《數(shù)學史》復習提綱

1、2006 級數(shù)本數(shù)學史復習提綱（要點）一、歷史人物或歷史事件（線索）古希臘第一個數(shù)學家：泰勒斯。0 符號由哪國家創(chuàng)造：印度。哪個學派信仰“萬物皆數(shù)”： 畢達哥拉斯。體現(xiàn)中國古代數(shù)學成熟的著作：九章算術。流數(shù)是指什么：微商。數(shù)學符號系統(tǒng)化歸功于哪個數(shù)學家：韋達。第一個中譯本幾何原本是誰翻譯：徐光啟，利瑪竇。三角形內(nèi)角和小于180 度是哪種幾何：非歐 黎曼 羅巴切夫斯基二次互反律誰證明；高斯。中國古代數(shù)學三次發(fā)展高潮：兩漢，南北朝，宋元。通過哪兩本紙草書研究古埃及的：萊茵德紙書， 莫斯科紙書。費爾馬大定理及誰攻破：xn+yn=zn 維爾納 。哪年希爾伯特發(fā)表23 個問題：1900.8.5笛卡爾萬能

2、方法:中國第一位獲得數(shù)學博士：胡明度。國際數(shù)學發(fā)展中心的轉移， “后繼數(shù)”誰提出： 佩亞諾。誰創(chuàng)立信息論：香農(nóng)。誰創(chuàng)立四元數(shù)：哈密頓。阿波羅尼奧斯關于曲線著作：圓錐曲線第一個證明一般五次及五次以上方程沒有根式解的數(shù)學家：阿貝爾。代數(shù)學一詞來源于誰著作：花拉子米。緝古算經(jīng)作者：王孝通。用現(xiàn)存什么研究美索不達米亞數(shù)學成就，中文“代數(shù)” “法線”一詞誰創(chuàng)造： 李善蘭。古希臘作圖只用什么工具：圓規(guī)，直尺。歷史上最偉大的數(shù)學家，數(shù)學最高獎，歐拉創(chuàng)立哪些符號，我思故我在是誰的名言：笛卡爾。數(shù)理統(tǒng)計奠基人：費歇爾。托勒玫定理是什么控制論誰創(chuàng)立：維納。誰創(chuàng)造對數(shù)：納皮爾。中國最早的經(jīng)書周髀算經(jīng)。物不知其數(shù)在哪

3、本著作出現(xiàn)，斐波那去數(shù)列：T=T（n-1）+T（n-2） 。畢達哥拉斯如何解釋數(shù)學20 世紀純數(shù)學特征，公理化三個原則：相容性，獨立性，完備性。歷史上最偉大女數(shù)學家：愛米諾特。二、簡答題（僅供參考）1、試述歐幾里得的偉大貢獻及其原本的缺陷。要點：歐幾里得的偉大貢獻：1）開創(chuàng)性地引進公理化方法，建立了數(shù)學的演繹體系；2）總結古希臘數(shù)學成就，使數(shù)學知識特別是幾何知識成為一門學科體系，開創(chuàng)了數(shù)學教材的先河。幾何原本的缺陷：1 ）某些定義借助于直觀描述，或措辭含糊不清；有的概念本可以定義，卻沒有定義；有的定義在以后推理或定義中并沒有再使用，等等；2）公理系統(tǒng)不完備，有些公理不獨立；3）公理系統(tǒng)的三個基

4、本條件：相容性、獨立性和完備性。2、 19 世紀初數(shù)學家們面臨18 世紀遺留下來的三個最突出的數(shù)學問題是什么？要點： 1 ）高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題；2）歐幾里德幾何空間中平行的證明問題；3）牛頓，萊布尼茲微積分算法的邏輯基礎問題。3、從傳統(tǒng)數(shù)學到近代數(shù)學，經(jīng)歷了哪幾個重要的轉折點？要點：1 ）數(shù)學研究的基本思想從以常量觀念為中心轉移到以變量觀念為中心；2）數(shù)學研究的基本方法從希臘傳統(tǒng)的幾何演繹方法轉變?yōu)樗阈g、代數(shù)的分析方法；3）新的觀點和新的方法使數(shù)學具有更強大的生命力。4、九章算術中的九章是什么？簡述九章算術的特點。要點： 九章算術是方田，粟米，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股

5、。九章算術的特點：1 ）內(nèi)容豐富，涉及算術、代數(shù)、幾何各方面知識，且實用性強；2）以計算為主，重視算法的總結概括，并且有數(shù)形結合的特點；3）以題解為中心，在題解中給出算法；4）沒有以概念和命題為核心的演繹體系的痕跡，實用性及以算為主是其基本特點。5、試述近代數(shù)學發(fā)展的幾個重要特點。要點：1）算術、代數(shù)與幾何相結合并共同發(fā)展；2）純粹數(shù)學與應用數(shù)學密切結合，互相促進，并產(chǎn)生新的結合發(fā)展的趨勢；3）數(shù)學研究走向社會化和專業(yè)化。6、試述非歐幾何的基本思想以及羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何地歷史意義。要點：非歐幾何的基本思想：用與歐氏第五公設相反的命題作為替代公設，由此出發(fā)進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的

6、定理，這些定理并不包含矛盾，因而在總體上形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，即新的幾何學非歐幾何學。羅氏非歐幾何創(chuàng)立的歷史意義：1 ）羅氏面對傳統(tǒng)的數(shù)學觀，敢于抗爭和批判，勇于堅持真理，為后人樹立了良好的榜樣；2）這是一次數(shù)學思想上的巨大突破，它擴大了人們對空間的認識，從此幾何學將從歐氏幾何的狹窄天地里轉到研究各種不同的幾何空間，如歐氏空間、羅氏空間、黎氏空間、放射空間等。7、概述數(shù)學史上的三次數(shù)學危機及其影響。要點：第一次數(shù)學危機是不可通約量即無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，它導致希臘數(shù)學家在數(shù)的概念面前止步了，結果阻礙了代數(shù)學的發(fā)展，但卻促進了綜合幾何學的形成和發(fā)展。第二次數(shù)學危機是微積分的基礎問題，特別

7、是無窮小量概念問題，它導致數(shù)學陷入自相矛盾的境地，結果出現(xiàn)了一場針對微積分基礎的大論戰(zhàn)。微積分基礎問題的解決導致眾多數(shù)學分支的創(chuàng)立，如數(shù)學分析、微分方程、復變函數(shù)、變分法、微分幾何等。第三次數(shù)學危機是集合論的基礎問題，它使許多數(shù)學家卷入了關于數(shù)學基礎的大辯論，結果導致數(shù)學三大學派的形成。8、簡述20 世紀應用數(shù)學的特點。要點：1 ）數(shù)學的應用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透；2）純粹數(shù)學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透，如數(shù)論在密碼學中的應用；3）現(xiàn)代數(shù)學在生產(chǎn)技術中的應用變得越來越直接，如現(xiàn)代大規(guī)模生產(chǎn)的管理決策、產(chǎn)品質(zhì)量控制等直接依賴于線性規(guī)劃算法

8、與統(tǒng)計方法；4）現(xiàn)代數(shù)學在向外滲透的過程中，產(chǎn)生了一些相對獨立的應用學科，如數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、控制論等。9、牛頓創(chuàng)立微積分，必須解決哪幾個基本問題？要點：1 ）純凈概念特別是建立變化率的概念；2）提煉方法提煉各種解決具體問題的方法，使其具有普遍意義；3）改變形式把概念和方法的幾何形式變成解析形式，使之應用更廣。10、簡述20 世紀數(shù)學的特點。要點： 1 ）以集合論、數(shù)理邏輯為基礎，開創(chuàng)了數(shù)學元認知的研究，出現(xiàn)了針對數(shù)學基礎的三大學派；2）數(shù)學理論更加抽象，出現(xiàn)代數(shù)化、拓撲化的趨勢，如代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓撲等；3）電子計算機進入數(shù)學計算，開創(chuàng)了新的數(shù)學分支計算數(shù)學，并開始機器證明；4）應用

9、數(shù)學出現(xiàn)眾多的新分支，數(shù)學向生物學、經(jīng)濟學、社會學、語言學等幾乎所有的領域進軍。11、簡述笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的思想要點：解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂的“坐標”的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序實屬對（x,y ）之間建立一一對應的關系，每一對實數(shù)（x,y）都對應平面上的一個點；反之，每一點都對應于它的坐標（x,y ）以這種方式可以將一個方程f（ x,y ） =0 與平面上一條曲線對應起來，于是幾何問題便可歸結為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)行的幾何結果。12、簡述元末明初中國數(shù)學停滯不前的原因？要點： 1 ）日趨嚴重的停滯性與腐朽性；2）數(shù)序發(fā)展缺少社會動力和思想刺激；3

10、）科舉考試中的明算科完全廢除；4）中國傳統(tǒng)數(shù)學本身也存在著弱點；5）籌算本身有很大的局限性；6）數(shù)學符號沒有徹底的改變；7）筆算數(shù)學還有演繹幾何，在中國的傳播都由于“天朝帝國”的妄大，自守而顯得困難和緩慢。13、與19 世紀相比，二十世紀數(shù)學發(fā)展有什么特征？要點： 1 ）更高的抽象性；2）更高的統(tǒng)一性；3）更深入的基礎探討。14、古希臘三大作圖難題要點： 1 ）化圓為方，即作一個與給定的圓面積相等的正方形；2）倍立方體。即求一個立方體使其體積等于已知立方體的兩倍；3）三等分角，即分任意角為三等份。15、對數(shù)學基礎有不同理解的三大學派是什么？要點： 1 ）以羅素為代表的邏輯主義；2）以布勞威爾為

11、代表的直覺主義；3）以希爾伯特為代表的形式主義。16、在文藝復興時期，變量數(shù)學產(chǎn)生主要背景是什么？P137要點： 1 ）機械的普遍使用引起了對機械運動的研究；2）世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達，而測定船舶位置問題要求準確的研究天體運動的規(guī)律；3）武器的改進刺激了彈道問題的研究。三、論述題（要點僅供參考）1 試述早期古希臘數(shù)學的特點，并分析其局限性。要點：早期古希臘數(shù)學的特點：1）既繼承了前一時期巴比倫數(shù)學和古埃及數(shù)的豐碩成果，又進行了創(chuàng)造性的研究活動，提出了關于數(shù)學的觀點、理論和方法；2）與他們的數(shù)學觀相聯(lián)系，希臘數(shù)學家把數(shù)學研究的領域大大擴充了，數(shù)學的范圍涉及幾何、算術、數(shù)論、天文學和

12、音樂等；3）希臘數(shù)學家把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學中，強調(diào)邏輯證明是確立數(shù)學命題的真理性的一個基本方法，從而建立了數(shù)學的演繹體系，使數(shù)學從經(jīng)驗知識上升為理論知識，真正意義的數(shù)學科學從此誕生（其標志是歐幾里得幾何原本） 。早期古希臘數(shù)學的缺陷：1 ）只接受有理數(shù)，不承認無理數(shù)，結果限制了數(shù)的概念的發(fā)展，阻礙了代數(shù)學的研究。這種狀況使古希臘的幾何學是理論的、演繹的，而它的算術則主要是經(jīng)驗的、計算的，因而導致幾何學與算術，數(shù)與形之間的長期分裂；2）即使在他們最擅長的幾何學里，也只是局限于研究那些能用直尺、圓規(guī)構造出來的那些圖形。這種做法極大限制了幾何學的研究范圍。2函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了哪幾個階段？試給出

13、最后兩個階段的函數(shù)定義，并分析其異同。要點：函數(shù)概念發(fā)展經(jīng)歷了幾何定義、解析定義、變量定義、對應定義和集合定義等五個階段。其中對應定義是黎曼給出的，即：在某個變化過程中，有兩個變量x 和y，如果對于x 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應關系，y 都有唯一確定的值與它對應，那么就把y 稱為 x 的函數(shù)，x 稱為自變量。集合定義是康托爾給出的，即：A和 B是兩個集合，如果按照某種對應關系，使A的任何一個元素在B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應關系稱為集合A到 B的函數(shù)。對應定義與集合定義的共同點是：二者都明確了函數(shù)的“對應關系”，并強調(diào)“唯一對應”；不同點是：前者只有變量概念，沒有集合

14、概念，并將變量 y 稱為自變量x 的函數(shù)；后者用集合及其元素代替變量概念，并將對應關系稱為集合到集合的函數(shù)。3為什么中國古代數(shù)學沒有形成嚴密的邏輯演繹體系？試從社會制度、文化觀念、籌算系統(tǒng)、研究風格等因素進行分析。要點： 1 ）元代以后，科舉考試制度中的明算科被完全廢除，唯以八股取士，數(shù)學社會地位低下；2）中國古代文化強調(diào)實用性，務實之風在數(shù)學研究中盛行，盡管有算法的總結，但缺乏深入的思辨和邏輯論證的處理，因而數(shù)學知識難于形成抽象性的演繹體系；3）籌算系統(tǒng)有很大的局限性，它無法演進為徹底的符號代數(shù)，同時也使復雜的演算無能為力；4）中國古代數(shù)學家一般以九章算術為研究起點，盡管以后編撰了許多數(shù)學著

15、作，但都沒有擺脫九章算術的風格，即一直以具體問題的解決為核心內(nèi)容，缺乏整個理論的研究與創(chuàng)造。4論述歐氏幾何的意義和非歐幾何產(chǎn)生的過程要點：意義是數(shù)學史上的一座理論豐碑，它最大的功績，是在于數(shù)學史中演繹范式的確立，這種范式要求的每個命題必須是在它之前已經(jīng)建立的一些命題和邏輯結論，而所有這樣的推理鏈的共同的出發(fā)點，是一些基本定義和被認為是不證自明的基本原理。過程： 1 ）最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐式幾何一樣正確的新幾何學的是高斯，但他除了在給朋友的一些信件中對其非歐幾何的思想有所透露外，高斯生前并沒有發(fā)表過任何關于非歐幾何的論著，這主要是因為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當時

16、流行的康德空間哲學相抵觸，擔心世俗的攻擊。2）波約希望通過高斯的評價而將自己關于非歐幾何的研究公諸于世；3）在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。5什么是賭注分配問題？并論述概率論產(chǎn)生的過程。（ 1）合理賭注問題是：甲乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點，若反面朝上，乙得一點，先滿 S 點者贏全部賭注，現(xiàn)假定甲乙各得a（a<s）,b（b<s） 點時，賭局中止了，問應該怎樣分配賭注問題才算合理。（2）概率論產(chǎn)生的背景：概率論起源于賭博問題的研究。十六世紀的意大利學者卡丹與塔塔利亞等人已從數(shù)學

17、角度研究過賭博問題。卡丹等人的思想并未引起重視，概率概念要旨也不明確，很快就被人遺忘a. 概率概念的要旨只是在帕斯卡與費爾瑪?shù)挠懻撝胁疟容^明確。他們研究的問題 “合理分配賭注問題”實際上是一特定場合下“數(shù)學期望”問題。費爾瑪和帕斯卡雖然在通信中沒有明確定義概率的概念，但是他們定義了使某某賭徒取勝的機遇，也就是贏的情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實際上就是概率。所以概率的發(fā)展被認為是從帕斯卡與費爾瑪開始的b. 第一個提出“數(shù)學期望”這一概念的是荷蘭數(shù)學家惠更斯。他在 1657 年發(fā)表論賭博中的推理文中提出： “在賭局開始之前，對每一個賭徒來說已有了關于結局的一種期望”。在數(shù)學史上，順序是這樣產(chǎn)生的

18、，先有“期望”概念，而古典概型的概率定義，完成可以從期望概念中導出來。c. 雅各 . 伯努利將概率論這門科學牢固地建立在數(shù)學的基礎上，提出來了大數(shù)律。他認為：先前人們對概率概念，多半從主觀方面來解釋，即說成一種“期望”，這種期望是先驗的等可能性的假設，是以古典型為依據(jù)的。這種方法有極大的局限性，也許在賭博中可用，但在更多的場合，這種方法就不可行。需要從主觀的“期望”解釋轉到了客觀的“頻率”來解釋。伯努利是現(xiàn)代概率論真正的奠基人。6試述非歐幾何的基本思想以及羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何地歷史意義，并說明數(shù)學發(fā)展的曲折性。同簡答題6，曲折性：數(shù)學史不僅僅是單純的數(shù)學成就的編年記錄，數(shù)學的發(fā)展決不是一帆風順，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊、要經(jīng)歷艱難曲折，甚至會面臨危機