中考數(shù)學(xué)幾何之輔助線的添加

1、中考幾何題之輔助線的添加精華講述輔助線的添加【知識(shí)要點(diǎn)】平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分, 證明是平面幾何的重要內(nèi)容。 許多初中生對(duì)幾何 證明題感到困難,尤其是對(duì)需要添加輔助線的證明題,往往束手無(wú)策。在這里我們介紹 " 添加輔 助線 " 在平面幾何中的運(yùn)用。一 、三角形中常見(jiàn)輔助線的添加1. 與角平分線有關(guān)的 可向兩邊作垂線。 可作平行線,構(gòu)造等腰三角形 在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形2. 與線段長(zhǎng)度相關(guān)的 截長(zhǎng):證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí),經(jīng)常在較長(zhǎng)的線段上截取一段,使得它 和其中的一條相等,再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可 補(bǔ)短:證

2、明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí),也可以在較短的線段上延長(zhǎng)一段,使得 延長(zhǎng)的部分等于另外一條較短的線段, 再利用全等或相似證明延長(zhǎng)后的線段等于那一條長(zhǎng)線段即 可得到全等三角形。3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的 考慮三線合一60二 、四邊形. 在解決一些和四邊形有關(guān)的 問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線 .1它有許多可以利用性質(zhì), 為了利用這些性質(zhì)往往需 要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形 . . 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形.利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形.利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線, 借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理 解決問(wèn)

3、題 . . 作菱形的高;.連結(jié)菱形的對(duì)角線 .3、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種: . 計(jì)算型題,一般通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題;.證明或探索題,一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題 . 和矩形有關(guān)的試 題的輔助線的作法較少 .4、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形,它既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,有關(guān)正方形的試題中考幾何題之輔助線的添加精華講述較多 . 解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線,作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線 . 5、與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的 . 主要涉及以下幾種類型:(1

4、作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形;(2作梯形的高,構(gòu)造矩形和直角三角形;(3作一對(duì)角線的平行線,構(gòu)造直角三角形和平行四邊形;(4 延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形;(5作兩腰的平行線等 .三 、圓1.遇到弦時(shí)(解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半徑(或直徑或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。作用: 利用垂徑定理; 利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系; 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。2.遇到有直徑時(shí)常常添加(畫直徑所對(duì)的圓周角。作用:利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。3.遇到 90度的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用:利用圓周角的性

5、質(zhì),可得到直徑。4.遇到弦時(shí)作用:可得等腰三角形;5.遇到有切線時(shí)(1作用:利用切線的性質(zhì)定理可得 OA AB ,得到直角或直角三角形。(2常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用:可構(gòu)成弦切角,從而利用弦切角定理。6.遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)(1 若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定,則常過(guò)圓心作直線的垂線段。 作用:若 OA=r,則 l 為 切線。(2 若直線過(guò)圓上的某一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心(即作半徑 作用:只需證 OA l ,則 l 為切線。(3 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線7. 遇到兩相交切線時(shí)(切線長(zhǎng)常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用:據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì),可得到: 角、線段

6、的等量關(guān)系; 垂直關(guān)系; 全等、相似三角形。中考幾何題之輔助線的添加精華講述8.遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn),或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用:利用內(nèi)心的性質(zhì),可得: 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線; 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。9.遇到三角形的外接圓時(shí),連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用:外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。10.遇到兩圓外離時(shí)(解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問(wèn)題常常作出過(guò)切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線。作用:利用切線的性質(zhì); 利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)。11.遇到兩圓相交時(shí)常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。作用: 利用連心線的性質(zhì)、解直角三

7、角形有關(guān)知識(shí); 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì); 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì); 垂徑定理。12.遇到兩圓相切時(shí)常常作連心線、公切線。作用: 利用連心線性質(zhì); 切線性質(zhì)等。13. 遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)常常作每?jī)蓚€(gè)圓的連心線。14常常添 加輔助圓。作用:以便利用圓的性質(zhì)?！練v年考卷形勢(shì)分析及中考預(yù)測(cè)】平面幾何是歷年來(lái)中考和競(jìng)賽的必考內(nèi)容,其題目的靈活性遠(yuǎn)遠(yuǎn)是代數(shù)題目所不能比 擬的,從簡(jiǎn)單的選擇填空到較為復(fù)雜的中考?jí)狠S題甚至競(jìng)賽中的壓軸題,出題范圍極為廣 泛,難易程度差距較大,對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用能力考察較多?？v觀近 6年廣州市 的中考試題, 分值分布大約在 60分左右, 其中簡(jiǎn)單的題目大約占 43分,

8、 其余的 17分較難, 每年必有一道幾何壓軸題,分值 14分,經(jīng)常和實(shí)際問(wèn)題,動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及函數(shù)問(wèn)題結(jié)合,難度 較大,應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視。題目難主要難在輔助線的添加,尤其像特殊四邊形及圓中的問(wèn)題,從中考考綱來(lái)看, 2011年廣州市中考命題,同往年相比,變化不大,壓軸題中可能會(huì)以三角形或四邊形結(jié)合 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題給出,或者以圓中相關(guān)知識(shí)為背景,結(jié)合動(dòng)點(diǎn),函數(shù)問(wèn)題給出,區(qū)分度較大?！究键c(diǎn)精析】考點(diǎn) 1. 三角形:例 1 如圖, AB=CD, E 為 BC 中點(diǎn), BAC= BCA ,求證:AD=2AE。中考幾何題之輔助線的添加精華講述 例 2 如圖, AB>AC, 1= 2,求證:AB -AC&g

9、t;BD-CD 。例 3 如圖 9 5,設(shè) O 是正三角形 ABC , BOC=125°。求以線段 OA , OB , OC 為邊構(gòu)成的三角形的各角。例 4如圖所示, ABC 是邊長(zhǎng)為 4的正三角形, BDC 是頂角 BDC=120°的等腰三角形,以 D 為頂點(diǎn)作一個(gè) 60°的角,角的兩邊分別交 AB , AC 于 M , N 兩點(diǎn),連結(jié) MN ,求 AMN 的周長(zhǎng) .【 舉一反三 】1、如圖, AB=6, AC=8, D 為 BC 的中點(diǎn),求 AD 的取值范圍。 C B 圖 9 5 C 中考幾何題之輔助線的添加精華講述 D2、如圖, BC>BA, BD 平

10、分 ABC ,且 AD=CD,求證: A+ C=180。AB D C3. 如圖 9 21, 設(shè) O 是正三角形 ABC 內(nèi)一點(diǎn), BOC=135°, 求以線段 OA 、OB 、 OC 為邊構(gòu)成的三角形的各角。 圖 9 21考點(diǎn) 2. 四邊形:例 5 如圖 1, 已知點(diǎn) O 是平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 的中點(diǎn), 四邊形 OCDE 是平行四邊形 . 求證 :OE與 AD 互相平分 . 例 6 如圖 3,已知 AD 是 ABC 的中線, BE 交 AC 于 E ,交 AD 于 F ,且 AE=EF.求證 BF=AC. 中考幾何題之輔助線的添加精華講述 例 7如圖 7,已知矩形

11、ABCD 內(nèi)一點(diǎn), PA=3, PB=4, PC=5.求 PD的長(zhǎng) .例 8 如圖,在正方形 ABCD 中, BCE是正三角形,求 AED的度數(shù) 例 9 如圖, AB CD , M 、 N 分別為 AD 、 BC 中點(diǎn), MN 交 AC 、 BD 于 G 、 H 點(diǎn)。求證:GH= 12(CD -AB BD中考幾何題之輔助線的添加精華講述【 舉一反三 】1. 如圖 2,在 ABC 中, E 、 F 為 AB 上兩點(diǎn), AE=BF, ED/AC, FG/AC交 BC 分別為 D , G. 求 證 :ED+FG=AC.2. 如圖 6,四邊形 ABCD 是菱形, E 為邊 AB 上一個(gè)定點(diǎn), F 是

12、AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求證 EF+BF的最 小值等于 DE 長(zhǎng) . 中考幾何題之輔助線的添加精華講述 3.如圖:正方形 ABCD , AE+CF=EF,求證:=45EDF4、 如圖,已知梯形 ABCD 中, AD =1. 5cm , B C=3. 5cm ,對(duì)角線 AC BD ,且 BD=3cm, AC=4cm,求梯形 ABCD 的面積。 考點(diǎn) 3. 圓:例 10 (2010江蘇泰州, 18O 的半徑為 1cm , 弦 AB 、 CD,1cm , 則試求弦 AC 、 BD . 例 11 (2010年安徽蕪湖市 如圖所示,在圓 O 內(nèi)有折線 OABC ,其中 OA =8, AB =12, A = B

13、 =60°,試求 BC 的長(zhǎng)為 .A EBFC D中考幾何題之輔助線的添加精華講述例 12. (2010山東臨沂如圖 , A B 是半圓的直徑 , O 為圓心 , A D 、 B D 是半圓的弦,且 P D A P B D =.(1判斷直線 P D 是否為 O 的切線,并說(shuō)明理由; (2如果 60B D E =, P D =P A 的長(zhǎng)。 例 13. (2010江蘇宿遷 (本題滿分 10分如圖, AB 的直徑, P 為 AB 延長(zhǎng)線上任意 一點(diǎn), C 為半圓 ACB 的中點(diǎn), PD 切 O 于點(diǎn) D ,連結(jié) E .求證:(1 PD =PE ;(2 PB PA PE =2.【 舉一反三

14、 】 1.(番禺一模已知:如圖 12,在 R t A B C 中, 90C = ,點(diǎn) O 在 A B 上,以 O 為圓心, O A 長(zhǎng)為半徑的 圓與 A C A B , 分別交于點(diǎn) D E , ,且 C B D A =. (1判斷直線 B D 與 O 的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2若 2A D B D =,求 O 的面積.PAEODA中考幾何題之輔助線的添加精華講述 2. (天河一模如圖,在 Rt ABC 中, ACB =90°, AC =5, CB =12, AD 是 ABC 的角平分線, 過(guò) A 、 C 、 D 三點(diǎn)的圓與斜邊 AB 交于點(diǎn) E ,連接 DE 。 (1求證:A

15、C =AE ; (2求 ACD 外接圓的半徑。3.(荔灣十校一模如圖,已知 AB 為 O 的弦, C 為 O 上一點(diǎn), C = BAD , 且 AB 于 B . (1求證:AD 是 O 的切線; (2若 O 的半徑為 3, AB=4,求 AD 的長(zhǎng) .綜合例 14. (2010寧夏回族自治區(qū) 在 ABC 中, BAC =45°, AD BC 于 D ,將 ABD 沿 AB 所在 的直線折疊,使點(diǎn) D 落在點(diǎn) E 處;將 ACD 沿 AC 所在的直線折疊, 使點(diǎn) D 落在點(diǎn) F 處, 分別延長(zhǎng) EB 、 FC 使其交于點(diǎn) M .(1判斷四邊形 AEMF 的形狀,并給予證明. (2若 B

16、D =1, CD =2,試求四邊形 AEMF 的面積.ABCD中考幾何題之輔助線的添加精華講述 例 15（2010 河北）觀察思考 河北） 滑道 滑塊 某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖 14-1，圖 14-2 是它的示意圖其工作原理是：滑塊 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑動(dòng)，在 Q 滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿 PQ 也隨之運(yùn)動(dòng)，并且 PQ 帶動(dòng)連桿 OP 繞固定點(diǎn) O 擺動(dòng)在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn) P 在以 OP 為半徑 連桿 的O 上運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研 究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn) O 作 OH l 于點(diǎn) H，并測(cè)得 OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2 分米 C

17、圖 14-1 解決問(wèn)題 （1）點(diǎn) Q 與點(diǎn) O 間的最小距離是 點(diǎn) Q 與點(diǎn) O 間的最大距離是 分米； 分米； A O E 點(diǎn) Q 在 l 上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間 的距離是 分米 （2）如圖 14-3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn) Q 滑動(dòng)到點(diǎn) H 的位 置時(shí)，PQ 與O 是相切的”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？ 為什么？ （3）小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 OH 上時(shí)，點(diǎn) P 到 l 的距離最小”事實(shí)上，還存在著點(diǎn) P 到 l 距離最大 的位置，此時(shí)，點(diǎn) P 到 l 的距離是 分米； 當(dāng) OP 繞點(diǎn) O 左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危?求這個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù) B D H Q l

18、P O H （Q） 圖 14-2 l P O 圖 14-3 【舉一反三】 】 11 中考幾何題之輔助線的添加精華講述 1.（2010 年寧德市）（本題滿分 13 分）如圖，四邊形 ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對(duì)角線 BD（不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將 BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到 BN，連接 EN、AM、 CM. 求證：AMBENB； 當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM 的值最??； N A D 當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM 的值最小，并說(shuō)明理由； E M 當(dāng) AMBMCM 的最小值為 3 + 1 時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng). B C 12 中考幾何題之輔助線的添加精華講述 2（廣雅一模）平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片 OABC，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A 點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），D 是 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) B、C 不重合）如圖,將COD 沿 OD 翻折， 得到FOD；再在 AB 邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E，將BDE 沿 DE 翻折，得到GDE，并使直線 DG，