專題 以不等式恒成立或有解問題為背景的填空題高考數(shù)學(xué)培優(yōu)系列教師

1、 專題二 壓軸填空題第三關(guān) 以不等式恒成立或有解問題為背景的填空題【名師綜述】含參數(shù)不等式的恒成立的問題，是近幾年高考的熱點.它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.類型一 可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題典例1【河北省武邑中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知定義在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A BC. D【答案】A【名師指點】利用函數(shù)的性質(zhì)將抽象不等式符號去掉，轉(zhuǎn)化為二

2、次不等式恒成立問題，若實數(shù)范圍內(nèi)的二次不等式問題可結(jié)合開口方向和判別式處理；若給定區(qū)間的二次不等式恒成立或有解問題，可利用參變分離法或圖象處理【舉一反三】【浙江省紹興市柯橋區(qū)2016屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測（二模）數(shù)學(xué)（理）試題】對任意不等式恒成立, 則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】設(shè),則,故原不等式轉(zhuǎn)化為,即,所以,即.故應(yīng)填答案.類型二 利用構(gòu)造函數(shù)求最值方法求恒成立問題典例1 改編題 已知函數(shù),當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍_【答案】【解析】因當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可由，（）當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故 成立；（）當(dāng)時，由，因，所以，若，即時，在區(qū)間上，則

3、函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當(dāng)時，），此時不滿足條件；若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；（）當(dāng)時，由，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是【名師指點】恒成立等價與恒成立，記，則，本題中由于有參數(shù)，需要分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求最值【舉一反三】已知函數(shù)若當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍_【答案】【解析】,令 當(dāng)時，在上為增函數(shù)，而從而當(dāng)時，即恒成立，若當(dāng)時，令，得當(dāng)時，在上是減函數(shù)，而從而當(dāng)時，即，綜上得的取值范圍為.類型三 利用參變分離求恒成立問題典例2 當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】顯然時，對任意實數(shù)，已

4、知不等式恒成立；令，若，則原不等式等價于，令，則，由于，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，故只要 ；若，則，令，則，在區(qū)間上的極值點為，且為極小值點，故函數(shù)在上有唯一的極小值點，也是最小值點，故只要 綜上可知：若在上已知不等式恒成立，則為上述三個部分的交集，即【名師指點】本題通過不等式恒成立問題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍，常常采用分離參數(shù)法把不等式變形為如“”形式，則只要求出的最大值，然后解即可【舉一反三】【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】

5、設(shè)函數(shù)，對，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為 . 【答案】類型四 利用圖像法求恒成立問題典例3 若不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 .【答案】【解析】不等式即為，作出函數(shù)和的圖象，如圖，當(dāng)?shù)膱D象過點時，因此不等式在區(qū)間上恒成立時，有【名師指點】等價于在公共定義域區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖像落在的下方，這樣在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像上下關(guān)系，確定參數(shù)取值范圍【舉一反三】已知函數(shù),若|,則的取值范圍是_.【答案】.【解析】【精選名校模擬】1【寧夏育才中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題】設(shè)函數(shù)，. 若當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.

6、【答案】D【解析】易得是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)，又 ，故選D.2【湖北荊州2017屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測，6】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C. D【答案】C【解析】因,故由題設(shè)在上恒成立,故，即.故應(yīng)選C.3【2017廣東珠海市高三期末】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，恒成立,即等價于，令，則，令，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增， 故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故，故答案為.4【2017黑龍江虎林一中高三月考】若函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， 則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】 【解析】試題分析：由已知可得在上恒

7、成立在 上恒成立.5【2017重慶巴蜀中學(xué)高三月考】定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】或【解析】由題意可得,所以當(dāng)時, ,所以,由于對稱軸,故.故,即,解之得或,故應(yīng)填答案或.6【2017安徽蚌埠懷遠(yuǎn)摸底考試】當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】7【2017黑吉兩省八校聯(lián)考】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為 . 【答案】【解析】試題分析：,令，故在區(qū)間上恒成立，故，所以實數(shù)的取值范圍為.8函數(shù)，若對于區(qū)間上的任意，都有，則實數(shù)的最小值是 【答案】20【解析】對于區(qū)間上的任意都有，等價于對于區(qū)間上的任意，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上

8、單調(diào)遞減，9【2017江西鷹潭一中高三期中】若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：根據(jù)，有，由于，所以，沒有最小值，所以不符合；令，故當(dāng)時取得最大值為，故.10若關(guān)于的不等式在（0，+）上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】令，令（1）當(dāng)時，不符合題意；（2）當(dāng)時，在上恒為負(fù)，在上恒為正；在上單調(diào)遞增，則需,此時，符合題意；（3）當(dāng)時，在恒為負(fù)；在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值也即是最大值，解得11【2017四川綿陽一診】是定義在上的偶函數(shù)，且時，.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】或或【解析】12已知：函數(shù)，若對使得，則實數(shù)的取值范圍_【答案】【解析】試題分析：由題意只要在上的最小值大于在上的最小值即可，顯然當(dāng)時，的最小值為0，當(dāng)時，的最小值為，所以，所以13設(shè)，不等式對恒成立，則的取值范圍_【答案】【解析】根據(jù)題意有，即，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的取值范圍是14【2017黑龍江寶清縣高級中學(xué)期中】已知函數(shù)，若，對任意，存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】15設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)，若對任意