概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題隨機(jī)變量及其分布

1、第二章隨機(jī)變量及其分布一.填空題1.設(shè)隨機(jī)變量XB(2,p),YB(3,p),若P(X之1)=5,則P(Y之1)=9解.P(X=0)5=1-P(X_1)=19(1-P)p=32.P(Y-1)=1-P(Y=0)=1-i<3；1,0,1,2-1解.1=3219271352,四個(gè)數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為一，一，一，,則2c4c8c16cc=22c4c8c16c16c3 .用隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)表示下述概率：P(X<a)=.P(X=a)=.P(X>a)=.P(xi<X<x2)=.解.P(X<a)=F(a)P(X=a)=P(X<a)-P(X<a)=

2、F(a)F(a0)P(X>a)=1F(a)P(x1<X<X2)=F(x2)-F(x1)24 .設(shè)k在(0,5)上服從均勻分布，則4x+4kx+k+2=0有實(shí)根的概率為1解.k的分布密度為f(k)=)500<k<5其它2_2_P4x2+4kx+k+2=0有實(shí)根=P16k2-16k-32>0=Pk<-1或k>2=5dkab5.已知PX=k=,PY=-k=(k=1,2,3),X與Y獨(dú)立,則a=,b=，聯(lián)kk2合概率分布、aa解.a,23,Z=X+Y的概率分布為=1,a611bb36b1,b=4949XJ1-2-31ababab492ababab2818

3、3ababab31227Z=X+Y-21012P240t66o(251a126a72a1Ct=(X,Y)的聯(lián)合分布為ab=216k539P(Z2)=P(X=1,Y=-3)=P(X=1)P(Y=-3)=生=24、9P(Z-1)=P(X=2,Y-3)P(X=1,Y-2)=66：P(Z=0)=P(X=3,Y-3)P(X=2,Y-2)P(X=1,Y-1)=251：P(Z=1)=P(X=2,Y=-1)P(X=3,Y=-2)=126P(Z=2)=P(X=3,Y=-1)=P(X=3)P(Y=1)=ab=72：6.已知(X,Y)聯(lián)合密度為呼(x,y)=，csin(x+y)0JT0-x,y-4,則c=其它,Y的

4、邊3緣概率密度Q(y)=.二/4二/4解.Icsin(xy)dxdy=1,c=21000-x,y-4其它所以生x,y)F+1)Sin(x+y)031當(dāng)0wyw一時(shí)4(y)=(x,y)dx=4(.21)sin(xy)dx=(21)(cosy-cos(y)04所以Y(y).(-2D(eosy-cos(-y)°»工0其它12一7.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=及直線y=0,x=1,x=e圍成，二維隨機(jī)變量(X,Y)在D上x服從均勻分布，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度在x=2處的值為e21解.D的面積=fdx=2.所以二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度為：1x生x,y)=<20(x,y)D其

5、它下面求X的邊沿密度：當(dāng)x<1或x>e2時(shí)x(x)=0當(dāng)1<x<e2時(shí)1 /*x(x)=J_(x,y)dy=f0xdy=2x,所以x(2)=7.8.若X1,X2,，Xn是正態(tài)總體NSo2)的一組簡單隨機(jī)樣本，則1g,X=(X1+X2+Xn)服從.n解.獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布)1E乙Xi1=一乙E(XJ=N<niJni苴_fU、1_aD-ZXiD(Xi)=一W01nln_2所以XN(口,)n9.如果(X,Y)的聯(lián)合分布用下列表格給出(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1111QaP69183且X與丫相互獨(dú)立，則

6、支=,P=.解.1-:,P(Y=1)181-1P(X=2)=:P(Y=2),P(Y=3)392P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)=:：一=131-1.一=P(X=2、=2)=P(X=2)P(Y=2)=()/)(二二)391-1-.-P(X-2,Y-3)-P(X-2)P(Y-3)=.(一:一，)()318112兩式相除得_9=解得a=2P,P=1,a=-.1-991810.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為丫-2-10X、113-112121212102121222301212的分布律_.ii.V=X-Y的分布律_.則i.Z=X+丫111. U=X2+Y-2的分布律解.X+Y-3-213/21/213

7、P1/121/123/122/121/122/122/12X-Y-1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+Y-2-15/4-3-11/4-2-157P2/121/121/121/123/122/122/12.單項(xiàng)選擇題1 .如下四個(gè)函數(shù)哪個(gè)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)01(A)F(x)二22x<20x<0-2<x<0,(B)F(x)=sinx0Ex<nx20Jxx:二00X:00(C)F(x)=«sinx1解.(A)不滿足F(+oo)=排除(D);(C)是答案.2. P(X=k)=cKke*/k!(k=0,2,4，

8、)是隨機(jī)變量X的概率分布，則c一定滿足(A)£>0(B)c>0(C)c九>0(D)c>0,且九>0解.因?yàn)镻(X=k)=c>ukeT/k!(k=0,2,4,)，所以c>0.而k為偶數(shù)，所以人可以為負(fù).所以(B)是答案.3. XN(1,1),概率密度為中(x),則(A)p(X<0)-P(X_0)-0.5(B)(x)=(-x),x(-二，二)(C)p(X<1)-P(X_1)-0.5(D)F(x)-1-F(-x),x(-,-)解.因?yàn)镋(X)=N=1,所以p(XM1)=P(X之1)=0.5.(C)是答案.八，八L，、10Mx二二/2,(

9、D)F(x)=x-3八10.x：:-2xJ21,排除(A);(B)不滿足單增，排除(B)；(D)不滿足F(1/2+0)=F(1/2),4.X,Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間機(jī)變量是0,1上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨(A)(X,Y)(B)X+Y_2(C)X(D)X-Y解.X5(x)1=00<x<1其它丫(y)10<y<1其它.所以小10Mx,yM1(X,Y)邛(x,y)=,甘.所以(A)是答案.0其它0_x5.設(shè)函數(shù)F(x)=d21x-00<xM1則x1(A)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù).(B)不是分布函數(shù).(C)離散型分布函數(shù).(D)連續(xù)型分布函數(shù).

10、解.因?yàn)椴粷M足F(1+0)=F(1),所以F(x)不是分布函數(shù)，(B)是答案.6.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量它們的分布函數(shù)為Fx(x),Fy(y),則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)是(A)Fz(z)=maxFx(z),Fy(z)(B)Fz(z)=max|Fx(z)|,|FY(z)|(C)Fz(z)=Fx(z)Fy(z)(D)者B不是解.FZ(z)=P(Z<z)=Pmax(X,Y)<z二PX<z且Y三z因?yàn)楠?dú)立P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z).(C)是答案.7.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為Fx(x),Fy(y),則Z=min

11、(X,Y)的分布函數(shù)是(A)Fz(z)=Fx(z)(B)Fz(z)=Fy(z)(C)Fz(z)=minFx(z),Fy(z)(D)FZ=11Fx(z)1Fy解.因?yàn)楠?dú)立FZ(z)=P(Zwz)=1P(Zz)=1Pmin(X,Y)z=1PX.z且Yz1-1-P(X<z)1-P(Y<z)=1-1-Fx(z)1-Fy(z)(D)是答案.8.設(shè)X的密度函數(shù)為中(x),而中(x)=2二(1x2),則丫=2X的概率密度是(A)2二(14y)(B)2二(4y)(C)2二(1y)(D)arctany解.Fy(y)=P(YMy)=P2XMy=P(X4)=Fx礙)2二(4y2)>(y)<F

12、y(y)=(B)是答案.9.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為9(x,y)=,_(x-y)ex0,y其它的分布密度是(A)z(Z)二52e01_4xy)x0,y0其它x-y-2(B)z(z)=e0x0,y0其它(C)Z(Z)2z4ze、0(D)(Z)=2e0z0z<0解.z=x是一維隨機(jī)變量，密度函數(shù)是一元函數(shù),排除(A),(B).'二1z1102edz=2,所以(D)不是答案.(C)是答案.注：排除法做單項(xiàng)選擇題是經(jīng)常使用而且很有效的方法.該題也可直接計(jì)算Z的密度:當(dāng)z<0時(shí)XYFz(z)=P(Z")=P(=-Fz(z)=0<z)=P(XY<2z)

13、=(x,y)dxdyxyzcNzNz=-2ze-ez(z)=Fz(z)=4ze?z0z0ng-,(C)是答案.z<010 .設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量確的是(A) PX+Y<0=1/2(C)PX-Y<0=1/2X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),則下列結(jié)論正(B) PX+Y<1=1/2(D)PX-Y<1=1/2解.因?yàn)閄和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),且X和丫相互獨(dú)立，所以X+YN(1,2),X-YN(-1,2)于是PX+Y<1=1/2,(B)是答案.11 .設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則Y=minX,2的分布函數(shù)是(A)是連續(xù)函數(shù)

14、(B)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)(C)是階梯函數(shù)(D)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)解.分布函數(shù)：FY(y)=P(YMy)=P(miiX(,2)<y)=1-P(miX(2)y)當(dāng)y之2時(shí)FY(y)=1-P(miX(2)y)=1-0=1當(dāng)0<y<2時(shí)FY(y)=1-P(miXQ)y)=1-(Xy,2y)=1-P(Xy)=P(X<y)=1-e'y當(dāng)y<0時(shí)Fy(y)=1-P(miiX(2)y)=1-(Xy,2y)=1-P(Xy)=P(X三y)=01I于是FY(y)=1-ew0y-20<y二2y：0只有y=2一個(gè)間斷點(diǎn),(D)是答案.三.計(jì)算題1.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次的命中

15、率為0.9,如果他命中目標(biāo)就停止射擊，不命中就一直到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù)X的分布密度.解.假設(shè)X表示所用子彈數(shù).X=1,2,3,4,5.i1P(X=i)=P(前i1次不中，第i次命中)=(0.1)0.9,i=1,2,3,4.當(dāng)i=5時(shí)，只要前四次不中，無論第五次中與不中，都要結(jié)束射擊(因?yàn)橹挥形灏l(fā)子彈).所以P(X=5)=(0.1)4.于是分布律為X12345p090.090.0090.00090.00012.設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品，3件次品，現(xiàn)一件一件地隨機(jī)取出，分別求出在下列各情形中直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布密度.i.每次取出的產(chǎn)品不放回；ii.每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)后放回，再

16、抽??；iii.每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回，再抽取.解.假設(shè)Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,)i.每次取出的產(chǎn)品不放回X1234p10103102312310131213111213111213P(XP(X103=2)=P(A2A)=P(4|A)P(A)1-1023P(X=3)=P(AA2A3)=P(A31A2)P(A2|A)P(A)=111213123P(X=4)=P(A41A3)PAA)P(A2|A)P(A)=1工二二111213ii.每次抽取后將原產(chǎn)品放回X12kP10310f3f3*,!”一13131311311333丫，10P(X=k)=p(AAk)=P(A)P(A)P

17、(A),(k=1,2,)1313iii.每次抽取后總以一個(gè)正品放回X|1234p1031113131310P(X=1)=P(A);133212.1231131313131313113P(X=2)=P(A2A1)=P(A2|A)P(A1)二13131223P(X=3)=P(AA2A3)-P(A3|A2A)P(A2|從尸(為)=一131313123P(X=4)=P(A41A3A2A1)P(A31A2A)P(A2|A1)P(A1)=1131313c|x|：二1113 .隨機(jī)變量X的密度為9(x)=J1x2'L，求：i.常數(shù)c；ii.X落在(，一)內(nèi)具它220的概率.1c二一JI1c1i解.1

18、=(x)dx：dx=2carcsinx|0=2c=c二,一.1d2.1f2P(X(-1/2,1/2)1/21dxarcsxny二三/2二，1_x2二二64 .隨機(jī)變量X分布密度為2x0<x：12|x|：11. (x)=二.1-x2;二,ii.(x)=2-x1MxM2I其匕I010其它求i.,ii的分布函數(shù)F(x).解.i.當(dāng)x<1時(shí)xxF(x)-J-:'：(t)dt-J-0dt=0當(dāng)一1<x<1時(shí)F(x)=j中(t)dt=Jv1-12dt=V1-x2+arcsinx+-二二2當(dāng)x之1時(shí)F(x)=10P(t)dt=1，Ji-t2dt=1-1二x-1T二x：二1x-

19、10所以F(x)=4xN1-x2+工arcsinx+121ii.當(dāng)x<0時(shí)xxF(x)=.=j(t)dt=.=0dt=0xF(x)=(t)dt=36x0tdt=x1xF(x)=(t)dt=0tdt1(2-t)dt=2x1當(dāng)2<x時(shí)x12F(x)=.J：(t)dt=0tdt,1(2-t)dt=1所以02xF(x)=<22-+2x-121Jx:00Mx：二11<x：2x-25.設(shè)測量從某地到某一目標(biāo)的距離時(shí)帶有的隨機(jī)誤差X具有分布密度函數(shù)(x)=1i=exp-4042元(x-20)2'3200,一：<x<+二試求：i.測量誤差的絕對值不超過30的概率；i

20、i.接連獨(dú)立測量三次，至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率.解.因?yàn)椋▁）(x-20)23200s<x<+9所以XN(20,402).i.P(|X卜：30)p-30<X<3。=P/-1,25:二X20:二0.2540=中(0.25)-。(-1.25)=力(0,25)-(1->(1.25)=中(0.25廣中(1,25)-1=0.59870.8944-1=0.4931.（其中6（x）為N（0,1）的分布函數(shù)）ii.P（至少有一次誤差的絕對值不超過30）=1-P（三次誤差的絕對值都超過30）=1-（0.4931）3=1-0.12=0.886.設(shè)電子元件的壽命X具有密度

21、為100：xx-100100(x)=x20?ii.三只電子元件全損壞的概率問在150小時(shí)內(nèi),i.三只元件中沒有一只損壞的概率是多少是多少？iii,只有一個(gè)電子元件損壞的概率是多少100解.X的密度中(x)=x010&x.所以x<100150100P(X：150)，100,_1令p=P(X之150)=1-32dxx2.3i. P(150小時(shí)內(nèi)三只元件沒有一只損壞)=P33ii. P(150小時(shí)內(nèi)三只兀彳全部損壞)=(1p)8271一27iii. P(150小時(shí)內(nèi)三只元件只有一只損壞)=c321丫22<3,A3J7.對圓片直徑進(jìn)行測量，其值在5,6上服從均勻分布，求圓片面積的概

22、率分布.解.直徑D的分布密度為邛(d)=f15<d<6其它D假設(shè)X=D,X的分布函數(shù)為4F(x).2F(x)=P(XEx)=P(：D£x)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0當(dāng)x>0時(shí)F(x)=P(X<x)=PQD當(dāng)4<5,即乂<ji資時(shí)F(x)=0當(dāng)5J絲<6,VJiF(x)=P(XMx)=P(二D2三x)=P*EDE.4xji4x二5二1dt二F(x)=(t)dt=dt=1,：5125x二425二4密度(x)=F'(x)-,x025二人_x£9二4其它8.已知X服從參數(shù)p=0.6的01分布在X=0,X=1下，關(guān)于丫的條件分布分

23、別為表1、表2所示表1YP(Y|X=1)P(Y|X=0)求(X,Y)的聯(lián)合概率分布解.X的分布律為,以及在Y豐1時(shí)，關(guān)于X的條件分布.X01p0.40.6(X,Y)的聯(lián)合分布為P(XP(XP(XP(XP(X=1,Y=2)=P(Y=2|X=1)P(X=1,Y=3)P(Y=3|X=1)P(X=1)41二1)二61=1)二33535=0.3=0.11=0,Y=1)=P(Y=1|X=0)P(X=0)二41=0,Y=2)=P(Y=2|X=0)P(X=0)二23=0.252=0.152=0.2512P(X=0,Y=3)=P(Y=3|X=0)P(X=0)=0.145P(X=0|Y=1)=P(Y=1)所以Y的分布律為Y123P0.40.30.3改二0-1)二”;0.5P(X=1|Y=1)=P(X=1,Y=1)0.3=0.5P(Y=1)0.6所以X|Y#10