滬教版2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面上的直線教案

1、2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題09平面上的直線教案一、直線的傾斜角與斜率1 .直線的傾斜角(1)定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角.當(dāng)直線與X軸 平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.(2)傾斜角的范圍為0, 7T).2 .直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表 示，即1=1曲_* 傾斜角是90。的直線沒(méi)有斜率.(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Pi(xi, yi), P2(X2,力)(如急2)的直線的斜率公式為卜="弋=例題1 (2020上海市七寶中學(xué)高三三模)若直線方程ax+y + c = O的一個(gè)法向

2、量為(73,-1),則此直線的傾斜角為【答案】|【解析】設(shè)直線的一個(gè)方向向量為a = (a; y)由直線方程依+外+。=。的一個(gè)法向量為,所以 J5x-y = 0，令x = l，則y =所以直線的一個(gè)方向向量為(1, JJ)，k = = 6設(shè)直線的傾斜角為夕，由攵=tan。，所以直線的傾斜角為：2 =g.故答案為：!二、直線方程的形式及適用條件名稱幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)（xo, yo）,斜率為ky-yo=k(x-xo)不含垂直于X軸的直線斜截式斜率為k,縱截距為by=kx+b不含垂直于X軸的直線兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)（xi，yi）,（X2，%）,（XI 女2, yi 為2）y-yi = xxi y

3、a-yi x2-xi不包括垂直于坐標(biāo)軸的直 線截距式在X軸、y軸上的截距分別 為 a, b（a, bH）試=】不包括垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A,B 不全為0)例題2 （2019上海浦東新區(qū)華師大二附中高三一模）若兩直線ll-.y = k.x + k + 2, 4 ：' = -2x + 4的交點(diǎn)在第一象限，則正整數(shù)k=.【答案】1【解析】?jī)芍本€/】：y=fcr+A+2, 72： y= - 2x+4,y = kx + k + 2,2 - 2,彳y = - 2x + 42 kx =k + 26k + 4y =k + 2又兩直線的交點(diǎn)在第一象限，則Vk + 2竺超0

4、k + 22解得-<k<2,所以正整數(shù)k=1.故答案為：1.三、解直線方程1 .求傾斜角的取值范圍的一般步驟：（1）求出斜率卜=工加a的取值范圍；（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角。的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.2 .求直線方程的方法主要有以下兩種：（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程：（2）待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線方 程.（3）消參：直線的參數(shù)方程消去參數(shù)/,能求出直線的普通方程，由此能求出直線的斜率， 從而能求出直線的傾斜角.例3過(guò)點(diǎn)（L0）且與直線x-2y

5、-2=0平行的直線方程是-【答案】x-2y-l=0【解析】（1）設(shè)所求直線方程為x-2y+m=0,由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1, 0）,得l+m=0, m= -1.則所求直線方程為x-2y-l=0.例4 （2017,上海楊浦復(fù)旦附中高三其他）直線x =2/L（/為參數(shù)）的傾角是（）y = yJ3+4tA. arctan（-） B. arctan（-2） C. arctan D.乃一arctan2 22【答案】D【解析】X = 2/由直線V 廠 （/為參數(shù)）消去參數(shù)y = V3+4/得到直線的普通方程：2工+），一JJ 20 = O,則直線的斜率為女=2.設(shè)直線的傾斜角為夕，則攵= tanc = 2 ,所以

6、直線的傾斜角為a =乃一 arctan 2故選：D四、點(diǎn)到直線的距離已知直線/的方程是ar+y + c = 0（。力不同時(shí)為0）和直線外一點(diǎn)尸（玉,九），求點(diǎn)P 到直線/的距離。由直線/的方程是以+勿+ c = 0,知直線/的法向量3 =（。/），所以過(guò)點(diǎn)P與直線/垂 直的直線廠的法向量為彳=（b-a）,則直線的方程為bx - ay + (ay() -bx0) = 0設(shè)直線/與/'的交點(diǎn)為。，則。坐標(biāo)滿足(ix + by + c = Obx - ay + (ay() -Z?x0) = 0(1)解此方程組x =得：y =由兩點(diǎn)間距離公式:b2x0-aby0 -aceT+b-abx()+c

7、ryQ-bctr+Zr。上太=二鏟=J（安字竺）2 + （約*士/=%?）手所以得，點(diǎn)p到直線/的距離為:ax0+by0+cla2 +b2例題5 （2019長(zhǎng)寧上海市延安中學(xué)高三三模）點(diǎn)（2,1）到直線3x + 4y =。的距離為【答案】2【解析】13x2 + 1x41 c/ 、-=2依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)（2，D到直線3x + 4） = °的距離為a/32+42五、兩條直線的夾角平面上兩條直線6和，2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩組互補(bǔ)的對(duì)頂角，因?yàn)橄鄬?duì)而 言，銳角比較簡(jiǎn)單.我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條直線的夾角.如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們的夾角為0.因此,兩條直

8、線的夾角的取值范圍 是o,f,而兩條相交直線夾角的取值范圍是（0,.2、夾角公式的推導(dǎo)設(shè)兩條直線的方程分別為小/ +濟(jì)y + q=O （%,不全為零）/2 ： a2x + b2y + c2 =0 （%，4不全為零）設(shè)乙與乙的夾角為0，4與乙的一方向向量分別為房與工，其夾角為夕，且I二a = 7t-0,如圖乙所示.十日工 . 4 出, I axa +byb1 I于是得：cos a =1 cosg 1=1=z- 1= 1 .=,一 二I 4 I I 4 Jaj + .J - yja2 +b22即為直線與/）的夾角公式.特別地,當(dāng)且僅當(dāng)+4% =0時(shí)，4與，2的夾角為，即人與，2垂直也就是說(shuō)：/1

9、± /2 <=> 4垂直“2 = n垂直2 = aa2 +"1 =0（其中1，n2分別為/與，2的一個(gè) 法向量）而由由出+4A =0,易得當(dāng)仇工0力，工0時(shí)，有3_0=一1,即當(dāng)兩條直線的斜率都存 A b2在時(shí)，與人垂直的充要條件是勺上=一1,其中勺，鼠分別為直線與。的斜率.例題6 （2019上海青浦高三一模）直線4-1=。和直線4：向一），=。的夾角大小是【答案】:6【解析】直線/1：x l=O的傾斜角為直線4： Ay=o的斜率為JJ，傾斜角為9，.直線小工一1=。和直線/2：&一），= 0的夾角大小為三，故答案為：專(zhuān)題訓(xùn)練例題2 （2020上海閔行高

10、三二模）若直線，戊+ /9 + 1=。的方向向量為（1,1）,則此直線的傾斜角為，1T【答案】一 4【解析】;,直線內(nèi)+力+ 1=。的方向向量為（1,1）,直線的斜率為1.TT ，直線的傾斜角為一.47T 故答案為：一.42. （2020上海徐匯高三二模）設(shè)二次函數(shù)/（工）=（2加+ 1K2+九丫一/一2,（成 eR且7金一；）在2,3上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則/+2的最小值為4153【解析】由題，當(dāng)xw2,3時(shí),f （力=（2"+1）爐+加一加- 2=0有解,則可設(shè)點(diǎn)（加,）在直線（2/-1）? +初+ （/-2）= 0上，則表示原點(diǎn)到點(diǎn)（/幾）的距離的平方,/+/的最小值為原點(diǎn)到直線(

11、2/-1)7 +初+卜2-2)=。的距離的平方,/-4/+4 _ 1 113x2-154x4-3x2+1 -4-4 4x4-3x2 + 1 -令，=13酎-1537,102,r169原式=二了4（廿113（31+1二一鼠4，+ % + 81，I 13 I 13 Ji484484因?yàn)?r + + 81 2 2x88+81=257,當(dāng)且僅當(dāng)4/= ，即f = 11時(shí)等號(hào)成立,不符合題意,/t4844所以當(dāng)1 = 37時(shí),小+最小，此時(shí)d2取得最小值為一, t534則"廣+ "2的最小值為一， 534故答案為：一 533. （2020上海徐匯高三二模）已知直線（“ + 2）x +

12、 （l-a）y-3 = 0的方向向量是直線 （。一1八+（2。+ 3），+ 2 = 0的法向量，則實(shí)數(shù)。的值為【答案】±1【解析】由題，因?yàn)橹本€（" + 2）x+（l-3 = 0的方向向量是直線m l）x+（為+3）y + 2 = o的法 向量，所以兩直線垂直,則（。+ 2）（4 1）+（14）（2。+3） = 0,即（4-1）（ + 1） = 0,所以。=±1 ,故答案為:±14. （2020徐匯上海中學(xué)高三其他）對(duì)于任意滿足不等式/+），2 4機(jī)的實(shí)數(shù)-y,都能使得不等式組"+ ） "2應(yīng)成立，則洲的最大值是.x-2y<4【

13、答案】5【解析】x+ y < 2>/2由題意可知，不等式組,表示的可行域如圖：x-2y<4以（0,0）為圓心的圓在不等式組，所表示的區(qū)域內(nèi), 半徑最大的圓/ +卡=?應(yīng)與直線相切,.|00-4| 4 小圓心到工一2），-4 = 0的距離為：4 = J百=工"圓心到工+>-2四=0的距離為：5 =0-0-2閭由于4 <4,.符合題意的最大的圓為：x2+y2 = ,的最大值是：.故答案為：.5. （2020上海高三其他）如圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上, 邊83c3上有10個(gè)不同的點(diǎn)兒打，記。，記M,=AB,AFj （i = l,2,1

14、0）,則A/1+ A/、+ +A/1c =【答案】180【解析】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系,可得打（3.6）, B、（5,5 , G（6.O）,直線83G的方程為y = -#*-6）,可設(shè)6（%,凹），可得Ai + X = 6。,即有 M, = AB2 . APt = 3% + JJr=+ g）=18，則Mi +知2+.+加2 = 18x10 = 180.故答案為：180.6. （2020上海復(fù)旦附中青浦分校高三月考）已知兩條直線4：公；一2），-3 = 0,/2：4工+ 6t-1=0,若右的一個(gè)法向量恰為的一個(gè)方向向量，則=【答案】3【解析】,/ /1的一個(gè)法向量恰

15、為"的一個(gè)方向向量,.d直線4的斜率為用=三，直線4的斜率為3 =:， 由占右=一1，得x（-：）= T.4 = 3.故答案為：3.7.（2019長(zhǎng)寧上海市.延安中學(xué)高三三模）點(diǎn)（2,1）到直線3x + 4y = 0的距離為【答案】2【解析】13x2 + 1x41 -依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)（2,1）到直線3x + 4y =。的距離為 /、=2。J3- +4-7.（2017長(zhǎng)寧上海市延安中學(xué)高三三模）將一顆均勻的骰子擲兩次，第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為。，第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為，則方程組ax+by = 3c C有唯一解的概率是 x + 2y = 2【答案】2 12【解析】ax + bv =

16、3由題意可知，方程組有唯一解轉(zhuǎn)化為表示方程組.八的兩直線相交，x + 2y = 23 - 2W。-2=即直線h：ax+by=3與直線A： x+2j=2相交，又所有的可能出現(xiàn)的結(jié)果（。，6）共有6x6 = 36種，當(dāng)直線人與A平行時(shí)，應(yīng)有故其中滿足直線人與直線上平行的結(jié)果Q, b）共有：（1, 2）、（2, 4）、（3, 6）,總計(jì)3個(gè)，故直線人與平行的概率為又由6的意義可知兩條直線不重合, 36311故直線人與，2相交的概率為1 =，36 12311，方程組有唯一解的概率為1-一=2，36 12故答案為：12& (2017上海高三其他)若分別過(guò)戶(1,0), 0(2,0), H(4,0

17、), S(8,0)四個(gè)點(diǎn)各作一條直線，所得四條直線恰用成正方形，則該正方形的面積不可能為()A. 317c 196D.53【答案】C【解析】如果過(guò)點(diǎn)尸(1,0),2(2.0), R(4,0),S(8,0)作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形,過(guò)夕點(diǎn)的必須和過(guò)。，R, S的其中一條直線平行和另外兩條垂直,假設(shè)過(guò)。點(diǎn)和。點(diǎn)的直線相互平行時(shí)，如圖,設(shè)直線PC與x軸正方向的夾角為6,再過(guò)。作它的平行線。，過(guò)H、S作它們的垂線RB、SC ,過(guò)點(diǎn)A作X釉的平行線分別角PC、SC于點(diǎn)M、N,則 AB = AM sin 0 = PQsin 6 = sin 6, AD = ANcosO = HScos® = 4c

18、os6,因?yàn)?A8 = AZ),所以 sin6 = 4cos8,則 tan 8 = 4,所以正方形A8C£)的面積S = AB - AD = 4sin cos 0 =4 sin。cos。4 tan 016sin10 +cos2 0 tan 20 +1 17a同理可求，當(dāng)直線PC和過(guò)R的直線平行時(shí)正方形A3CQ的面積S為丁,193當(dāng)直線PC和過(guò)S點(diǎn)的直線平行時(shí)正方形ABCD的而積S為 y,故選C.9. （2017上海高三其他）圖中曲線的方程可以是（）A. (x+y-l)-(x2 + y2 -1) = 0B.-(x2 +-1 = 0C. (x+ y-1) yjx2 +y2 -1 = 0D

19、. x +y-x2 + y2=0【答案】C【解析】由圖像可知曲線的方程是/ + V = 1或丹),一 1=o(x2+y2 >1), 故選：C.10. （2018上海市南洋模范中學(xué)高三三模）己知光線沿向量。=md + p”（ ip H 0，加£ R ,eR）照射，遇到直線/后反射，其中2是直線/的一個(gè)方向向量，萬(wàn)是直線/的一個(gè)法向量，則反射光線的方向向量一定可以表示為（）A,-md - phB.md -ph0_C.一d + mnD.pd -inri【答案】B【解析】不妨設(shè)入射光線與反射光線的方向向量模相等，即如圖中則向量1 = g+ /疣 （mp *。,加 wR,pe R）時(shí)，向

20、量 =md - pn .故選 B. ¥ /一“ 1 一d11. （2018上海市七寶中學(xué)高三三模）已知實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. （。,2B. 1,2C.【答案】BC、x + J3y、y “兩足：廠 +()，-2), =1, co = = »(0,2D.4內(nèi)【解析】設(shè)P（x, y）為圓X2 + （y -2）2 = 1上的任意一點(diǎn),則P到直線x +小y = 0的距離PM = L S'，P到原點(diǎn)的距離OP =舊+了 ,x+后 2PMJ7T7 = op= 2sin ZPOM2設(shè)圓一+（一）*與直線,，"相切，則e解得NPOM的最小值為30,，最大值為90,，:.

21、-sin 4POMQ , /. 12 sin NPOM42 .2故選5.12 . （2018上海浦東新區(qū)華師大二附中高三三模）已知平而直角坐標(biāo)系中不垂直于x軸的直線/,則“/的斜率等于是“/的傾斜角等于arctanA ”的（）A.充要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)攵20時(shí)，由直線/的斜率為，可得出直線/的傾斜角為arctanh當(dāng)k<0時(shí)，由直線/的斜率為，可得出直線/的傾斜角為乃+ arctank.反之，若直線/的傾斜角為arctank,則直線/的斜率為tan（arctank） = k.因此，“/的斜率等于我 ”是“/的傾斜角等于ar

22、ctan A ”的必要非充分條件.故選：C.213 .（2020上海崇明高三二模）己知橢圓r：二+、=1的右焦點(diǎn)為F,直線2 .x =忘）與該橢圓交于點(diǎn)& B （點(diǎn)乂位于4軸上方），x軸上一點(diǎn)C （2.0）, 代入方程得到：化簡(jiǎn)得到二+,，故點(diǎn)尸在橢圓r上.直線乂尸與直線8C交于點(diǎn)P（1）當(dāng)/ = 一1時(shí)，求線段JF的長(zhǎng)；（2）求證：點(diǎn)尸在橢圓廠上；（3）求證：S < . a /vic2【答案】（1） 些（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析 2【解析】（1）f = 1，代入橢圓方程得到a（-1,咚） F（2）計(jì)算得到j(luò) B故AA卜萬(wàn)/、BC：*5/y = （x-1）y =（r-1 vf2-r '1,0),故 = ¥x-2)消去得到）一百（）2 （3