重慶--數(shù)學歸納法及應用舉例（鄒安宇）

1、數(shù)學歸納法及應用舉例第一課說課方案重慶市第二十九中學校 鄒安宇一、說教材 （一）教材分析本課是數(shù)學歸納法的第一節(jié)課。前面學生已經通過數(shù)列一章內容和其它相關內容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法它是研究數(shù)學問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹?shù)目茖W的論證方法數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，是促進學生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要環(huán)節(jié)。并且，本節(jié)內容是培養(yǎng)學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體

2、驗數(shù)學內在美的好素材。（二）教學目標學生通過數(shù)列等相關知識的學習。已基本掌握了不完全歸納法，已經有一定的觀察、歸納、猜想能力。通過近幾年教學方法的改革和素質教育的實施，學生已基本習慣于對已給問題的主動探究，但主動提出問題和置疑的習慣還未形成。能主動提出問題和敢于置疑是學生具有獨立人格和創(chuàng)新能力的重要標志。如何讓學生主動置疑和提出問題？本課也想在這方面作一些嘗試。根據(jù)教學內容特點和教學大綱、根據(jù)學生以上實際、根據(jù)學生終身發(fā)展需要而制訂以下教學目標。1.知識目標 （1）了解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一定正確。（2）初步理解數(shù)學歸納法原理。（3）理解和記住用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的兩個步驟。

3、（4）初步會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關的恒等式。2.能力目標（1）通過對數(shù)學歸納法的學習、應用，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。（2）讓學生經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。3.情感目標（1）通過對數(shù)學歸納法原理的探究，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)?、實事求是的科學態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。（2）讓學生通過對數(shù)學歸納法原理的理解，感受數(shù)學內在美的振憾力，從而使學生喜歡數(shù)學。（3）學生通過置疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格與敢于創(chuàng)新精神。（三）教學重難點根據(jù)教學大綱要求、本節(jié)課內容特點和學生現(xiàn)有知識水平，確定如下教學重難點：1.重 點（1

4、）初步理解數(shù)學歸納法的原理。（2）明確用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟。（3）初步會用數(shù)學歸納法證明簡單的與正整數(shù)數(shù)學恒等式。2.難 點（1）對數(shù)學歸納法原理的理解，即理解數(shù)學歸納法證題的嚴密性與有效性。（2）假設的利用，即如何利用假設證明當n=k+1時結論正確。二、說教法本課采用交往式的教學方法。交往教學法的特點是：在教師的組織啟發(fā)下，師生之間、學生之間共同探討，平等交流;既強調獨立思考，又提倡團結合作;既重視教師的組織引導，又強調學生的主體性、主動性、平等性、開放性、合作性。這種教學方法的優(yōu)點是學生心態(tài)開放，主體性和主動性凸現(xiàn)，獨立的個性得到張揚，因而創(chuàng)造性得到解放。三、說學法本課以問題為中

5、心，以解決問題為主線展開，學生主要采用“探究式學習法”進行學習。本課學生的學習主要采用下面的模式進行：觀察情景提出問題分析問題猜想與置疑（結論或解決問題的途徑）論證應用。探究學習法的好處是學生主動參與知識的發(fā)生、發(fā)展過程。學生在探究問題過程中學習，在探究問題的過程中激發(fā)學生的好奇心和創(chuàng)新精神;在探究過程中學習科學研究的方法;在探究過程中形成堅韌不拔的精神。學生掌握了這種學習方法后，對學生終身學習，終身發(fā)展都有積極意義，這就是讓學生學會學習。四、說教學過程主干層次為：創(chuàng)設情景（提出問題）;探索解決問題的方法（建立數(shù)學模型）;方法嘗試（感性認識）;理解升華（理性認識）;方法應用（解決問題）;課堂小

6、結（反饋與提高）。教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規(guī)律，使數(shù)學教學過程成為學生對書本知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。具體過程安排如下：（一）創(chuàng)設問題情景1.情景創(chuàng)設情景一：生活中的實際例子（摸出球的顏色問題）情景二：已知數(shù)列的通項公式，學生分別計算、的值，猜想的值，計算的值。請學生創(chuàng)設一個由有限多個特殊事例得出一般結論的數(shù)學公式。情景三（學生自己創(chuàng)設）：學生共同回顧等差數(shù)列通項公式推導過程： 2.學生觀察、分析以上三個情景，提出與分析問題，得出結論。 3.結論：這些用有限多個特殊事例得出的結論，有的正確，有的不正確。

7、因此不能作為論證的方法。下面教師用教學語言講述：等差數(shù)列的通項公式也是由有限個特殊事例歸納出來的，也可能不正確，一但錯誤，我們已建立的數(shù)列大廈必將倒塌，必須對其進行搶救性證明，如何證明這類有關正整數(shù)的命題呢？（二）探索解決問題的方法1. 多媒體演示多米諾骨牌游戲。師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件： （1）第一塊要倒下; （2）當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下; 當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下。 2.學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學模型）。（1）n取第一個值(例如 )時命題成立;（2）假設 n=k(k)命題成立，利用它證明n=k+1

8、 時命題也成立。 滿足這兩個條件后，命題對一切n均成立。（三）方法嘗試 師生共同用探究出的方法嘗試證明等差數(shù)列通項公式。 其中假設n=k時等式成立，證明n=k+1時等式成立的證明目標和如何利用假設主要由學生完成。 （四）理解升華1.置疑 對上面的證明方法，充分讓學生置疑、提問。2.論證（說理） 師生共同探討數(shù)學歸納法的原理，理解他的嚴密性、合理性。從而由感性認識上升為理性認識。本階段用邏輯推理的形式展開研究：當一個命題滿足上面（1）、（2）兩個條件時時命題成立時命題成立即對一切，命題均成立。讓學生對以上邏輯推理進行充分置疑師生共同探討數(shù)學歸納法的合理性。思考：根據(jù)以上邏輯推理。 條件（1），條

9、件（2）分別起什么作用？ 條件（1），條件（2）為什么缺一不可？3.方法總結： 學生總結用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟：（1）n取初始值 (例如)時命題成立;（2）假設時命題成立，利用它證明時命題也成立。（五）數(shù)學歸納法的應用例 1 用數(shù)學歸納法證明： 本例主要由學生完成，教師適時作必要引導。這樣處理有利于培養(yǎng)學生用所學知識解決問題的能力。 教師主要引導學生參與討論的內容是：1 當時，證明的目標是什么？2 當時，能否這樣證明：時，等式成立根據(jù)時間，練習12個題目（根據(jù)學生學習情況而定，充分體現(xiàn)學生學習的主動性，自主性）備選題目是：用數(shù)學歸納法證明：1. 2.首項是，公比為的等比數(shù)列的通項公式是(六）小結（師生共同完成）1數(shù)學歸納法是科學的證明方法；利用它可以證明一些關于正整數(shù)n的命題。2數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟。3用數(shù)學歸納法證明命題的兩步驟缺一不可。4證明n=k+1命題成立時，