高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題 - 正弦定理 - 一 -

1、第11卷第4期 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報(bào)Vol.11, No.42002年11月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONNov ., 2002收稿日期:20020828基金項(xiàng)目:貴州省優(yōu)秀科技教育人才省長(zhǎng)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(黔科教辦20013號(hào) 作者簡(jiǎn)介:管理河(1963,男,貴州桐梓人,中教高級(jí),主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題“正弦定理(一”教學(xué)案例管理河(桐梓縣第一中學(xué),貴州 桐梓 563200摘要:創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境問(wèn)題”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié).“情境問(wèn)題”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線”組織教學(xué)活動(dòng),以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體.教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境

2、時(shí),必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)需要等因素進(jìn)行綜合考慮.“正弦定理”具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,在教學(xué)中,應(yīng)從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)所適用的數(shù)學(xué)情境.關(guān)鍵詞:正弦定理;解三角形;數(shù)學(xué)情境中圖分類號(hào):G632.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):10049894(2002040094041 教學(xué)設(shè)計(jì)1.1 教學(xué)背景貴州省桐梓縣一中是一所規(guī)模較大的高級(jí)中學(xué),學(xué)校對(duì)由貴州師大主持的“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究十分重視,是首批參加實(shí)驗(yàn)的學(xué)校之一.筆者任教的高一(3班是從2001年9月開(kāi)始教學(xué)實(shí)驗(yàn)的,該班有學(xué)生55人,多數(shù)來(lái)自農(nóng)村.剛?cè)胄r(shí),許多學(xué)生完全依賴于教師的講解,不會(huì)自學(xué),不敢提問(wèn)

3、題,也不知怎樣提出問(wèn)題.通過(guò)2個(gè)學(xué)期的實(shí)驗(yàn)教學(xué),多數(shù)學(xué)生已比較適應(yīng)這種新的教學(xué)方式,能主動(dòng)思考,敢于提出自己關(guān)心的問(wèn)題和想法,初步掌握了一些提問(wèn)的方法,保守、依賴的個(gè)性特征逐步向開(kāi)放、自主的方向轉(zhuǎn)變. 1.2 教材分析“正弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(試驗(yàn)修訂本必修數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一,既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓,也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用,是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具,因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.本次課是“正弦定理”教學(xué)的第一節(jié)課,其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理,在課型上屬于“定理教學(xué)課

4、”.因此,做好“正弦定理”的教學(xué),不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí),使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí),體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn),而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力,以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力.為什么要解斜三角形?解斜三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎?正弦定理和余弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒(méi)有回答,而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題. 1.3 設(shè)計(jì)思路為了回答上述問(wèn)題我想到了“情境問(wèn)題”教學(xué)模式,即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ),提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈,使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體,成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,使教學(xué)過(guò)程

5、成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程.根據(jù)上述精神,筆者具體做出了如下設(shè)計(jì):創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景;啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題,解決過(guò)渡性問(wèn)題時(shí)需要使用正弦定理,借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,揭示解斜三角形的必要性,并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī).然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題:已知三角形的2條邊和一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角及第三邊.解決這2個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題:在三角形中,2邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系?為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中,得出目標(biāo)問(wèn)

6、題在直角三角形中的解,從而形成猜想,然后引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明.證明時(shí),關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以第4期 管理河:高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題 95下2點(diǎn):一是證明的起點(diǎn)AC +CB =AB ;二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系,同時(shí)將3個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只有2個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式,以揭示引入單位向量j 和使用向量的數(shù)量積運(yùn)算的合理性.由學(xué)生獨(dú)立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問(wèn)題.2 教學(xué)過(guò)程2.1 設(shè)置情境 利用投影展示:如圖1,一條河的2岸平行,河寬d = 1 km .因上游暴發(fā)特大洪水,在洪峰到來(lái)之前,急需將碼頭A 處囤積的重要物資及留守人

7、員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B 處或其下游1 km 的碼頭C 處.已知船在靜水中的速度|v 1| = 5 km/h ,水流速度|v 2| = 3 km/h . 2.2 提出問(wèn)題師:為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案,請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問(wèn)題,將各自的問(wèn)題經(jīng)小組(前后4人為一小組匯總整理后交給我.待各小組將題紙交給老師后,老師篩選了幾張有代表性的題紙通過(guò)投影向全班展示,經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個(gè)問(wèn)題:(1船應(yīng)開(kāi)往B 處還是C 處? (2船從A 開(kāi)到B 、C 分別需要多少時(shí)間? (3船從A 到B 、C 的距離分別是多少? (4 船從A 到B 、C 時(shí)的速度大小分別是多少? (5船應(yīng)向什么方向開(kāi),才能保證

8、沿直線到達(dá)B 、C ?師:大家討論一下,應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題? 大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí):要回答問(wèn)題(1,需要解決問(wèn)題(2,要解決問(wèn)題(2,需要先解決問(wèn)題(3和(4,問(wèn)題(3用直角三角形知識(shí)可解,所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題(4,問(wèn)題(4與問(wèn)題(5是2個(gè)相關(guān)問(wèn)題,因此,解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題(4和(5. 師:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則,先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖,明確已知什么,要求什么,怎樣求解.生1:船從A 開(kāi)往B 的情況如圖2,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí),可求得船在河水中的速度大小|v |及v 1與v 2的夾角:435|222221=v v v ,°=376.0

9、arcsin 53|sin 21v v . 生2:船從A 開(kāi)往C 的情況如圖3,|AD |=|v 1|=5,|DE |=|AF |=|v 2|=3,易求得AED =EAF =45°,還需求及v .我不知道怎樣解這2個(gè)問(wèn)題,因?yàn)橐郧皬奈唇膺^(guò)類似的問(wèn)題.圖2 船過(guò)河線路(一 圖3 船過(guò)河線路(二師:請(qǐng)大家想一下,這2個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么?部分學(xué)生:在三角形中,已知2邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角和第三邊.師:請(qǐng)大家討論一下,如何解決這2個(gè)問(wèn)題? 生3:在已知條件下,若能知道三角形中2條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系,則可以解決上述問(wèn)題,求出另一邊的對(duì)角.生4:如果另一邊的對(duì)角已

10、經(jīng)求出,那么第三個(gè)角也能夠求出.只要能知道三角形中2條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系,則第三邊也可求出.生5:在已知條件下,如果能知道三角形中3條邊和一個(gè)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系,也能求出第三邊和另一邊的對(duì)角.師:同學(xué)們的設(shè)想很好,只要能知道三角形中2邊與它們的對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系,或者3條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系,則2個(gè)問(wèn)題都能夠順利解決.下面我們先來(lái)解答問(wèn)題:三角形中,任意2邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 2.3 解決問(wèn)題師:請(qǐng)同學(xué)們想一想,我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí),是怎樣處理的?眾學(xué)生:先從特殊事例入手,尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法.直角三角形是三角形的特例,可以先在直角三角形中試探一下.師:如圖

11、4,請(qǐng)各小組研究在Rt ABC 中,任意2邊及其對(duì)角這4個(gè)元素間有什么關(guān)系?多數(shù)小組很快得出結(jié)論:CcB b A a sin sin sin =. 師:Cc B b A a sin sin sin =在非Rt ABC 中是否BC96 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報(bào) 第11卷成立?眾學(xué)生:不一定,可以先用具體例子檢驗(yàn).若有一個(gè)不成立,則否定結(jié)論;若都成立,則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立,再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明. 師:這是個(gè)好主意.請(qǐng)每個(gè)小組任意做出一個(gè)非Rt ABC ,用量角器和刻度尺量出各邊的長(zhǎng)和各角的大小,用計(jì)算器作為計(jì)算工具,具體檢驗(yàn)一下,然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果.幾分鐘后,多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立,只有一個(gè)小組因

12、測(cè)量和計(jì)算誤差,得出否定的結(jié)論.教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出:此關(guān)系式在任意ABC 中都能成立,請(qǐng)大家先考慮一下證明思路.生6:想法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決.生7:因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式,所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系.師:在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢?學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系,經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值:三角形的面積不變;三角形同一邊上的高不變;三角形外接圓直徑不變.在教師的建議下,學(xué)生分別利用這3種關(guān)系作為基礎(chǔ)得出了如下3種證法:證法一:如圖5,設(shè)AD 、BE 、CF 分別是ABC 的3條高.則有AD

13、= b sin BCA , BE = c sin CAB , CF = a sin ABC .所以 S ABC = a b sin BCA= b c sin CAB = c a sin ABC . 所以BCA cABC b CAB a =sin sin sin . 證法二:如圖5,設(shè)AD 、BE 、CF 分別是ABC 的3條高.則有AD = b sin BCA = c sin ABC , BE = a sin BCA = c sin CAB . 所以 BCAcABC b CAB a =sin sin sin .證法三:如圖6,設(shè)CD = 2r 是ABC 的外接圓的直徑,則DAC = 90

14、76;,ABC = ADC .所以 r CD ADCbABC b 2sin sin =.同理可證 r BCAcCAB a 2sin sin =.所以BCAcABC b CAB a =sin sin sin .師:據(jù)我所知,從AC +CB = AB 出發(fā),也能證得結(jié)論,請(qǐng)大家討論一下.生8:要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系.生9:利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系.生10:還要想辦法將有3個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成2個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式.生11:因?yàn)?個(gè)垂直向量的數(shù)量積為0,可考慮選一個(gè)與3個(gè)向量中的一個(gè)向量(如向量AC 垂直的向量與向量等式的2邊分別作數(shù)量積.師:請(qǐng)大家具體試一下,看還有什么問(wèn)題?

15、 眾學(xué)生:向量j 與AB 、CB 的夾角與ABC 是銳角三角形還是鈍角三角形有關(guān),所以應(yīng)分2類情況分別證明.教師讓學(xué)生通過(guò)小組合作完成了如下證明. 證法四:如圖7,設(shè)單位向量j 與向量AC 垂直. 因?yàn)?AB = AC + CB ,所以 j AB = j (AC + CB = j AC + j CB . 因?yàn)?j AC = 0,j CB = |j |CB|cos(C °90= a sin C , j AB = |j |AB|cos (A °90= c sin A .所以 a sin C = c sin A ,CcA a sin sin =, 同理B bA a sin sin

16、 =.所以 CcB b A a sin sin sin =.2.4 反思應(yīng)用師:同學(xué)們通過(guò)自己的努力,發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意2邊與其對(duì)角的關(guān)系,請(qǐng)大家考慮一下,正弦定理能夠解決哪些問(wèn)題?眾生:知三求一,即已知三角形的2邊與一邊的對(duì)角,可求另一邊的對(duì)角;已知三角形的2角與一角的對(duì)邊,可求另一角的對(duì)邊;已知三角形中2圖5非直角三角形 B圖6 三角形外接圓圖7 向量第4期管理河:高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題97邊與它們的對(duì)角4個(gè)元素中的2個(gè)元素,可研究另外2個(gè)元素的關(guān)系.師:請(qǐng)同學(xué)們用正弦定理解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)大家提出的問(wèn)題.3 教學(xué)反思本課中,教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境,

17、通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流,親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程,學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè),知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí).為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境問(wèn)題”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮,對(duì)可用的情境進(jìn)行比較,選擇具有較好的教育功能的情境.從應(yīng)用需要出發(fā),創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境,是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一.“正弦定理”具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境.該情境源于教材第五章第十二節(jié)研究性課題的第二個(gè)問(wèn)題,

18、筆者將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問(wèn)題.實(shí)踐說(shuō)明,這種將教材中的例題、習(xí)題作為素材改造加工成情境,是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑.只要教師能對(duì)教材進(jìn)行深入、細(xì)致、全面的研究,便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材.在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),筆者曾考慮以“直角三角形”作為情境,考慮到學(xué)生據(jù)此不易形成目標(biāo)問(wèn)題,而且問(wèn)題缺乏向量背景,不容易想到用向量方法解決問(wèn)題,故未采用這個(gè)方案.“情境問(wèn)題”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線”組織教學(xué)活動(dòng),以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體.如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵.教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明,學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響,還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的

19、態(tài)度等外在因素的制約.因此,教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境,而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度,提高引導(dǎo)水平,一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題,另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題.要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行分析、整理,篩選出有價(jià)值的問(wèn)題,注意啟發(fā)學(xué)生揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),將提問(wèn)引向深入.本課中,在教師的啟導(dǎo)下,學(xué)生首先提出的問(wèn)題是:船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處?答案取決于船從A 到達(dá)B、C的時(shí)間;船從A到達(dá)B、C的時(shí)間,又取決于船從A到達(dá)B、C的距離和船的速度的大小;而船能否到達(dá)B、C,又取決于船的航向.這些都是具有實(shí)際意義的問(wèn)題,去掉問(wèn)題的實(shí)際意義得出過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題,抓住過(guò)渡性問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),將其上升為一般性數(shù)學(xué)問(wèn)題,即目標(biāo)問(wèn)題.學(xué)生還提出了一個(gè)超前性問(wèn)題:三角形中3條邊與一個(gè)角之間有什么關(guān)系?這是筆者在設(shè)計(jì)教案時(shí)未想到的,筆者除了對(duì)提出此問(wèn)題的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)和肯定外,還要求同學(xué)們課后認(rèn)真研究這個(gè)問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)自然地成為教學(xué)“余弦定理”的情境.使用計(jì)算器處理復(fù)雜、煩瑣的數(shù)字運(yùn)算是新教材的一個(gè)重要特點(diǎn).本課中通過(guò)使用計(jì)算器,使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性試驗(yàn)成為可能.這說(shuō)明計(jì)算器在探索、檢驗(yàn)規(guī)律方面也