拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)知識梳理2 y 2px( p0)的焦半徑 PF x P；x2 2py(p20）的焦半徑PF 過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑 AB為拋物線y2 2px的焦點(diǎn)弦，貝U XAXB其長度為2p.2p2,yAyBp , | ab |= xa xb p41拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)（p 0）：標(biāo)準(zhǔn)方程2y 2 px2y2 2px2cx2 py2x22py圖形nL.y 丄TKOTry隹占八、八、f(E,o)2F( -,0)2F(0,上)2F(0,-)2準(zhǔn)線x2px 2y巴2y上2范圍x 0, y Rx 0, y Rx R,y 0x R, y 0對稱軸x

2、軸y軸頂點(diǎn)(0, 0)離心率e 12拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦重難點(diǎn)突破重點(diǎn):掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，會運(yùn)用定義和會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研 究拋物線的幾何性質(zhì)難點(diǎn)：與焦點(diǎn)有關(guān)的計算與論證重難點(diǎn)：圍繞焦半徑、焦點(diǎn)弦，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1.要有用定義的意識問題1 ：拋物線y=4 x上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（）A.171615B.167C.-8D. 0點(diǎn)撥:2 1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 X2y4,準(zhǔn)線方程為y，由定義知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離16所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是15162. 求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)位置和開口方向2）的拋物線的條數(shù)有問題2 :頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐

3、標(biāo)軸上且經(jīng)過點(diǎn)（3，點(diǎn)撥：拋物線的類型一共有 4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有 2種，故滿足條件的拋物線有 23. 研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題3 :證明：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 點(diǎn)撥：設(shè)AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A'、B'分別是點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線上的射影，弦AB的中點(diǎn)為M，則AB AF BF AA' BB'，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為1 1（AA' BB'） AB，以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓總與拋物線的準(zhǔn)線相切2 2熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1拋物線的定義題型 利用定義，實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的

4、距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，- 1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為 【解題思路】將點(diǎn) P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn) P到準(zhǔn)線的距離 解析過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線I交準(zhǔn)線于點(diǎn)R,由拋物線的定義知，PQ PF PQ PR , 當(dāng)P點(diǎn)為拋物線與垂線l的交點(diǎn)時，PQ PR取得最小值，最小值為點(diǎn) Q到準(zhǔn)線的距離 因準(zhǔn)線方程為x=-1,故最小值為3【名師指引】 靈活利用拋物線的定義， 就是實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，-般來說，用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)【新題導(dǎo)練】1.已知拋物線2y 2px( p 0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(X1,%),

5、PzX,y2),B(x3, y3)在拋物線上，且I RF |、|F2F |、IP3F |成等差數(shù)列，則有()A.x1x2X3b . y1 y2y3c. %X3 2x2D.y1y3 2y2解析C由拋物線定義，2( x2 P) (x<| )2 2(x3),即:2X1X32x2.2.已知點(diǎn)A(3,4),F是拋物線 y 8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)MA MF最小時，M點(diǎn)坐標(biāo)是()A. (0, 0) B. (3, 2 .6)C. (2, 4) D. (3,2.6)解析設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為 MK，則|MA| MF | MA MK，當(dāng)MA MK最小時,M點(diǎn)坐標(biāo)是(2, 4)，選C考點(diǎn)2 拋物線的標(biāo)

6、準(zhǔn)方程題型:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(diǎn)(-3,2)(2)焦點(diǎn)在直線x 2y 4 0上【解題思路】以方程的觀點(diǎn)看待問題，并注意開口方向的討論2 2解析(1)設(shè)所求的拋物線的方程為y 2px或x 2py(p 0),過點(diǎn)(-3,2)/-42p( 3)或9 2p 22十9二 p 或 p 一3 42429拋物線方程為y2 x或x2y,3219前者的準(zhǔn)線方程是x ,后者的準(zhǔn)線方程為 y -38實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2)令 x 0 得 y 2，令 y0 得 x 4 ,p 拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時,4 ,22P p

7、 8，此時拋物線方程 y 16x;焦點(diǎn)為(0,-2)時 222 p 4，此時拋物線方程 x 8y .2 2所求拋物線方程為y 16x或x8y ,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是 x 4, y 2 .【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】22x23. 若拋物線y2 2px的焦點(diǎn)與雙曲線y2 1的右焦點(diǎn)重合，則p的值3解析-3 1 p 424. 對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為 1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于 6;拋物線的通徑的長為5;由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2, 1)能使這拋物線方程為V2=10 x的條件是(要求填寫合適條件

8、的序號)解析用排除法，由拋物線方程 y2=l0 x可排除，從而滿足條件5. 若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且| AM |17,| AF | 3，求此拋物線的方程解析設(shè)點(diǎn)A'是點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影，則|AA'| 3，由勾股定理知|MA'| 2 2，點(diǎn)A的 橫坐標(biāo)為(2、.2,3 )，代入方程x2 2 py得p 2或4，拋物線的方程x2 4y或x2 8y2考點(diǎn)3 拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點(diǎn)弦的計算與論證例3 設(shè)A、B為拋物線y2 2px上的點(diǎn)，且 AOB 90 (O為原點(diǎn))，則直線AB必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.文檔【解題

9、思路】由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置解析設(shè)直線 0A方程為y kx，由y2y解出A點(diǎn)坐標(biāo)為（聖，空）2pxk k1x2k 解出b點(diǎn)坐標(biāo)為（2 pk2, 2pk），直線ab方程為y 2pk 坐，令1 k2pxy 0得x 2p，直線AB必過的定點(diǎn)（2p, 0）【名師指引】（1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點(diǎn)即可；（2） B點(diǎn)坐標(biāo)可由A點(diǎn)坐標(biāo)用 1換k而得。k【新題導(dǎo)練】26.若直線ax y 10經(jīng)過拋物線y4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a解析卜17.過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為Ai,Bi,則 AiFBiA. 45B. 60 C. 90D. 120解析C基礎(chǔ)

10、鞏固訓(xùn)練1.過拋物線y24x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2a 2a 4(aR），則這樣的直線（）A.有且僅有B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在解析CI abiXaXbp a2a5 (a1）244，而通徑的長為2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線4y上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（A. 3B. 4C. 5D. 6解析B 利用拋物線的定義，點(diǎn) P到準(zhǔn)線y 1的距離為5，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3兩個正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是-,一個等比中項(xiàng)是2 5，且a b,則拋物線y22 (b a)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()1 1A. (0, 4) B.(嚀1 1C.(

11、畀)D.解析D. a 5,b4,b a4.如果P , P2，P8是拋物線y4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為Xi , X2，X8 ,F是拋物線的焦點(diǎn)，若X1,X2, ,Xn(nN )成等差數(shù)列且x1 x245，則 IP5F | =().解析B根據(jù)拋物線的定義，可知PFXiXi 1 (iX1,X2,xn(n N )成等差數(shù)列且X1X2X945, X55,| P5F |=625、拋物線y 4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I, I與x軸相交于點(diǎn)E,過F且傾斜角等于60。的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn) A , AB丄I，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于()A . 3.3B . 4.3 C. 6 - 3D

12、 . 8.3解析C.過A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，設(shè)A(m, n)，貝UAF AB m 1, FH OH OF m 1 , m 12(m 1) m 3, n 2.3四邊形 ABEF 的面積=-2(31)2、36*322uuu6、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y 4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向uuu的夾角為60o，則OA為.解析21 .過A作ADx軸于D，令FD m，則FA 2m即2 m 2m，解得m 2 .A(3,2、3)OA . 32 (2 3)221綜合提高訓(xùn)練實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7. 在拋物線y 4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線 y 4x 5的距離為最短，求該點(diǎn)的坐標(biāo)解析解法1 ：設(shè)拋物

13、線上的點(diǎn) P(x,4x2)，1 2點(diǎn)P到直線的距離d214x 4x 5|I4(x -)4| 竺歸171 1當(dāng)且僅當(dāng)x -時取等號，故所求的點(diǎn)為(-， 解法2 :當(dāng)平行于直線y 4x 5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點(diǎn)為所求，設(shè)該直線方程為y 4x b，代入拋物線方程得 4x2 4x b 0，11由 16 16b0得b 1,x,故所求的點(diǎn)為(，2229.設(shè)拋物線y 2px( p 0 )的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC /X軸證明直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)0.證明因?yàn)閽佄锞€y 2px( p 0)的焦點(diǎn)為肯,0，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程P22可設(shè)為x

14、my，代人拋物線方程得 y 2pmy p 0.22 若記A X1,% , B X2,y2，則 gy是該方程的兩個根，所以 y2p .因?yàn)锽C/X軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x 上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,y2 ,2 2故直線CO的斜率為k 上竺上.P Y1X12即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.10.橢圓2 px ( p>0 )的準(zhǔn)線I上，拋物與1上有一點(diǎn)M (-4 , 9 )在拋物線y2b25線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)(1)求橢圓方程;(2 )若點(diǎn)N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線1的垂線，垂足Q/ 文檔.(0lJ實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.2 2XV2解：(1 ) 至1上的點(diǎn)M在

15、拋物線v 2px ( p>0 )的準(zhǔn)線I上，拋物線的焦點(diǎn)a b也是橢圓焦點(diǎn)c=-4 , p=8 M (-4 , 9 )在橢圓上58125b212 , 2 2 _/ab c由解得：a=5、b=32 2橢圓為L 1259由p=8得拋物線為V2 16x設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F (4 , 0),由橢圓定義得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|>|MN|+|NF|=|MF|29241= (44)(0)，即為所求的最小值.55參考例題：1 11、已知拋物線 C的一個焦點(diǎn)為F ( - , 0),對應(yīng)于這個焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為x=-.(1) 寫出拋物線C的方程；(2) 過F點(diǎn)的直線與曲線 C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為

16、坐標(biāo)原點(diǎn)，求 AOB重心G的軌跡方程；解: (1)拋物線方程為：y2=2 x.(4 分)文檔(2)當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k(x-g)，代入y2=2 x,分)k2得：k2x2-(k2+2) x+ -4設(shè) A (xi, yi), B(X2,0.y2)，則Xi+ X2=- 3 , y1+y2= k(X1 + X2-1)=-.kk設(shè)AOB的重心為G (x, y)2 2消去k得y2= |x 2為所求,390 x1 x230 y y23k223k22 ,3k1 1當(dāng)直線垂直于x軸時，A ( 2 , 1), B (1 ,-1)，1MOB的重心G( 3，0)也滿足上述方程.綜合得，所求的軌跡方程為

17、y2=fxf ,(6分)(8(9分)拋物線專題練習(xí)、選擇題(本大題共 10小題，每小題5分，共50分)如果拋物線y 2= ax的準(zhǔn)線是直線x=-1 ,那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B. (2, 0 )C. (3, 0 )D . (- 1,0 )圓心在拋物線y 2 =2 x 上,且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是A. x2+ y 2-x-2 y -=04B.x2+C. x2 + y 2-x-2 y +仁0D.2拋物線y x上一點(diǎn)到直線2xy1 13A. (1 , 1 ) B.( ，一)C.(-3.y 2+ x-2 y +1=01x2+ y 2-x-2 y +=044 0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一

18、拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬4m ,若水面下降1m ,則水面寬為A. . 6 mB. 2、6 m C. 4.5m D . 9m5 .平面內(nèi)過點(diǎn) A (-2 , 0),且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是()A. y 2= 2xB. y 2= 4xC. y 2= 8xD . y 2= 16x6 .拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上點(diǎn)(-5 , m )到焦點(diǎn)距離是 6，則拋物線的方程是()A. y 2=-2 xB. y 2=-4 x C. y 2=2 xD . y 2=-4 x 或 y 2=-36 x7 .過拋物線y 2=4 x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(xi, y 1),

19、B(X2,y 2)兩點(diǎn)，如果xi+X2=6,那么 |AB|=()A. 8 B . 10 C . 6 D . 48 .把與拋物線 y2=4x關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線按向量a (2, 3)平移，所得的曲線的方程是()2 2A . (y 3)4(x 2) B . (y 3)4(x2)22C . (y 3)4(x2) D. (y 3)4(x 2)9.過點(diǎn)M (2 , 4)作與拋物線y 2=8 x只有一個公共點(diǎn)的直線l有()A . 0條B . 1條C . 2條D. 3條10 .過拋物線y = ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是11p、q，則一等于( )Pq1

20、4A . 2aB .C .4aD .-2aa二、填空題11 .拋物線y 2=4 x的弦AB垂直于 x軸，若AB的長為4 3，則焦點(diǎn)到 AB的距離為.12 .拋物線y =2 x2的一組斜率為k的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 13 . P是拋物線y m 6p=4x上一動點(diǎn)，以P為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是14 .拋物線的焦點(diǎn)為橢圓2X"92y_41的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程選擇題(本大題共 10小題，每小題5分，共50分)題號12345678910答案ADABCBACCC二填空題(本大題共 4小題，每小題6分，共24分)k211 . 2

21、12. X13 . (1, 0)14. y24、5x4三、解答題15 .已知動圓M與直線y =2相切，且與定圓C: X2 (y 3)21外切，求動圓圓心 M的軌跡方程.解析:設(shè)動圓圓心為 M (X, y),半徑為r，則由題意可得 M到C (0, -3 )的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知:動圓圓心的軌跡是以 C (0 , -3 )為焦點(diǎn),以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為X212y .16 .已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是X軸,拋物線上的點(diǎn) M (3 , m)到焦點(diǎn)的距離，解之得m2 (3 2)2 5m 26 或 mP 4p2故所求的拋物線方程為 X28y , m的值為2.

22、6等于5，求拋物線的方程和 m的值.(12分)解析:設(shè)拋物線方程為 X22py(p 0)，則焦點(diǎn)F(衛(wèi),0)，由題意可得2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案17 .動直線y =a,與拋物線y2-x相交于A點(diǎn)，動點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3a)，求線段AB2中點(diǎn)M的軌跡的方程.(12分)2解析:設(shè)M的坐標(biāo)為(x, y), A ( 2a ,a),又 B(0,3a) 得2x ay 2a2 y2消去a，得軌跡方程為x ，即y 4x419 .如圖，直線I-和12相交于點(diǎn)M , I-丄12，點(diǎn)N I-.以A、B為端點(diǎn)的曲線段 C上的任一點(diǎn)到|2的距離與到點(diǎn) N的距離相等.若 AMN為銳角三角形，|AM|= , |AN|=3 ,且|BN|=6 .建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.(14分)解析:如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為 y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).由題意可知：曲線 C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn).設(shè)曲線段C的方程為y2 2px(p 0), (Xaxx