高考數(shù)學(xué)玩轉(zhuǎn)壓軸題專題2.3平面向量中范圍、最值等綜合問(wèn)題

1、專題2.3平面向量中范圍、最值等綜合問(wèn)題平面向量中的最值與范圍問(wèn)題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，能綜合考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，J匕如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量，的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.二.解題策略類型一 與向量的模有關(guān)的最值問(wèn)題r r r r r rrrrrrr【例1】【2018河北定州中學(xué)模擬】設(shè)向量

2、a,b,c滿足a b 2, a b 2, a c,b r 60,則r的最大值等于（）A. 4 B. 2 C.2 D. 1【答案】A1 解析】 由號(hào)=5 =2ab=-2 =60 ,可 得蒼石=一,851了 二 120。, 如 圖所示 j 設(shè) OA=a=OCc, 則 2CA= 60 = ZAOB 十 UCB =180.-. &QBC 四點(diǎn)共圓,：.AB=b- ajAB1 =bTa -2ab =4 + 4-2（-2） =即| = 2布,由三角形的正弦定理得外接同的直徑2R =,）=4.當(dāng)OC為直徑時(shí)啟的模同最大.最大為七故選人【指點(diǎn)迷津】由已知條件得四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵，從而轉(zhuǎn)化為求外接圓直徑處理【舉

3、一反三】1、【2018遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)模擬】在Rt ABC中， A 900 ,點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且uuvABuuuv3, ACuuuv uuvuuu/4 , AD AB AC( 0,0),則當(dāng)取得最大值時(shí),uuvAD的值為（）A. 7 B. 3 C.2【答案】DE解析】由/=90。可將三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，建立如圖所示的坐標(biāo)系,其中a(0), 3(3Q) I 0(0,4)：AD=AABAC(A 3 01H 0)，上+/=1 . + 之2版？即加，上當(dāng)且僅當(dāng)義二* = 時(shí)取等號(hào)4-洞二j故選Dv v2、【2018湖南長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)模擬】已知向量v,b滿足:v bv1 v v 一,右

4、c xa2，其中x 0 ,萬(wàn) 二彳君+必就 =!屈+元=!(3,0)+1(。,4) 2222的最小值是xyV2 c3、【2018Qlv浙東北聯(lián)盟聯(lián)v bvo,y222 1考】已知2，當(dāng)3, v的最小值是C xv2, xyJ3,故答案為J3.向量 v, b,v,滿足 a 1, b 2, cvV2 c2 V2 x a-v ,v2,%2xya b y b ，x y 1 時(shí)取“=”，【答案】46.1313【解析】設(shè)v v i v, av|V.vvv,.|n1|ann|1,222429113 2 189 0bv 1 v v v ,. v |V |V nv |V |V ,即rV2bV 1 v22b212v

5、2 2 1 bCv1, 由 二 次 函 數(shù) 性 質(zhì) 可 得，6v26*13v 八 6-A3 . v . v v I v .一 n 9, n 3, 1 n 1 a n n 14,131313值為處1,故答案為4,旭1.1313類型二 與向量夾角有關(guān)的范圍問(wèn)題【例2】已知向量OA與OB的夾角為1,OPt OA, OQ(1 t)OB, PQ在to時(shí)取得最小值,，一 1當(dāng)0 to 時(shí)，夾角 的取值范圍為5uuirit【分析】將 PQ表示為變量t的二次函數(shù) P 一、 2(5 4cos )t(2 4cos )t 1 ,轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值31 2 cos1的不等式，解不等式得解.問(wèn)題,，當(dāng)to1 2c

6、os時(shí),取最小值，由已知條件 0 to ,得關(guān)于夾角5 4 cos5【解析】由題竟知，(1.樂(lè)=2其卜8珀=28艱，的=8b-心=。一。而一國(guó)，所以,P02=(1- 2#(1力歷-礪=Q _ + 4r1 _ 4即 _ 分 8,白= (J + 4w&f1+(-2-4cos3X + 由二欠函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知,當(dāng)上式取最小值時(shí)？ ffl = l+2cosg由題意可得0L 求得一/父-所以三后父 生.5+48 卬 5223【指點(diǎn)迷津】求變量的取值范圍、最值，往往要將目標(biāo)函數(shù)用某個(gè)變量表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，期間要 注意變量之間的關(guān)系，進(jìn)而得解.【舉一反三】1、非零向量a, b滿足2ab =a2

7、b2, |a| |b | 2 ,則a與b的夾角的最小值是 【答案】【解析】由題意得r2r2r r cos a,br r a b ab- a2r br, ,r 2a b 4,整理得2、已知向量u二(2, 1),A.：B.【解析】一與否的夾角.9b2 4 2r ra,b）,夾角的取小值為一3.=（入，1）,則口與石的夾角。為鈍角時(shí),C.A 2且入W2 D.無(wú)法確定的取值范圍為（）為鈍角，匕七二2入一1V0,解得入又當(dāng)入=2時(shí)，滿足向量& /a,且反向，此時(shí)向量的夾角為180 ,不是鈍角，故入的取值范圍為類型三【例3】值范圍（且入金2 .故選C.與向量投影有關(guān)的最值問(wèn)題2,uuv設(shè) OA| 1uuv

8、 OB0,uuvOPuuvOAuuvOB ,且1,則uA在OPu上的投影的取A. -2-1,15C.上15D.,5一,15【答案】D1解析】由題意可知f =DJ5（i）京卜設(shè)言在才上的投影為則f = x=x-,5。8A+ 4 = AJ次B/l+4當(dāng)入0時(shí)，x 0,0,- x .入2故當(dāng)入1時(shí),1 - 一一 ，1取得最小值為1,即x11, 0 x x0時(shí),綜上所述【指點(diǎn)迷津】由已知求得OA OP 及OP，代入投影公式，對(duì) 入分類后利用二次函數(shù)求最值，在分類討論時(shí)需要討故答案選D論完整，不要漏掉哪種情況，討論完可以檢查下是否把整個(gè)實(shí)數(shù)全部取完。 【舉一反三】uuv uuv urnv v uuv u

9、uv1、已知 ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為2,且OA AB AC 0,則向量CA在向量CB方向上的投影為()A. 3 B. .3 C.-3 D.3【答案】Bt解析】AAEC的外接圖的圖心為6半徑為且歷+通+元=6二5 =瓦，OBAC為平行四邊形?！癆BC的外接圓的圖心為5半輕為，得內(nèi)二|畫二畫,，四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形，且ABA/ACgb/ J因此/ACO30。,2，向量由在而方向上的投影為： 圖卜c*CB = 2cos3F=后 , 本題選擇B選項(xiàng).2、【2018福建省閩侯第六中學(xué)模擬】設(shè) OA 1,OB2,OA OB 0,OP OA OB,且在OP上的投影的取值范圍（）A.2-

10、1,1B. 11,1 C.上1 D555【答案】D【解析】法1,因?yàn)椋? 所以/5.P三點(diǎn)共線_ 如圖（1）,當(dāng)P在48之間時(shí)（含幺出兩點(diǎn)r N在。F的投置的取值范圍是01;如圖（2），當(dāng)P在方J的延長(zhǎng)線上時(shí)（不含4點(diǎn)工 石在浜的投影的取值范圍是1當(dāng)。尸接近于平行盹,正在方的投影無(wú)限接近于增如圖（3）,當(dāng)P在3的延長(zhǎng)線上時(shí)（不含乂點(diǎn)包在0尸的投影的取值范圍是綜上，。上在OF的投器的取值范圉是則B 2,0 ,2P 2u,也就是P.而uA在OPu上的投近于平行勿時(shí)j夜在聲的投影的無(wú)限接近于-立3事,0 （當(dāng)0P接法2：不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A 0,1 ,UJMSIUOA OP uuv OP5_ 4t

11、2 8t 5 422t 11,t 0 ,所以 f55也就綜上,類型四【例4】2_4t 8t1,t 0f20.uuvsuuOAOP -uuv 的取值氾圍為OP3.5與平面向量數(shù)量積有關(guān)的最值問(wèn)題【2018廣州華南師范大學(xué)附中模擬】如圖，半徑為1的扇形AOB中,AOBP是弧AB上的uuuv uuv一點(diǎn)，且滿足 OP OB, M ,N分別是線段OA,OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PM PN的最大值為（PA. 2B.3C. 1 D.2【解析】扇形加5的半徑為1：OPOB，而= 0ZAOS = AAOP =-S6PO + OM PO+OM-ON =r5圮1+ OM 8 %+6OMON卜卦嗚卜故選王【指點(diǎn)迷津】平面向量

12、數(shù)量積的求法有：定義法；坐標(biāo)法；轉(zhuǎn)化法；其中坐標(biāo)法是同學(xué)們最容易忽視的解 題方法，要倍加注視，若有垂直或者容易出現(xiàn)垂直的背景可建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解【舉一反三】uuur uur1、【2018福建莆田市第二十四中學(xué)模擬】已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE DC的最大值為（）A. 1 B. - C.3 D. 222【答案】A【解析】以期,心所在直線為#軸、7軸，建立坐標(biāo)系如圖可得力（0夙1外氫1以（01）設(shè)現(xiàn)工0）其中0船司1二則麗心F 5c =（i.o）,，麗灰丁點(diǎn)上是也5邊上的動(dòng)點(diǎn)，即0取機(jī)，x的最大值為L(zhǎng)即瓦,比最大值為L(zhǎng)故選A-2、12018浙江鎮(zhèn)海中

13、學(xué)模擬】在平面內(nèi),uuv uuvAB ACuuv uuv uuv uuvBA BC CA CB胖2,uuuv PMuuuvMC ,則uuuvBM的最大值是A. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】Duuv uuu/【解析】由AB ACuuv uuv uuv uuv BA BC CA CB6,uuv uuiv uuu/ uuu/ uuv uuv uuv uuu/ 得 AB AC BC 0,BCn BA CA 0,ACn ABuuvCB0.所以n ABC是等邊三角形，設(shè)n ABC的邊長(zhǎng)為x,uuv uuu/ 則 AB AC2x cos602pB Q C以BC為x軸，以BC的中垂線為y軸建立坐

14、標(biāo)系則 B 品0 ,C V3,0 ,A 0,3 ,LUV由AP 2 ,得點(diǎn)P滿足:4.UULV ULUVPM MC則M為PC的中點(diǎn),設(shè) M x, y ,則 p 2XhBD= /4 十二 Js.-BC-CD-BIr7225，圓的方程為(X1) dcos 0 +1 =入, sin 0 +2=2, 55+ (y2) 2=4 , 5設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ( 2 而 cos 0 +1,2 返 sin 0+2),55uuvuuvUULV APABAD ,(2ycos 0 +1,2 sin 0 +2)=入(1, 0) +科(0, 2)=(入，2科),55入 +科=2吞 cos。+ 正sin e +2=sin （

15、。+。） +2,其中 tan e =2,- 1sin （ 0 +（f） 1,1 w 入 + w 3,故入+醫(yī)的最大值為3,故選：A【指點(diǎn)迷津】（1）向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題；（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題；（3）向量的兩個(gè)作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題【舉一反三】uivuuu uuv uuv 31、12018重慶第一中學(xué)模擬】 給定兩個(gè)單位向

16、量 OA, OB,r且OAOB33,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 AB2uuv uuv uuv上運(yùn)動(dòng)，OC xOA yOB，則J3x y的最小值為（）A. 3 B. 1 C. 2 D. 0【答案】B【解析】給定兩個(gè)單位向量01,4as =建立如圖所示的坐標(biāo)系,則 A 1 - a ) pBCcos!，即 B設(shè)/口。匚二p則 OC =(costtJswcc)3幣Xp COSCL因?yàn)樵朗畯S面則2y = sinSiCt4- sin a =2siu sz+y所口 1 J5# n J5(COS /十抬sins2sifi(z =出因?yàn)?5 ,7 sin1,1.3x y 1 2所以J3x y有最小值-1.633

17、632,故選Buuu uuuuuur r2、12018四川德陽(yáng)聯(lián)考】已知點(diǎn) A在線段BC上(不含端點(diǎn))，O是直線BC外一點(diǎn)，且OA 2aOB bOC 0,則a -2b-的最小值是a 2b 1 b【答案】2 2 2【解析】由五5-%而T元=6可得，宓=曲無(wú)+記：根據(jù)kB、C三點(diǎn)共線可得2口+& = 1：且口。由2所以a 2b 口十十”2A+2a + 2Zj2(a+b) 口十為r-z* _u十一 =-1+-2272-2 ,所以最小值為門+勵(lì) 1+5 a+2i% + b+b匕+2a-b22-2,故埴2&-2.uuv uuv _ uuv uuv3、【2018湖北鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟】已知

18、OA 1,OB J3,OA OB 0 ,點(diǎn)C在 AOB內(nèi),uuv ULNc uuvuuiUUVm且OC與OA的夾角為30,設(shè)OC mOA nOB m,n R ,則的值為( nA. 2 B. 5 C. 3 D. 42uuv建立直角坐標(biāo)系.由已知 OAuuu uurmOA nOB (m,J3n),uuv1,OB3n3m_tan30 -,3.m3n故選B類型六 平面向量與三角形四心的結(jié)合【例6】【2018全國(guó)名校大聯(lián)考】 已知 ABC的三邊垂直平分線交于點(diǎn)O,2uuv uuva,b,c分別為內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊，且c2 2b 2 b ,則AO BC的取值范圍是 .一2【答案】2,23t解析】如圖J

19、延長(zhǎng)/。交rc的外接圓與點(diǎn)口，連接應(yīng)SCO,則-&2? 二 13=州口,以|畫畫g/B息D = *2所茄沅=AO（AC-碉=：ADAC-碉二；回回 又 J = 2b2b） = 4b況把由代入導(dǎo)石懿=；（獷_48）= |6-）1 e又屋= 2b（2b）A0j 所以082。把GKA 40 3C的取值范圍是1、【2018河北武邑中學(xué)調(diào)研】在,初-力9的值為()【指點(diǎn)迷津】平面向量中有關(guān)范圍最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：“形化”，即利用平面向量的幾何意義將 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；“數(shù)化”，即利用平面向 量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域

20、、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等 式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.【舉一反三】ABC中， AB 3, AC 5,若。為 ABC外接圓的圓心（即滿足uuv uuvOA OB OC),則 AO BC 的值為.【答案】8uuv uuiv【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連結(jié)ODAD則OD BC ,則：UULV UUUVUULV UULV UUUV UUUV UUVAO BCAD DO BC AD BC1 UUV UUUV UUU/ UUV AB AC AC AB21 UULV2 UUV2 AC AB2122-538.2力& = 4NC =為鈍角,M是邊的中點(diǎn)，則2、【2018江西南昌市第二中學(xué)模

21、擬】如圖，。為A加比的外心,A. 4 B. C. D.L解析】外心口在上的投影恰好為它們的中點(diǎn),，分別設(shè)為HQ,所以40在總上的投影為|麗=3畫.麗|=!麻|而M恰好為人中點(diǎn)J故考慮血=： +而）J所以 HUIUU病麗 :乂於 +就）懿須,屈+就前）閆崩廣+3就廣）二3、【河南省洛陽(yáng)市2018屆高三上學(xué)期尖子生第一次聯(lián)考】已知點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心,n R）,則（）UUVUUV UUVOC mOA nOB ( m ，A. m n 2 B. 2 m n 1 C. m n 1 D. 1 m n 0【答案】C【解析】 O是銳角 ABC勺外心，.O在三角形內(nèi)部，不妨設(shè)銳角ABC勺外接圓的半徑為1

22、,UUV UUV UUV又 OC mOA nOB,uuv uuv uuv| OC |=| mOA nOB|,UUV22 UUV2 2uuv2uuv uuu可得 OC =m -2.2.m n即m+n+mn=1,故 m n 1 mn ,(當(dāng)且僅當(dāng) m=n時(shí)，等號(hào)成立)；故(m n) OA +n2OB +2mnOA?OB , uuv uuu uuvuuuuuvuuu而 OA?OB=| OA|?| OB|cos ZA0B| OA|?| OB|=1.22 uuv uuu 22 - 1 = m +n +2mnOA? OB mn +2mnm n 1 ,如果m n 1則O在三角形外部，三角形不是銳角三角形,

23、m n 4OB - jd?A + AyOBf.設(shè)歷二t南,宓=m京赤2 由 B L三點(diǎn)共線可知F+M1,所以、u=x+lyMx*+P）Ly*=tjloci則|1 = U4存在最大值1,即在邨AE c不包括端點(diǎn).）上存在與虹平行的切線,OCT所以Km4,竽） 故答案為：停.竽）4.12018云南昆明市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)模擬】在等腰梯形ABCD中，已知 AB/DC , AB 2 , BC 1 ,ABCnuivuuvUULV1 uuivuuv uuuv600,動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BE BC , DF DC ,則AE ?AF的最小值4a. 2918【答案】B.DC.【解析】以A為原點(diǎn)，以

24、AB為x軸，以過(guò)點(diǎn) A垂直AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B 2,0,C3 332, 2，D 2,E x/uuv BEuuv BC ,2,y11 _32, 23 、兒2, y12,僅uuvF X2,y2 ,4 DFuuv DC ,4 x212,y2,3211X22 43 uuiv uuv y2 , AE AF 22138uuivuuvAE ?AF取得最小值為1515,選 D.85、12018吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】在VABC中，點(diǎn)點(diǎn)M , N ,若UUU ABULUT mAM ,UUTACUUT nAN ,A. 2 B.12C. 12 ：2D.Q0133A1 ,當(dāng) 1時(shí), 一 1m, n為正數(shù)，則一m。是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線 AB , AC于不同兩1，一的取小值為nUULTAO1 uuuiAB 2uurACm uuuuAM 2imr-AN 2 M QN三點(diǎn)共線,故選:A.2.33n 112 22.m 22的圓。相切于點(diǎn)上#0