數(shù)學奧林匹克高中訓練題125

1、年第期熬孥象游蜃窘鑫吩鋤锨迢（）中圖分類號：文獻標識碼：文章編號：（）第一試一、填空題（每小題分，共分）設點在的外部，且一曰一則腳：伽十張卡片顯示數(shù)字（如圖）將相鄰兩張卡片的位置互換一次稱為一次操作（如第一次操作后數(shù)字從原始的變成）則將原始數(shù)字換成一個可被整除的數(shù)至少需要次操作團回團曰日曰曰曰困田圖已知兩個非零復數(shù)戈、的立方和為剮（芻）一（南）一的鋤一如圖，在長方體中，二面角。一的度數(shù)為，：則數(shù)字鐘分別用兩個數(shù)字顯示小時、分、秒圖（如：）在同一天的：（按小時計算）之間，鐘面上的六個數(shù)字都不相同的概率是數(shù)列口。滿足。÷，及對于自然數(shù)，口川口。則蚤的整數(shù)部分是已知四次多項式（）的四個實根

2、構(gòu)成公差為的等差數(shù)列則，）的所有根中最大根與最小根之差是如圖，已知、分別是單位正方形的邊、上的點，么，千點。于點，上膨于點，于點鼠則四邊形的面積為圉二、解答題（共分）（分）在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點已知（，）、（，），是橢圓南等內(nèi)的整點若刪，求符合條件的整點的個數(shù)（分）已知、是的三邊長，且滿足丟古÷尋（丟古），其中，“”分別表示循環(huán)和、循環(huán)積試判定的形狀（分）設，口”，均為實數(shù)，是關(guān)于聾的實系數(shù)方程戈的復數(shù)根，且口?？诳谇笞C：”加試一、（分）已知黝、船是的切線，、為切點，是劣弧上一點，萬方數(shù)據(jù)中等數(shù)學的延長線分別交、于點、，是的中點，平分么交于點，求證：，是的

3、內(nèi)心二、（分）四位數(shù)和凡互為反序的正整數(shù)，且，（），、，分別有個、個正因數(shù)（包括和本身），的質(zhì)因數(shù)也是的質(zhì)因數(shù)，但的質(zhì)因數(shù)比的質(zhì)因數(shù)少個求的所有可能值三、（分）求所有的函數(shù)，使得對于所有的正數(shù)，恒有夥（廠（菇）以）三（菇）（“茗），）四、（分）是否存在個集合口，口，。（，可一，巧一，巧，）滿足下列三個條件：（）尻川（，約定嘲）；（）當歹時，；召；（）當時，最毋？參考答案第一試、。如圖，設、分別是邊、的中點，聯(lián)結(jié)則葫葫：一，蔬砣：蔬一×得斗伽一凹一：碭一蔬天？圖則面：一因此，與蔬共線，且面蔬于是，朋應故穗手幺注石，壘注意到×于是，原始數(shù)字不管經(jīng)過幾次操作均能被整除又（）一（）

4、，（）÷，因為（）（），所以，與、與交換后，所得數(shù)字能被整除或一設菇則解得加一或一當彬一時，原式（南）（擊）咖當彬一時，原式（一塒，（）。（等）一（三）一爿咖搿咖（加）塒）（一）（一）酗一船擴一廂點，聯(lián)結(jié)由對稱性可知圖上，所以，么是二面角，的平面角，即么設口則，于是，在，毛腳。¨層籌每在中，由余弦定理得么柵氣警薩一一一一一一夠面曰射球眠熵壤毗醮儺交亂埋曩又，山哪圖點泉姍鯫舭舭礁田舳生肛萬方數(shù)據(jù)年第期故么（叱么）一咖么專號。：萬而：學切僅：絲業(yè)：后丘旦。為了滿足題中的條件，設鐘面顯示應為：（，）當，時，和應在小于中的另外四個數(shù)中選擇因而，。有四種選擇方式，。有三種選擇方式由于

5、已選擇了四個數(shù)字，：和：就只能從剩余的六個數(shù)字中選擇，它們分別有六種、五種的選擇方式在：之間，這種情形共有時間總數(shù)是×××當。、中只有一個小于時，類似可求在：之間，這種情形共有時間總數(shù)是×因此，鐘面上的六個數(shù)字都不相同的次數(shù)是，概率為蘭至一旦×注意到一口。（口。）口?？凇？家唬和烈簧峡凇翱趧t羹者去一赤一忐因為口：。，：，所以，所求整數(shù)部分為店設四次多項式（戈）的四個實根分別為、貝（）（茗一口）（石一口）（髫一口）（髫一口一）（）令一于是，八戈）（）（）（一）（）七（，一）（）則（）（）（）因而，（）的三個根為一亨、萬于是，（茗）的三個根為一，、

6、口、口歹故（口歹）一（一互）亨÷設么，么盧。，么則出扣口爭瓤丟同理，出甜蠆故四邊形刪铘一÷盧（?！埃?#247;盧（）專血。一上一二、聯(lián)結(jié)似易知橢圓內(nèi)整點在菇軸上有兩個肘。（，）、（，）滿足題意分別過點。、鴆作平行于直線伽的兩條直線。、：根據(jù)三角形等底同高面積相等可知，符合條件的整點膨均在直線。、：上易知后故直線。、：的解析式分別為，丟（茹），÷（菇一）萬方數(shù)據(jù)中等數(shù)學已知是橢圓麗等內(nèi)的整點，有面等分別解上笠，號（髫），得一菇一面，西菇由是整點，且在直線，、上，知戈為偶數(shù)所以，在一石一西及西茗中，名分別有個偶數(shù)故符合條件的整點的個數(shù)為設，貝以、已、為邊長可構(gòu)成一個

7、于是，吼蠆百吾歷一一腿鷹后磊磊鯽丁廠磊一瓦嘆可在中，恒有譬導蠆蠆，蠆蠆蠆蠆，當且僅當么詈時，式等號成立故吾上式兩邊同乘以丟“萬得÷仁巧甜記巧由式及題設不等式得÷腮釧記巧此即為式中等號成立所以，么么么，要祀滬口口口為等邊三角形因頹是方程算的根，所以，哦膏（）哦膏毒”（哦一），其中，¨（，）為非負數(shù)又考“（，）考（口一吼一）口（口一口）口?？??！翱谝挥墒降谩凹釉囈弧⑷鐖D，過點作于點，聯(lián)結(jié)、則由切割線定理及射影定理得尸圖所以，、四點共圓故么腫么么肋從而，么么，即平分十：齋壚萬方數(shù)據(jù)年第期么因為即÷仰朋，所以，么么么又么么么，則腳毒篙篙篙故么從而，么因為么么，所

8、以，么么，即口是么的平分線因此。，是的內(nèi)心二、設，則凡由，凡（），貝（，）故（）（口），（），（）于是，由為奇數(shù)，知與乃一奇一偶若，為偶數(shù)，即尼，則，為偶數(shù)矛盾因此，為偶數(shù)，死為奇數(shù)記分解質(zhì)因數(shù)后，的個數(shù)為，的個數(shù)為貝，僅由因數(shù)個數(shù)定理得（儀）（）于是，（），。所以，或，或故至多有三個質(zhì)因數(shù)于是，至多含有兩個質(zhì)因數(shù)，是的一個質(zhì)因數(shù)若凡只有一個質(zhì)因數(shù)，則這個質(zhì)因數(shù)為從而，與，是四位數(shù)相矛盾因此，凡含有兩個質(zhì)因數(shù)設的另一個質(zhì)因數(shù)為因為，所以，幾或或（）故，扎口。叼（、）又（）（）（），貝，即，由，知此時，的值大于當時，。而，不互為反序數(shù)，于是，此時，因此，凡于是，詈等瑚一扎，（口）（口），故口因為

9、孢為奇數(shù)，所以，為奇數(shù)故由式得嬰醬尊掣擊百廣盯一私面因為為偶數(shù)，所以，為偶數(shù)于是，或當時，由式得因為（一），所以，得，÷于是，或當時，；當時，于是，或因為，所以，又×拜×符合題意因此，三、將菇代人式得（）（），即認）八（）（）若存在石。?。海沟冒梭?。）八名：），則將萬方數(shù)據(jù)中等數(shù)學 茗，菇代人式得 （曰。，），（。，），（，），（曰，）， （曰。，） 就是一個（，）集合圈（這里第二個分量 交替取，）； （）當為偶數(shù)時， （。，），（：，），（，），（。，）， （，），（曰一，），（一，）， 毛恐以毛）壩恐）（茗。）（，）吻） 石一（菇）（髫菇蝴鼻）菇）， 即 由

10、以石。）釩菇：）及式得 髫，髫）（石茗）茗一（茹） 又戈，八茹），貝 茗茗，即 髫，這與相矛盾 故對任意的菇。菇：有 八髫。）以算：） （晚，），（日¨，），（一，）， （，），（日。，），（，），（：，） 是一個（，一）集合圈，其中，表示不 將代人式得八）尺八） 由式得八） 將代入式得 ，（以，）（，九尺） 所以，尺，）弘 大于的偶數(shù)，并且除了。、玩對應的第二 分量取值為外，其余所對應的第二個分量 都交替地取， 顯然，有（，）集合圈 根據(jù)上面構(gòu)造新集合圈的方法，可依次 得到集合圈： （，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，），（，）， （， ），（， ），（， ） 故

11、存在個集合。，：，和 個集合日。，：，。嗍構(gòu)成的集合圈 （謝文曉湖北省黃岡中學，） 經(jīng)檢驗，八茗）菇滿足題目要求 四、用（，）表示有個集合。，：， ，和個集合，：，曰；符合題設條件的 一個集合圈，用（曰；，）表示的所有元素與 中的第個元素組成的一個集合 若曰，：，曰，滿足題設條件，則 （）當為奇數(shù)時， （。，），（啟，），（，），（。，）， 走進教育數(shù)學叢書介紹 書 目 作者 林群 張景中 張景中 沈文選 朱華偉 朱華偉 李尚志 談祥柏 彭翕成 張景中 單價 本叢書為“教育數(shù)學”量身打造。灌輸 微積分快餐 幾何新方法和薪體系 一線串通的初等數(shù)學 走進教育數(shù)學 數(shù)學解題策略 從數(shù)學競賽到競賽數(shù)學 數(shù)學的神韻 數(shù)學不了情 繞來繞去的向量法 直來直去的微積分 “教育數(shù)學”理念：改造數(shù)學使之更適宜于教 學和學習，是教育數(shù)學為自