇是隨機(jī)的；7）犯罪嫌疑人逃跑時(shí)所行路線(xiàn)不會(huì)重復(fù)；8）犯罪嫌疑人最終目的為逃出該市，不會(huì)在城區(qū)內(nèi)躲藏；9）犯罪嫌疑人行車(chē)速度與警車(chē)速度一致，同為60km/h；10）警方通訊時(shí)間忽略不計(jì)。3 .模型的符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義節(jié)點(diǎn)i的忙碌值案發(fā)地理重心的橫坐標(biāo)案發(fā)地理重心的縱坐標(biāo)

10、偏差距離從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的權(quán)值城區(qū)A每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離矩陣參考附件2全市交通路口節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)Di的橫坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)Di的縱坐標(biāo)城區(qū)A出入口節(jié)點(diǎn)與20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)的最短距離矩陣節(jié)點(diǎn)Di到節(jié)點(diǎn)Dj的距離平臺(tái)地理重心的橫坐標(biāo)平臺(tái)地理重心的縱坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)i的出警時(shí)間城區(qū)各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差節(jié)點(diǎn)i的案發(fā)率i城區(qū)A各節(jié)點(diǎn)距離的權(quán)值矩陣平臺(tái)i是否管轄節(jié)點(diǎn)j（是則為1，否則為0）平臺(tái)i是否負(fù)責(zé)堵截節(jié)點(diǎn)j（是則為1，否則為0）4 .對(duì)問(wèn)題的分析問(wèn)題一中，我們首先明確最后得出的結(jié)果是城區(qū)A內(nèi)20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)與交通路口的路線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。路線(xiàn)即兩個(gè)路口節(jié)點(diǎn)之間的部分，所以我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求各交巡警

11、服務(wù)平臺(tái)與路口節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則服務(wù)平臺(tái)管理從平臺(tái)到該節(jié)點(diǎn)的最短路徑。對(duì)Matlab對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，用傳統(tǒng)的Dijkstra最短路徑算法求出城區(qū)A每?jī)蓚€(gè)路口節(jié)點(diǎn)的最短路徑的距離。然后運(yùn)用線(xiàn)性0-1規(guī)劃模型，列出優(yōu)化方程，用Lingo軟件進(jìn)行求解。問(wèn)題二中，可以參考對(duì)問(wèn)題一的分析，最后得出結(jié)果應(yīng)為城區(qū)A內(nèi)20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)與13個(gè)出入市區(qū)的路口的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于一個(gè)平臺(tái)的警力最多封鎖一個(gè)路口，也就是每個(gè)路口必須指派一個(gè)平臺(tái)的警力，屬于指派問(wèn)題，可以用匈牙利算法解決。匈牙利算法是0-1整數(shù)規(guī)劃的特殊形式，所以可以列出優(yōu)化方程用Lingo軟件求解。問(wèn)題三中，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)各個(gè)交警服務(wù)平臺(tái)的工作量和出警

12、時(shí)間，可以看出有的服務(wù)平臺(tái)的工作量比較大，而有的服務(wù)平臺(tái)出警時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。為了有一個(gè)統(tǒng)一的評(píng)價(jià)，我們對(duì)工作量和出警時(shí)間做了動(dòng)態(tài)加權(quán)平均，建立出綜合評(píng)價(jià)模型。然后對(duì)服務(wù)平臺(tái)排名，排在前幾名的就是工作量和出警時(shí)間相對(duì)較大和較長(zhǎng)的。所以我們就應(yīng)該在這些服務(wù)平臺(tái)周?chē)鲈O(shè)服務(wù)平臺(tái)。問(wèn)題四中，從三個(gè)角度評(píng)估平臺(tái)分布的合理性。第一個(gè)角度考慮到警察肩負(fù)著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能，希望服務(wù)平臺(tái)盡量與相應(yīng)案發(fā)地點(diǎn)的距離達(dá)到最小。這里我們參考負(fù)荷距離法，引入“平臺(tái)地理重心”和“案發(fā)地理重心”兩個(gè)自定義概念，兩者分別代表平臺(tái)分布位置與案發(fā)地點(diǎn)分布位置，以這兩個(gè)重心之間的距離（稱(chēng)為“偏差距離”）為評(píng)價(jià)

13、標(biāo)準(zhǔn)，距離越小，則該地的平臺(tái)分布越合理。分別求出六城區(qū)的偏差距離，并結(jié)合各城區(qū)的面積與人口，進(jìn)行討論、評(píng)估。第二個(gè)角度通過(guò)求解每一個(gè)城區(qū)各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差，然后比較各城區(qū)之間的方差，方差越大表示該區(qū)警力分配越懸殊，以此評(píng)估服務(wù)平臺(tái)分布的合理性。第三個(gè)角度簡(jiǎn)單地比較各城區(qū)單位平臺(tái)處理案件數(shù)，然后判斷那些城區(qū)警力資源緊張，需要增設(shè)服務(wù)平臺(tái)。最后綜合以上三個(gè)角度，作出相應(yīng)的對(duì)策。5 .模型的建立與求解求解的過(guò)程分為三部分。第一部分是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，作出求解時(shí)可以直接使用的數(shù)據(jù)表格。第二部分是針對(duì)問(wèn)題的分析建立模型，得出優(yōu)化方程。第三部分利用軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，得出最終結(jié)果。5.1 問(wèn)題

14、一5.1.1 數(shù)據(jù)的處理首先從附件2提取三部分的數(shù)據(jù)：1、城區(qū)A各路口節(jié)點(diǎn)（共92個(gè)）橫縱坐標(biāo)；2、涉及城區(qū)A路口節(jié)點(diǎn)的路線(xiàn)；3、20個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)對(duì)應(yīng)的路口節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，根據(jù)92個(gè)路口節(jié)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，制作每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離的矩陣。如果兩節(jié)點(diǎn)之間沒(méi)有路可以貫通則用表示，得出矩陣Wdj為矩陣W中的元素，fij為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的距離，則有：將該賦權(quán)圖的權(quán)值矩陣W輸入，按照Dijkstra方法，反復(fù)使用迭代公式：di(jk)mindi(jk1),di(kk1)+d(kjk1)，i,j,k1,2,.,n就可以得到最終結(jié)果D(n)。D(n)即為最短距離矩陣，每個(gè)數(shù)值都代表兩點(diǎn)之間最短路徑的距

15、離。這個(gè)過(guò)程由Matlab軟件實(shí)現(xiàn)，具體算法參考附錄1.然后得出服務(wù)平臺(tái)與城區(qū)A各路線(xiàn)節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)最短距離矩陣D。5.1.2模型的建立目標(biāo)為讓交巡警從服務(wù)平臺(tái)到每一個(gè)路口節(jié)點(diǎn)的總距離最小，然后還要滿(mǎn)足每個(gè)結(jié)點(diǎn)只需要一個(gè)交巡警服務(wù)平臺(tái)負(fù)責(zé)。運(yùn)用線(xiàn)性0-1規(guī)劃模型，如果服務(wù)平臺(tái)位于i的交巡警負(fù)責(zé)j點(diǎn)，則記xij為1，否則為0.再結(jié)合5.1.1中得到的最短距離矩陣D,可以得出如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：2092minDijxij(1)i1j1s.t.20xij1,j1,2,.,n;(2)i1xij0或1，i,j1,2,.n;(3)根據(jù)題意，交巡警服務(wù)平臺(tái)所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時(shí)，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警(警車(chē)

16、的時(shí)速為60km/h)到達(dá)事發(fā)地，那么當(dāng)事發(fā)地點(diǎn)利服務(wù)平臺(tái)的距離在：603千米60以?xún)?nèi)的情況下才可以滿(mǎn)足條件。又知地圖距離和實(shí)際距離的比例是1:100000,即1毫米對(duì)應(yīng)100米，則有：D(i,j)x(i,j)30i,j1,2,n;5.1.3 模型的求解將以上數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，將程序輸入Lingo軟件求解。具體程序參考附錄2,求解結(jié)果如下(僅保留非零變量)，見(jiàn)表1。表1城區(qū)A各交巡警平臺(tái)的管轄范圍交巡警平臺(tái)編號(hào)管轄范圍編號(hào)A11,67,68,69,71,73,74,75,76,78A22,39,40,43,44,70,72A33,54,55,65,66A44,57,60,62,63,6

17、4A55,49,50,51,52,53,56,58,59A66A77,30,32,47,48,61A88,33,46A99,31,34,35,45A1010A1111,26,27A1212,25A1313,21,22,23,24A1414A1515,28,29A1616,36,37,38A1717,41,42A1818,80,81,82,83A1919,77,79A2020,84,85,86,87,88,89,90,91,925.2問(wèn)題二5.2.1數(shù)據(jù)的處理參考附件2全市出入口的位置中出入A的路口標(biāo)號(hào)（一共13個(gè)交通節(jié)點(diǎn)），以及5.1.1中得到的最短距離矩陣D,取出在A城區(qū)內(nèi)出口節(jié)點(diǎn)與20個(gè)交

18、巡警服務(wù)平臺(tái)相對(duì)應(yīng)的最短距離矩陣E。5.2.2 模型的建立用0-1規(guī)劃模型，目標(biāo)是讓交巡警以最短的時(shí)間到達(dá)封鎖點(diǎn)。因?yàn)榻谎簿俣仁且欢ǖ模愿鶕?jù)：其中s為距離，v為速度，t為時(shí)間。則求得距離最小的情況即為最優(yōu)解。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：1320minEj丫卜i1j1s.t.20yj1,i1,2,.,n,j113yj1,j1,2,.,n,xij0或1，i,j1,2,.n,(8)5.2.3模型的求解用Lingo軟件編程(程序參考附錄3)，運(yùn)行求解，得出一下結(jié)果，見(jiàn)表2表2A區(qū)出口與對(duì)應(yīng)的封鎖平臺(tái)序號(hào)出入A區(qū)的路口標(biāo)號(hào)負(fù)責(zé)交巡警平臺(tái)編號(hào)112A12214A9316A16421A14522A10623A13

19、724A11828A15929A81030A71138A21248A51362A4說(shuō)明：交巡警服務(wù)平臺(tái)A14雖然離交通節(jié)點(diǎn)14最近，但為了使全局最優(yōu)，我們選擇了讓平臺(tái)A14去封鎖更遠(yuǎn)一些的交通節(jié)點(diǎn)21,服務(wù)平臺(tái)A13到交通節(jié)點(diǎn)22和23的距離都比較近，但由于一個(gè)服務(wù)平臺(tái)最多只能封鎖一個(gè)路口所以選擇了A13去封鎖較遠(yuǎn)的交通節(jié)點(diǎn)23。5.3 問(wèn)題三首先根據(jù)問(wèn)題一求出的20個(gè)服務(wù)平臺(tái)的分布范圍和題目附表中的各個(gè)點(diǎn)的發(fā)案率，求出每個(gè)服務(wù)平臺(tái)每天的工作量，即所管轄的范圍內(nèi)的發(fā)案率之和，見(jiàn)表3。然后再根據(jù)每個(gè)服務(wù)平臺(tái)跟它所管轄的交通節(jié)點(diǎn)的距離之和求出每個(gè)平臺(tái)的出警時(shí)間，因?yàn)樗俣纫欢?，可以用距離表示時(shí)間的長(zhǎng)

20、短，見(jiàn)表3表3平臺(tái)的案發(fā)率與出警時(shí)間平臺(tái)序號(hào)發(fā)案率出警時(shí)間110.389.7691829.798.1174735.669.0096346.669.2448959.7113.145562.5079.684.842998517.5770198.240.77558101.60114.625.4330312417.88854138.564.99225142.50154.8104.523716551.32331175.318.34886186.130.94912193.414.320992011.5121.93685.3.2模型的建立和求解(1)確定增加平臺(tái)的個(gè)數(shù)首先對(duì)發(fā)案率和出警時(shí)間進(jìn)行動(dòng)態(tài)加權(quán)平均。

21、對(duì)于一個(gè)服務(wù)平臺(tái)來(lái)說(shuō)工作量大要比出警時(shí)間長(zhǎng)更重要，更能影響服務(wù)平臺(tái)的工作效率。所以我們將工作量的權(quán)重定為0.6,出警時(shí)間的權(quán)重定為0.4。計(jì)算他們的忙碌值Bi0計(jì)算公式為：Bi0.6Vi0.4pti,i1,2,20;計(jì)算出他們的綜合排名，如表4所示。表4各服務(wù)平臺(tái)的忙碌值和排名A10平A1A2A3A4A5A6A7A8A9碌 42.08 45.06 30.96 31.65 51.071.5039.69 10.03 21.230.962186151120值排5397名平A11A12A13A14A15A16A17A18A19A20臺(tái)忙碌12.939.5531.091.5044.6823.5210.5

22、116.037.76855.67值排13168194101412171名我們由表4可以知道，交巡警服務(wù)平臺(tái)A2aA5、A2、A15>A1、A4、A7、A13、A3這些點(diǎn)是排名靠前的，所以擬定在這些點(diǎn)周?chē)黾悠脚_(tái)。我們將這些點(diǎn)表示在圖1上，我們?cè)黾拥钠脚_(tái)最好能減輕至少一個(gè)點(diǎn)的工作量和出警時(shí)間，所以我們將這些點(diǎn)分為六個(gè)區(qū)域。圖1A區(qū)的交通節(jié)點(diǎn)與平臺(tái)設(shè)置示意圖由圖1可知，我們可將排名靠錢(qián)的點(diǎn)分為幾個(gè)區(qū)域，A20與其所管轄的范圍為第一個(gè)區(qū)域，A1、A2和A3及其他們管轄范圍為第二個(gè)區(qū)域，A4和A5及其管轄范圍為第三個(gè)區(qū)域，A15為第四個(gè)區(qū)域，A7為第五個(gè)區(qū)域，A13為地六個(gè)區(qū)域。再綜合來(lái)看A15

23、雖然排名靠前，但由于它管轄的區(qū)域節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，而且發(fā)案率比較低，所有在其周?chē)黾臃?wù)平臺(tái)成本高。A7、和A13的排名比較靠后，管轄的范圍也不是很大，所以決定也不再在這兩個(gè)區(qū)域增加平臺(tái)。所以為了盡量減少成本，而且使忙碌值盡量小，所以決定只在A區(qū)增加三個(gè)平臺(tái)最好。(2)確定增加平臺(tái)的位置要確定增加的平臺(tái)的位置，我們采用重心法。重心法是一種選擇銷(xiāo)售中心位置，從而使銷(xiāo)售成本降低的方法。它把銷(xiāo)售成本看成運(yùn)輸距離和運(yùn)輸數(shù)量的線(xiàn)形函數(shù)。此種方法利用地圖確定各點(diǎn)的位置，并將一坐標(biāo)重疊在地圖上確定各點(diǎn)的位置。這里采用這種方法給交巡警服務(wù)平臺(tái)選址。這里用A20管轄的第一個(gè)區(qū)域?yàn)槔瑢?0,84,85,86,87,8

24、8,89,90,91,92的節(jié)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)(Dix,Diy)以及案發(fā)率(M),使用公式：CxDixVVi(9)CyDiyVVi(10)可以得出重點(diǎn)坐標(biāo)(Cx,Cy)為(443.287,385.1261),同理可得另外兩個(gè)區(qū)域的重點(diǎn)為：(400.0391,351.3574)、(360.6503,377.5613)。然后我們?cè)僭谕局袑ふ译x這三個(gè)重心較近且能分擔(dān)工作量和出警時(shí)間的交通節(jié)點(diǎn)，即為我們要求的增加的平臺(tái)的位置A20附近的節(jié)點(diǎn)90(440.5,381.5),A1、A2和A3區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)67(401,359),A4和A5區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)56(354,374)05.4 問(wèn)題四5.4.1 負(fù)荷距離法分

25、析5.4.1.1 模型的引入首先講述負(fù)荷距離法的基本思想。單一設(shè)施選址中要用到多種分析方法：定性與定量分析方法，以即將定量與定性分析相結(jié)合的選址度量法等方法。負(fù)荷距離法就是一種單一設(shè)施選址的方法。負(fù)荷距離法(load-distancemethod)的目標(biāo)是在若干個(gè)候選方案中，選定一個(gè)目標(biāo)方案，他可以使總負(fù)荷(貨物、人或其他)移動(dòng)的距離最小。我們首先定義“平臺(tái)地理重心”，它是一個(gè)城區(qū)所有交巡警服務(wù)平臺(tái)所在節(jié)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別取其平均值得到的一個(gè)坐標(biāo)，它代表該城區(qū)服務(wù)平臺(tái)的平均位置。然后我們參考負(fù)荷距離法以及加權(quán)平均法，定義”案發(fā)地理重心”。在一個(gè)城區(qū)中，以各個(gè)路線(xiàn)節(jié)點(diǎn)的案發(fā)率為權(quán)數(shù)，對(duì)該城區(qū)所有

26、路線(xiàn)節(jié)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均，得到一個(gè)坐標(biāo)，它代表該城區(qū)發(fā)案的平均位置。最后我們求得城區(qū)內(nèi)平臺(tái)地理重心與案發(fā)地理重心的絕對(duì)距離，以該距離的大小評(píng)價(jià)現(xiàn)有各城區(qū)交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置方案的合理性。5.4.1.2 模型的建立與求解對(duì)于任意一個(gè)城區(qū)內(nèi)任意一路線(xiàn)節(jié)點(diǎn)D4i1,2,.,582）,它的重點(diǎn)坐標(biāo)為（Cx,Cy）c直接引用公式（9）、（10）。其中M為Di節(jié)點(diǎn)的案發(fā)率，所求得的坐標(biāo)（Cx,Cy）為案發(fā)地理重心。對(duì)于一個(gè)共有n個(gè)服務(wù)平臺(tái)的城區(qū)內(nèi)，平臺(tái)節(jié)點(diǎn)Bi（i=1.n），它的重點(diǎn)坐標(biāo)為（Gx,Gy）。GxBixn(11)GyBiy 一(12)所求得的坐標(biāo)為平臺(tái)地理重心各區(qū)的偏差距離d.(GxCx

27、)2(GyCy)2.根據(jù)上述計(jì)算方法，可以得出如下表格:表5各城區(qū)平臺(tái)地理重心與案發(fā)地理重心分布情況城區(qū)平臺(tái)地理重心案發(fā)地理重心偏差距A341.40344.40B150.3196.44C269.47438.82D61.00353.33E187.57206.33F388.59272.91352.01348.4311.35154.31101.366.35257.51442.2912.4572.36338.4218.75174.54207.3513.06379.88267.1910.425.4.1.3 模型的評(píng)價(jià)根據(jù)表格，理論上時(shí)希望所有的服務(wù)平臺(tái)都向特定的方向（從平臺(tái)地理重心到案發(fā)地理重心的方向）

28、都移動(dòng)相應(yīng)的偏差距離。但是由于實(shí)際再該處不一定有節(jié)點(diǎn)，而且落實(shí)到局部不一定適用。該模型給移動(dòng)平臺(tái)的方向與距離提供一定的參考。5.4.2 城區(qū)內(nèi)各服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)方差的分析5.4.2.1 模型的建立在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)隨機(jī)變量的方差描述的是它的離散程度，也就是該變量離其期望值的距離。在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)隨機(jī)變量的方差描述的是它的離散程度，也就是該變量離其期望值的距離。首先明確目標(biāo)是求每一個(gè)城區(qū)各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差，并把它們的方差進(jìn)行比較，對(duì)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺(tái)設(shè)置方案的合理性進(jìn)行評(píng)價(jià)。這里以城區(qū)A為例：參考城區(qū)A各交巡警平臺(tái)的管轄范圍（表1）,將每個(gè)服務(wù)平臺(tái)（A1-A20）平均每

29、日處理案件總數(shù)目作出統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表6所示。表 6 城區(qū) A 各交巡警服務(wù)平臺(tái)每日處理案件數(shù)量交巡警平臺(tái)序號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16A17A18A19平均每日處理案件數(shù)量10.39.15.66.69.72.59.658.21.64.648.52.54.855.36.13.4然后求出所有服務(wù)平臺(tái)平均每日處理案件總數(shù)目的方差，結(jié)果為：7.8185用同樣的方法得出城區(qū)BF各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差S2,得出如下表格：表7各城區(qū)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差城區(qū)ABCDEF7.818513.532530.328811.346716.886424.2802

30、1.1.1.1 模型的評(píng)價(jià)這里所求的城區(qū)各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差，它代表一個(gè)城區(qū)內(nèi)所有服務(wù)平臺(tái)處理案件數(shù)目的離散程度，這個(gè)方差值越大，則代表這個(gè)城區(qū)的警力分配不均衡，應(yīng)該進(jìn)行調(diào)配。如圖我們看到城區(qū)C、F的S2值很大，說(shuō)明這兩個(gè)城區(qū)有的服務(wù)平臺(tái)過(guò)于繁忙，有的服務(wù)平臺(tái)則有資源閑置的情況發(fā)生。應(yīng)該對(duì)這些地區(qū)的服務(wù)平臺(tái)進(jìn)行調(diào)整。5.4.3 城區(qū)情況綜合分析5.4.3.1 模型的建立與評(píng)價(jià)參考附件2全市交通路口節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)與六城區(qū)的基本數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)各區(qū)人口密度、平臺(tái)個(gè)數(shù)、總案發(fā)率并求出單位平臺(tái)處理案件數(shù)，作出聯(lián)合表格如下：表8各城區(qū)案發(fā)情況全市六個(gè)城區(qū)各區(qū)平臺(tái)個(gè)單位人口密度發(fā)案率單位平臺(tái)處理案件數(shù)2012

31、4.56.2258.366.4CDEF1791511187.211.0117647167.8119.47.96109.2根據(jù)表格數(shù)據(jù)我們得知，一個(gè)地區(qū)的發(fā)案率與該地人口密度呈正相關(guān)關(guān)系。而發(fā)案率高的城區(qū)我們應(yīng)該分配更多的警力。由各城區(qū)單位平臺(tái)處理案件數(shù)我們可以得知C、F城區(qū)的服務(wù)平臺(tái)工作量過(guò)大，而A城區(qū)則偏小，可以將A城區(qū)一部分警力分配到警力不足的城區(qū)。5.4.4 解決方案及其評(píng)價(jià)根據(jù)5.4.1、5.4.2以及5.4.3的分析，可以看出C區(qū)、F區(qū)服務(wù)平臺(tái)負(fù)擔(dān)過(guò)重，并且存在警力分配不均衡的現(xiàn)象，應(yīng)該相應(yīng)增加平臺(tái)個(gè)數(shù)進(jìn)行調(diào)整；D區(qū)、E區(qū)的偏差距離過(guò)大，應(yīng)該相應(yīng)調(diào)整服務(wù)平臺(tái)的位置，使偏差距離降低。5

32、.4.4.1 增加平臺(tái)的方案這里參考問(wèn)題三在A區(qū)增設(shè)點(diǎn)解決方法與附錄1中全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖，并遵循以下兩個(gè)原則：1.盡量在服務(wù)平臺(tái)分布比較稀疏的區(qū)域；2.盡量在負(fù)擔(dān)大的服務(wù)平臺(tái)附近的區(qū)域。最后我們定出C區(qū)增加節(jié)點(diǎn)305（200，487）、節(jié)點(diǎn)300（206，507）、節(jié)點(diǎn)207（333，511）三個(gè)服務(wù)平臺(tái)，F(xiàn)區(qū)增加節(jié)點(diǎn)506（358，195）、節(jié)點(diǎn)522（371，244）兩個(gè)服務(wù)平臺(tái)。我們用各服務(wù)平臺(tái)處理案件數(shù)目的平均數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)這個(gè)解決方案。服務(wù)平臺(tái)增加后，C區(qū)與F區(qū)單位平臺(tái)處理案件數(shù)分別為9.36、8.4，比原來(lái)的11.01176471、要小，更接近平均水平，有效減輕服務(wù)平臺(tái)

33、負(fù)擔(dān)。而C區(qū)與F區(qū)各個(gè)服務(wù)平臺(tái)案件處理數(shù)的方差變?yōu)?7.5594、12.1292，相比原來(lái)的30.3288、24.2802有顯著的降低。也就是說(shuō)增加了以上服務(wù)平臺(tái)后，城區(qū)C、F警力分配更加平均，平臺(tái)負(fù)擔(dān)不均衡的現(xiàn)象得到改善。5.4.4.2 移動(dòng)平臺(tái)的方案根據(jù)偏差的距離與方向，我們把相應(yīng)的點(diǎn)都移動(dòng)，結(jié)合實(shí)際情況，參考與附錄1中全市六區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)與平臺(tái)設(shè)置的示意圖，把平臺(tái)設(shè)在服務(wù)平臺(tái)稀疏的區(qū)域。最后決定：D區(qū)中位于(70,377)的服務(wù)平臺(tái)D3移動(dòng)到節(jié)點(diǎn)360(76.355),E區(qū)中位于(90,198)的服務(wù)平臺(tái)E15移動(dòng)到節(jié)點(diǎn)442(74,198)。移動(dòng)后，D區(qū)與E區(qū)的偏差距離從18.75、13.

34、06分別變?yōu)?6.43、12,說(shuō)明服務(wù)平臺(tái)更接近于案發(fā)的地點(diǎn)。5.5問(wèn)題五5.5.1 模型的建立問(wèn)題五是一個(gè)圍堵問(wèn)題，各節(jié)點(diǎn)間形成復(fù)雜的道路網(wǎng)絡(luò)，還要考慮時(shí)間問(wèn)題。所以我們決定用樹(shù)狀圖的方法，再加上各個(gè)節(jié)點(diǎn)到P32的距離，就可以得出最佳圍堵方案。我們利用三分鐘時(shí)段來(lái)考慮我們圍堵的方案。我們采用樹(shù)狀圖來(lái)描述犯罪嫌疑人的逃跑路線(xiàn)。我們還要結(jié)合犯罪嫌疑人的時(shí)間來(lái)看。我們用樹(shù)狀圖表示出犯罪嫌疑人在A區(qū)、C區(qū)、D區(qū)和F區(qū)的逃跑路線(xiàn)示意圖。見(jiàn)圖2和圖三。說(shuō)明：(1)圖中的直線(xiàn)長(zhǎng)度只表示方向，不表示路程的長(zhǎng)度，具體的按到P32的最短距離見(jiàn)附錄4.(2)由于犯罪嫌疑人逃到D區(qū)和F區(qū)的路線(xiàn)比較少，就把他們兩的路

35、線(xiàn)示意圖融合到A區(qū)的圖中區(qū)了末尾節(jié)點(diǎn)均是可能 最后被圍堵的點(diǎn)41F區(qū) 561圖2在A區(qū)D區(qū)和F區(qū)可能逃跑的路線(xiàn)32第一、當(dāng)犯罪嫌疑人先逃跑三分鐘他途經(jīng)的距離為3kmi他可能已經(jīng)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為7、33、31、30、47、34、8、46、9、45、36、48。三分鐘后接到命令，立即進(jìn)行道路封鎖和圍堵，每個(gè)平臺(tái)封鎖一個(gè)節(jié)點(diǎn)，三分鐘時(shí)可以立即封鎖的路口為交巡警服務(wù)平臺(tái)（A5,5）、（A6,6）、（A10,10）、（A15,15）、（A16,16）o這些路線(xiàn)圍堵到犯罪嫌疑人的概率為0.50。而且此時(shí)犯罪嫌疑人從A區(qū)逃到E區(qū)和B區(qū)的路線(xiàn)全都被封鎖，大大縮小了搜捕范圍。我們已經(jīng)封鎖了的點(diǎn)在樹(shù)狀圖中就不用在考慮了

36、。因?yàn)榉?wù)平臺(tái)到達(dá)交通節(jié)點(diǎn)的時(shí)間為三分鐘左右，所以我們就以三分鐘為一個(gè)時(shí)間段考慮嫌疑犯逃跑的距離。第二、當(dāng)犯罪嫌疑人逃跑六分鐘時(shí)他途經(jīng)的距離為6kmi可能到達(dá)的節(jié)點(diǎn)為圖中的55、61、237等。在A區(qū)交巡警在這三分中內(nèi)可以封鎖的交通節(jié)點(diǎn)為A區(qū)（A2:3）、（A3:55）、（A4:60）、（A17:41）,C區(qū)（C8:232）、（C6:244）和D區(qū)（D1:349）。此時(shí)圍堵到犯罪嫌疑人的概率為0.62。同時(shí)還有正在趕去圍堵的服務(wù)平臺(tái)有A區(qū)的（A1,40）、（A19:4）,C區(qū)的（C2:248）、（C3：168）、（C4：240）、（C5：273）（C7：242）、，D區(qū)的（D2：369），F(xiàn)區(qū)

37、的（F1：561）。第三、當(dāng)犯罪嫌疑人逃跑九分鐘時(shí)他途經(jīng)的距離為9kmi可能達(dá)到的節(jié)點(diǎn)為圖中的38、39、244等。在A區(qū)交巡警能在三分鐘到六分鐘成功封鎖的交通節(jié)點(diǎn)為（A1:40）、（A19:4）,C區(qū)的（C2:248）（C3:168）、（C4:240）,（D2:369）和（F1:561）。此時(shí)犯罪嫌疑人從A區(qū)逃到D區(qū)和F區(qū)的路線(xiàn)也全都封鎖了，范圍就更小了。而且此時(shí)在A區(qū)內(nèi)所有可能的逃跑路都已經(jīng)成功圍堵。此時(shí)成功圍堵到的概率為1.5.5.2方案的改進(jìn)對(duì)于上面的方案因?yàn)榇嬖陔S機(jī)性。因?yàn)楦鱾€(gè)服務(wù)平臺(tái)和發(fā)出命令的總部是一直保持聯(lián)通，可以隨時(shí)知道是否抓到了犯罪嫌疑人。所以有的服務(wù)平臺(tái)離封鎖節(jié)點(diǎn)近的，且

38、離P32這個(gè)點(diǎn)比較遠(yuǎn)時(shí)，就可以在剛開(kāi)始圍堵的三分鐘不出動(dòng)，只是在服務(wù)平臺(tái)待命，如果三分鐘后沒(méi)有圍堵到犯罪嫌疑人，這些警力再出動(dòng)。第一個(gè)三分鐘出動(dòng)的服務(wù)平臺(tái)（A5：5）、（A6：6）、（A10：10）、（A15：15）、（A16：16）、（A2：3）、（A3：55）、（A4：60）、（A17：41）、（C8：232）、（C6：244）、（C4：240）、（C7：242）和（F1：561）。第二個(gè)三分鐘出動(dòng)的服務(wù)平臺(tái)（C2：248）、（C3：168）、（D1：349）和（D2：369）。6 .模型評(píng)價(jià)與優(yōu)化在問(wèn)題一中，無(wú)法使所有解都滿(mǎn)足在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車(chē)的時(shí)速為60km/h）到達(dá)事發(fā)地，但是

39、路徑已經(jīng)滿(mǎn)足最短，無(wú)法再進(jìn)一步優(yōu)化。但是實(shí)際問(wèn)題中，交巡警是在路段進(jìn)行巡邏的，而不是固定在交巡警服務(wù)平臺(tái)。我們可以讓交巡警盡量分散警力，形成警力網(wǎng)，一旦有一個(gè)地區(qū)發(fā)案，可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)，并通知其他交巡警趕來(lái)。在問(wèn)題三中，權(quán)重的分配可以隨著條件的變化而進(jìn)行修正。在問(wèn)題四中提出的負(fù)荷距離法，當(dāng)兩者重心相距十分近的時(shí)候，案發(fā)地點(diǎn)與服務(wù)平臺(tái)的距離仍然有可能很大。所以還要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析，這種方法的適用性必須結(jié)合實(shí)際才可以使用。在問(wèn)題五中，犯罪嫌疑人行車(chē)速度有可能回比出警速度更快，警方堵截會(huì)更加困難，這個(gè)時(shí)候模型就需要作出調(diào)整。7 .參考文獻(xiàn)1 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M，北京：高等教育出版社，20052 韓中庚，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)撐木x與點(diǎn)評(píng)，北京：科學(xué)出版社，20073 汪小帆，李翔，陳關(guān)榮，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用，北京：清華大學(xué)出版社，2006.44 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），北京：高等教育出版社，19925王海英，圖論算法及其MATLA改現(xiàn)，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，6韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005.67謝金星，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)