高中數(shù)學(xué)解題36個(gè)大招

1、數(shù)學(xué)破題 36 個(gè)大招目 錄高考數(shù)學(xué)?？紗?wèn)題-大闖關(guān)（36 關(guān)）錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。目 錄1第 1 關(guān)： 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題-對(duì)數(shù)不等式法錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)解題 6 法7第 3 關(guān)： 數(shù)列求和問(wèn)題解題策略 8 法10第 4 關(guān)： 絕對(duì)值不等式解法問(wèn)題7 大類(lèi)型15第 5 關(guān)： 三角函數(shù)最值問(wèn)題解題 9 法22第 6 關(guān)： 求軌跡方程問(wèn)題6 大常用方法28第 7 關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標(biāo)問(wèn)題“考點(diǎn)”面面看41第 8 關(guān)： 均值不等式問(wèn)題拼湊 8 法48第 9 關(guān)： 不等式恒成立問(wèn)題8 種解法探析54第 10 關(guān)： 圓錐曲線最值問(wèn)題5 大方面60第 11 關(guān)： 排列組合應(yīng)用問(wèn)

2、題解題 21 法64第 12 關(guān)： 幾何概型問(wèn)題5 類(lèi)重要題型71第 13 關(guān)： 直線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題4 類(lèi)對(duì)稱(chēng)題型74第 14 關(guān)： 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題4 大解題技巧76第 15 關(guān)： 函數(shù)中易混問(wèn)題11 對(duì)82第 16 關(guān)： 三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題破解“四法”88第 17 關(guān)： 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題“不動(dòng)點(diǎn)”法89第 18 關(guān)： 類(lèi)比推理問(wèn)題高考命題新亮點(diǎn)93第 19 關(guān)： 函數(shù)定義域問(wèn)題知識(shí)大盤(pán)點(diǎn)99第 20 關(guān)： 求函數(shù)值域問(wèn)題7 類(lèi)題型 16 種方法107第 21 關(guān)： 求函數(shù)解析式問(wèn)題7 種求法130第 22 關(guān)：解答立體幾何問(wèn)題5 大數(shù)學(xué)思想方法134第 23 關(guān)： 數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)

3、 9 種求法140第 24 關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題9 種錯(cuò)解剖析152第 25 關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問(wèn)題6 種類(lèi)型155第 26 關(guān)：概率題錯(cuò)解分類(lèi)剖析7 大類(lèi)型162第 27 關(guān)：抽象函數(shù)問(wèn)題分類(lèi)解析165第 28 關(guān)：三次函數(shù)專(zhuān)題全解全析169第 29 關(guān)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題大盤(pán)點(diǎn)181第 30 關(guān)：解析幾何與向量綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)大掃描192第 31 關(guān)：平面向量與三角形四心知識(shí)的交匯193第 32 關(guān)：數(shù)學(xué)解題的“靈魂變奏曲”轉(zhuǎn)化思想197第 33 關(guān)：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解策略209第 34 關(guān)：求離心率取值范圍常見(jiàn) 6 法214第 35 關(guān)：高考數(shù)學(xué)選擇題解題策略217第 36 關(guān)

4、：高考數(shù)學(xué)填空題解題策略228以下只要證明上述函數(shù)不等式即可.以下我們來(lái)看看對(duì)數(shù)不等式的作用.題目 1：（2015 長(zhǎng)春四模題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 A.B.C.D.有極小值點(diǎn)，且【答案】C【解析】函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：有極值點(diǎn)，而極值，A 正確. 有兩個(gè)零點(diǎn)：，即：-得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，而，B 正確，C 錯(cuò)誤而+得：，即 D 成立.題目 2：（2011 遼寧理）已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】原題目有 3 問(wèn)，其中第二問(wèn)為第三問(wèn)的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問(wèn)：設(shè)，則，-得：，化簡(jiǎn)得：而根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：等式代換到上

5、述不等式根據(jù)：（由得出）式變?yōu)椋?，在函?shù)單減區(qū)間中，即：題目 3：(2010 天津理)已知函數(shù).如果，且.證明：.【解析】原題目有 3 問(wèn)，其中第二問(wèn)為第三問(wèn)的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問(wèn)：設(shè)，則，兩邊取對(duì)數(shù)-得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式題目 4：（2014 江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得：-得：，即：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，+得：根據(jù)均值不等式：函數(shù)在單調(diào)遞減由題于與交于不同兩點(diǎn)，易得出則上式簡(jiǎn)化為:第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)解題 6 法求解參數(shù)的取值范圍是一類(lèi)常見(jiàn)題型近年來(lái)在各地的模擬試題以及高

6、考試題中更是屢屢出現(xiàn)學(xué)生遇到這類(lèi)問(wèn)題，較難找到解題的切入點(diǎn)和突破口，下面介紹幾種解決這類(lèi)問(wèn)題的策略和方法一、確定“主元”思想常量與變量是相對(duì)的，一般地，可把已知范圍的那個(gè)看作自變量，另一個(gè)看作常量例 1.對(duì)于滿足 0的一切實(shí)數(shù)，不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范圍分析：習(xí)慣上把 x 當(dāng)作自變量，記函數(shù) y= x2+(p-4)x+3-p,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng) p時(shí) y>0 恒成立，求 x 的范圍解決這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜的若把 x 與 p 兩個(gè)量互換一下角色，即 p 視為變量，x 為常量，則上述問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關(guān)于 p

7、 的一次函數(shù)大于 0 恒成立的問(wèn)題解：設(shè) f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當(dāng) x=1 時(shí)顯然不滿足題意由題設(shè)知當(dāng) 0時(shí) f(p)>0 恒成立，f(0)>0,f(4)>0 即 x2-4x+3>0 且 x2-1>0，解得 x>3 或 x<-1x 的取值范圍為 x>3 或 x<-1二、分離變量對(duì)于一些含參數(shù)的不等式問(wèn)題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行分離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過(guò)求函數(shù)的值域的方法將問(wèn)題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問(wèn)題。例 2若對(duì)于任意角總有成立，求的范圍 分析與解：此式是

8、可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值， 這樣問(wèn)題化歸為怎樣求的最小值 因?yàn)榧磿r(shí)，有最小值為 0，故評(píng)析：一般地,分離變量后有下列幾種情形：f(x)g(k)f(x)ming(k)f(x)> g(k)g(k) < f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)<g(k)f(x) max < g(k) 三、數(shù)形結(jié)合對(duì)于含參數(shù)的不等式問(wèn)題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的例 3設(shè)，若不等式恒成立，求 a 的取值范圍分析與解：若設(shè)函數(shù)，則， 其圖象為上半圓設(shè)函數(shù)，其

9、圖象為直線 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心到直線的距離且時(shí)成立，即 a 的取值范圍為四、分類(lèi)討論當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時(shí)，應(yīng)用分類(lèi)討論的方法來(lái)處理，分類(lèi)討論可使原問(wèn)題中的不確定因素變成確定因素，為問(wèn)題的解決提供新的條件。例 4當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求 a 的取值范圍得解：（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知恒成立，即，而解（2）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知恒成立，即，而解得a 的取值范圍是五、利用判別式當(dāng)問(wèn)題可化為一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立的問(wèn)題，可用判別式來(lái)求解例 5不等式，對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：在 R 上恒成立，R故實(shí)數(shù)的取值范圍是，解得.一般

10、地二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c 恒正，f(x)=ax2+bx+c 恒負(fù).六、構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造出函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的例 6已知不等式對(duì)于一切大于 1 的自然數(shù) 都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：注意到不等式僅僅左邊是與 有關(guān)的式子，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，左邊是關(guān)于 的函數(shù)，要使原不等式成立，即要求這個(gè)函數(shù)的最小值大于右式如何求這個(gè)函數(shù)的最小值呢？這又是一個(gè)非常規(guī)問(wèn)題，應(yīng)該從研究此函數(shù)的單調(diào)性入手解：設(shè),N是關(guān)于N的遞增函數(shù)，則=.要使不等式成立，只須，解之得.實(shí)數(shù)的取值范圍是以上介紹了求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的處理方法，在具體解題中可能要用到兩種或兩種以上的方法，應(yīng)靈活處理第

11、3 關(guān)： 數(shù)列求和問(wèn)題解題策略 8 法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有十分重要的地位，數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列的基本內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。由于數(shù)列求和問(wèn)題題型多樣，技巧性也較強(qiáng)，以致成為數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn)。鑒于此，下面就數(shù)列求和問(wèn)題的常見(jiàn)解題策略作一歸納，供廣大師生參考。 1、公式法求和若所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于 n 的多項(xiàng)式，此時(shí)可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列舉如下：等差數(shù)列求和公式：，等比數(shù)列求和公式：自然數(shù)的方冪和： k3=13+23+33+n3= n2 (n+1)2， k=1+2+3

12、+n= n(n+1)， k2=12+22+32+n2= n(n+1)(2 n+ 1)例 1 已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。解：由題意，是首項(xiàng)為 ，公差為的等差數(shù)列前項(xiàng)和，2、錯(cuò)位相減法求和若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中，中有一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比 q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。它在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)曾用到的方法。例 2 已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；解：當(dāng)時(shí)， 由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積，這時(shí)數(shù)列 的前

13、項(xiàng)和 式兩邊同乘以 ，得式減去式，得若，若，3、反序相加法求和將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個(gè)，Sn 表示從第一項(xiàng)依次到第 n項(xiàng)的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。也稱(chēng)倒寫(xiě)相加法，這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)曾用到的方法.例 3 設(shè)， 利 用 課 本 中 推 導(dǎo) 等 差 數(shù) 列 的 前項(xiàng) 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得的值為： 解：因?yàn)?f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.設(shè) S=f（5）+f（4）+f（6），則 S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（

14、f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3. 4、拆項(xiàng)重組求和.有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，能分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列的和、差，則對(duì)拆開(kāi)后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和也稱(chēng)分組求和法. 例 4 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前 n 項(xiàng)和.解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得：Sn5、裂項(xiàng)相消法求和有些數(shù)列求和的問(wèn)題，可以對(duì)相應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式加以變形，將其寫(xiě)成兩項(xiàng)的差，這樣整個(gè)數(shù)列求和的各加數(shù) 都按同樣的方法裂成兩項(xiàng)之差，其中每項(xiàng)的被減數(shù)一定是后面某項(xiàng)的減數(shù)，從而經(jīng)過(guò)逐

15、項(xiàng)相互抵消僅剩下有限項(xiàng)，可得出前項(xiàng)和公式這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，也稱(chēng)為分裂通項(xiàng)法。它適用于型（其中 是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列，c 為常數(shù)）、部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。常見(jiàn)拆項(xiàng)公式有：； ； ； ； 等例 5 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，令，求解：由題意得：（其中 n 為正整數(shù)）所以：。6、并項(xiàng)求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一 起先求和，然后再求和 。例 6 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為 ，前 項(xiàng)和 滿足關(guān)系式： 設(shè)數(shù)列 的公比為 ，作數(shù)列 使，求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.解:由題

16、意知為等比數(shù)列，得 ，故= ，故：bn=，可知b2n1和b2n是首項(xiàng)分別為 1 和，公差均為的等差數(shù)列。于是 b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n） 7、累加法給出數(shù)列 的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為 型，可以考慮利用累加法求和， 此法也叫疊加法。例7數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，求解：由得：，即，對(duì)成立。由，累加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立8 多法并取求和根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的

17、規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，它通常集分組、裂項(xiàng)、公式求和于一體，是一個(gè)解決綜合性數(shù)列求和的重要途徑.例 8 已知數(shù)列an：的值.解：第 4 關(guān)： 絕對(duì)值不等式解法問(wèn)題7 大類(lèi)型類(lèi)型一：形如型不等式解法:根據(jù)的符號(hào)，準(zhǔn)確的去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)一步求解.這也是其他類(lèi)型的解題基礎(chǔ). 1、 當(dāng)時(shí)，或2 、 當(dāng)，無(wú)解3、 當(dāng)時(shí)，使的解集，無(wú)解例 1 不等式的解集為（）A.B.使成立的的解集.C.D.解：因?yàn)?，所?即，解得：，所以，故選 A.類(lèi)型二：形如型不等式解法：將原不等式轉(zhuǎn)化為以下不等式進(jìn)行求解：或需要提醒一點(diǎn)的是，該類(lèi)型的不等式容易錯(cuò)解為：例 2 不等式的解集為（ ）AB.CD.解：或或，故選

18、D類(lèi)型三：形如，型不等式，這類(lèi)不等式如果用分類(lèi)討論的方法求解，顯得比較繁瑣， 其簡(jiǎn)潔解法如下解法：把看成一個(gè)大于零的常數(shù)進(jìn)行求解，即：，或例 3 設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是 解：，故填：.類(lèi)型四：形如型不等式解法：可以利用兩邊平方，通過(guò)移項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為：“兩式和”與“兩式差”的積的方法進(jìn)行，即：例 4 不等式的解集為 解：所以原不等式的解集為類(lèi)型五：形如型不等式解法：先利用絕對(duì)值的定義進(jìn)行判斷，再進(jìn)一步求解，即：，無(wú)解例 5 解關(guān)于的不等式解：（1） 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：（2） 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：（3） 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：或或綜上所述（1） 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：（2） 當(dāng)時(shí)，原不

19、等式的解集為：（3） 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：類(lèi)型六：形如使恒成立型不等式.解法：利用和差關(guān)系式：，結(jié)合極端性原理即可解得，即：；例 6 不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）AB.C.D.解 ： 設(shè)函數(shù)所以而不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立類(lèi)型七：形如故，故選擇 A，1、解法：對(duì)于解含有多個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的不等式，常采用零點(diǎn)分段法，根據(jù)絕對(duì)值的定義分段去掉絕對(duì)值號(hào)，最后把各種情況綜合得出答案，其步驟是：找出零點(diǎn)，確定分段區(qū)間；分段求解，確定各段解集；綜合取并，去掉所求解集， 亦可集合圖像進(jìn)行求解.例 7 解不等式分析：找出零點(diǎn)：確定分段區(qū)間：解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為： 解得：因?yàn)?，?/p>

20、以不存在（2） 當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：解得：又因?yàn)?，所以?） 當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：，解得：又，所以綜上所述，原不等式的解集為：2、特別地，對(duì)于形如，型不等式的解法，除了可用零點(diǎn)分段法外，更可轉(zhuǎn)化為以下不等式，即：或例 8 設(shè)函數(shù)（1） 若，解不等式（2） 如果求的范圍解：（1） 當(dāng)由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集為：（2） 由得：即：或即：或因?yàn)楹愠闪?，所以成立，解得：或故的取值范圍為：絕對(duì)值不等式一直是高中教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，我們通過(guò)化歸思想將其進(jìn)行等價(jià)變換，從而避免了繁瑣的討論，減 小了運(yùn)算量，以上所介紹的七種類(lèi)型的含有絕對(duì)值的不等式總體上囊括了近幾年高考中有關(guān)的題目，當(dāng)然方法可

21、能并不為一，在解決此類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候很多人也比較喜歡使用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)處理，這其實(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式多樣化的統(tǒng)一美.方法是多種多樣的，只是無(wú)論多么優(yōu)秀的方法最終也是用來(lái)解題的工具，如果我們僅僅是停留在最求方法的多樣 化而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想，那么就有點(diǎn)得不償失了.第 5 關(guān)： 三角函數(shù)最值問(wèn)題解題 9 法三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問(wèn)題。 這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)，它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。解決這一類(lèi)問(wèn)題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角

22、函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問(wèn)題。下面就介紹幾種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的方法：一 配方法若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是 2 時(shí)，一般就需要通過(guò)配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理。例 1 函數(shù)的最小值為（）.A2B .0C .D .6分析本題可通過(guò)公式將函數(shù)表達(dá)式化為，因含有 cosx 的二次式，可換元，令 cosx=t，則配方，得,當(dāng) t=1 時(shí),即 cosx=1 時(shí)，,選 B.例 2 求函數(shù) y=5sinx+cos2x 的最值分析 ：觀察三角函數(shù)名和角，其中一個(gè)為正弦，一個(gè)為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡(jiǎn)，使三角函數(shù)的

23、名和角達(dá)到統(tǒng)一。二 引入輔助角法例 3 已知函數(shù)當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時(shí)，求自變量 x 的集合。分析 此類(lèi)問(wèn)題為的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，它可通過(guò)降次化簡(jiǎn)整理為 型求解。解：三 利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法。例 4 求函數(shù)的值域分析 此為型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類(lèi)三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解?；蛘咭部上扔梅唇夥?，再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或例 5 已知函數(shù)，求函數(shù)

24、 f(x)的最小正周期和最大值。分析 在本題的函數(shù)表達(dá)式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，故需設(shè)法通過(guò)降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達(dá)式。解：f(x)的最小正周期為，最大值為 。四 引入?yún)?shù)法（換元法）對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有 sinx+cosx，與 sinxcosx 的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系式一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為 t 的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。例 6 求函數(shù) y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析解：令 sinx+cosx=t，則， 其中 當(dāng)五 利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項(xiàng)，湊

25、常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū)。例 7 求函數(shù)的最值。解：= 當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)，等號(hào)成立，故。六 利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例 8 已知，求函數(shù)的最小值。分析 此題為型三角函數(shù)求最值問(wèn)題，當(dāng) sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng) t=1 時(shí)，。七 數(shù)形結(jié)合由于，所以從圖形考慮，點(diǎn)(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對(duì)一類(lèi)既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問(wèn)題可考慮用幾何方法求得。例 9 求函數(shù)的最小值。分析 法一：將表達(dá)式改寫(xiě)成y 可看成連接兩點(diǎn) A(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx

26、)的直線的斜率。由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求 y 的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過(guò)點(diǎn) A 的切線與半圓相切與點(diǎn) B,則可求得所以 y 的最小值為（此時(shí)）.法二：該題也可利用關(guān)系式 asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來(lái)求解。八 判別式法例 10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解由 y=3，tanx=-1，由九 分類(lèi)討論法含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問(wèn)題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。例 11 設(shè)，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).解：令 sinx

27、=t,則（1） 當(dāng)，即在0，1上遞增，（2） 當(dāng)即時(shí)，在0，1上先增后減，（3） 當(dāng)即在0，1上遞減，以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見(jiàn)。解決這類(lèi)問(wèn)題最關(guān)鍵的在于對(duì)三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在。第 6 關(guān)： 求軌跡方程問(wèn)題6 大常用方法知識(shí)梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1. 待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱(chēng)為定義法。2. 直譯法：如果動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷

28、，但點(diǎn) P 滿足的等量關(guān)系易于建立， 則可以先表示出點(diǎn) P 所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn) P 的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量 t，以此量作為參變數(shù)， 分別建立 P 點(diǎn)坐標(biāo) x，y 與該參數(shù) t 的函數(shù)關(guān)系 xf（t），yg（t），進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn) P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出 P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn) P'的坐

29、標(biāo)，然后把 P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程。5. 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。6：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這燈問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含 參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程）， 該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項(xiàng)：1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即 P 點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。

30、來(lái)表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。 檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。4. 求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身：1. P 是橢圓=1 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P 作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，垂足為 M，則 PM 中點(diǎn)的軌跡中點(diǎn)的軌跡方程為：（）A、B、C、D、=1【答案】：B【解答】:令中點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選 B2.

31、 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（）ABCD【答案】：D【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選 D3: 一動(dòng)圓與圓 O：外切，而與圓 C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心 M 的軌跡是：A：拋物線 B：圓 C：橢圓【答案】：DD：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為 R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選 D。4: 點(diǎn) P(x0，y0)在圓 x2+y2=1 上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) M（2x0，y0）的軌跡是（）A.焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓B. 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線D. 焦點(diǎn)在 X 軸上的雙曲線【答案】：A【解答】:令 M 的

32、坐標(biāo)為則代入圓的方程中得,選 A【互動(dòng)平臺(tái)】一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)， 要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí)，通過(guò)待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例 1：已知 的頂點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn) C 的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）?！军c(diǎn)評(píng)】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲

33、線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（2） 橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3） 雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）（4） 到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪?1】: 1:已知圓的圓心為 M1，圓的圓心為 M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心 P 的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為 R，由兩圓外切的條件可得：，。12動(dòng)圓圓心 P 的軌跡是以 M 、M 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動(dòng)圓與圓 O：外切，而與圓 C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心 M 的軌跡是：A：拋物線 B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓

34、半徑為 R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選 D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類(lèi)問(wèn)題重在尋找數(shù)量關(guān)系。全國(guó)高中資料啟東中學(xué)資料共享群：700578906衡水中學(xué)資料共享群：720605560 共享群：765266758臺(tái)州中學(xué)資料共享群：276463099雅禮中學(xué)資料共享群：915349821成都七中資料共享群：920385244 長(zhǎng)郡中學(xué)資料共享群：310601280例 2：一條線段 AB的長(zhǎng)等于 2a,兩個(gè)端點(diǎn) A和 B分別在 x 軸和 y 軸上滑動(dòng)，求 AB中點(diǎn) P的軌跡方程？ 解 設(shè) M 點(diǎn)的坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形 AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以 O為

35、圓心，a 為半徑的圓周.【點(diǎn)評(píng)】此題中找到了 OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1） 代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方 法求其軌跡。2） 列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無(wú)坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡 方程。3） 運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4） 借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股 定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)

36、等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式 2】: 動(dòng)點(diǎn) P（x,y）到兩定點(diǎn) A（3，0）和 B（3，0）的距離的比等于 2（即 ），求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入 得化簡(jiǎn)得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4 為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類(lèi)方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例 3過(guò)點(diǎn) P（2，4）作兩條互相垂直的直線 l1，l2，若 l1 交 x 軸于 A 點(diǎn)，l2 交 y 軸于 B 點(diǎn)，求線段 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程?！窘馕觥糠治?1：從運(yùn)動(dòng)的角度觀

37、察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)是由直線 l1 引發(fā)的，可設(shè)出 l1 的斜率 k 作為參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn) M 坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法 1：設(shè) M（x，y），設(shè)直線 l1 的方程為 y4k（x2），（k）M 為 AB 的中點(diǎn)，消去 k，得 x2y50。另外，當(dāng) k0 時(shí)，AB 中點(diǎn)為 M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng) k 不存在時(shí)，AB 中點(diǎn)為 M（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M 的軌跡方程為 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 時(shí)，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形討論，能否避開(kāi)討論呢？只需利用 PAB 為直角三角形的幾何特性：解法 2：設(shè) M（x，y），

38、連結(jié) MP，則 A（2x，0），B（0，2y），l1l2，PAB 為直角三角形化簡(jiǎn)，得 x2y50，此即 M 的軌跡方程。分析 3：設(shè) M（x，y），由已知 l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用 M 點(diǎn)坐標(biāo)表示 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由 M 為 AB 的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法 3：設(shè) M（x，y），M 為 AB 中點(diǎn)，A（2x，0），B（0，2y）。又 l1，l2 過(guò)點(diǎn) P（2，4），且 l1l2PAPB，從而 kPA·kPB1，注意到 l1x 軸時(shí)，l2y 軸，此時(shí) A（2，0），B（0，4）中點(diǎn) M（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)

39、，它也滿足方程 x2y50綜上可知，點(diǎn) M 的軌跡方程為 x2y50?！军c(diǎn)評(píng)】1）解法 1 用了參數(shù)法，消參時(shí)應(yīng)注意取值范圍。解法 2，3 為直譯法，運(yùn)用了 kPA·kPB1，這些等量關(guān)系用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒(méi)有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響【變式 3】過(guò)圓 O：x2 +y2= 4 外一點(diǎn) A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦 BC 的中點(diǎn) M 的軌跡解法一：“幾何法”設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn) M 是弦 BC

40、的中點(diǎn)，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16化簡(jiǎn)得：（x2）2+ y2 =4由方程 與方程 x2 +y2= 4 得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，所以點(diǎn) M 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以 M 的軌跡是以（2，0）為圓心， 2 為半徑的圓在圓 O 內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法”設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線 AB 的方程為 y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0 (*),由點(diǎn) M 為 BC 的中點(diǎn)，所以 x=.(1) , 又 OMBC，所以 k=(

41、2)由方程（1）（2）消去 k 得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.所以點(diǎn) M 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的軌跡是以（2，0）為圓心，2 為半徑的圓在圓 O 內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例 4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個(gè)點(diǎn) A、B、M，其中 A 為定點(diǎn)，而 B、M 為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) B 的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，顯然 M 的運(yùn)動(dòng)是由 B 的運(yùn)動(dòng)而引發(fā)的，可見(jiàn) M、B 為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè) B 點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）則由 M 為線段 AB 中點(diǎn)，可得即

42、點(diǎn) B 坐標(biāo)可表為（2x2a，2y）【點(diǎn)評(píng)】代入法的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式 4】如圖所示，已知 P(4，0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點(diǎn)，A、B 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形 APBQ的頂點(diǎn) Q 的軌跡方程【解析】： 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 R，坐標(biāo)為(x,y)，則在 RtABP 中，|AR|=|PR|又因?yàn)?R 是弦 AB 的中點(diǎn)，依垂徑定理在RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此點(diǎn) R 在一個(gè)圓上，而當(dāng) R 在此圓上

43、運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè) Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)?R 是 PQ 的中點(diǎn)，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【備選題】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I） 若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II） 在 軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則 則，由得即QQ 群：238455466于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，即 又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)

44、與 軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程 所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在 軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以， 于是因?yàn)槭桥c 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與 軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與 軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II） 假設(shè)在 軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，由（I）有， 以上同解法一的（II）【誤區(qū)警示】1.

45、 錯(cuò)誤診斷【例題 5】中，B，C 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長(zhǎng)為 16，求點(diǎn) A 的軌跡方程?！境Ｒ?jiàn)錯(cuò)誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯(cuò)因剖析】ABC 為三角形，故 A，B，C 不能三點(diǎn)共線。【正確解答】ABC 為三角形， 故 A， B， C 不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)， 即軌跡方程為2. 誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后， 應(yīng)仔細(xì)檢查有無(wú)“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無(wú)“漏網(wǎng)之魚(yú)”仍逍遙法外， 要將其“捉拿歸案”

46、。2：求軌跡時(shí)方法選擇尤為重要，首先應(yīng)注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫(huà)出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分?！菊n外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1: 已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程： ； ； ； ，在曲線上存在點(diǎn) P 滿足的所有曲線方程是（）ABCD【答案】:D【解答】: 要使得曲線上存在點(diǎn) P 滿足,即要使得曲線與 MN 的中垂線有交點(diǎn).把直線方程分別與四個(gè)曲線方程聯(lián)立求解,只有無(wú)解,則選 D2. 兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過(guò)原點(diǎn) O 作圓的弦 0A，則弦的中點(diǎn) M 的軌跡

47、方程是 .【解答】:令 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則 A 的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4:當(dāng)參數(shù) m 隨意變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為 ?！痉治觥浚喊阉筌壽E上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x，y 分別用已有的參數(shù) m 來(lái)表示，然后消去參數(shù) m，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù) m 得：故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。5:點(diǎn) M 到點(diǎn) F（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 ?！痉治觥浚狐c(diǎn) M 到點(diǎn) F（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，意味著點(diǎn) M 到點(diǎn) F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)出點(diǎn) M 的軌跡方程?！窘獯稹?/p>

48、：依題意，點(diǎn) M 到點(diǎn) F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點(diǎn) M 的軌跡是以 F（4，0）為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為 1：2 的點(diǎn)的軌跡方程為 【分析】:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 P，由題意，則依照點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O(shè)是所求軌跡上一點(diǎn)，依題意得由兩點(diǎn)間距離公式得：化簡(jiǎn)得：7 拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦）與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) C 在拋物線上，求ABC 重心 P 的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點(diǎn)為。設(shè)ABC 重心 P 的坐標(biāo)為，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為。其中【解答】：因點(diǎn)是重心，則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：即由點(diǎn)在拋物線上，得：將代入并化簡(jiǎn)，得：（【能力訓(xùn)練】8. 已