線性回歸推導(dǎo)及實例

1、X與Y的關(guān)系數(shù)據(jù)點基本落在一條直線附近。這告訴我們，變量X與Y的關(guān)系大致可看作是線性關(guān)系，即它們之間的相互關(guān)系可以用線性關(guān)系來描述。但是由于并非所有的數(shù)據(jù)點完全落在一條直線上，因此并沒有確切到可以唯一地由一個X值確定一個Y值的程度。其它因素，諸如其它微量元素的含量以及測試誤差等都會影響Y的測試結(jié)果。如果我們要研究X與Y的關(guān)系，可以作線性擬合我們稱(2-1-1)式為回歸方程，a與b是待定常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。從理論上講，(2-1-1)式有無窮多組解，回歸分析的任務(wù)是求出其最佳的線性擬合。二、最小二乘法原理如果把用回歸方程=十雙計算得到的川i值(i=1,2,n)稱為回歸值，那么實際測量值yi與回歸值

2、i之間存在著偏差，我們把這種偏差稱為殘差，記為ei(i=1,2,3,n)。這樣，我們就可以用殘差平方和來度量測量值與回歸直線的接近或偏差程度。殘差平方和定義為：Q三0(祖=J卜當月一跖喧京必厘方西)口(2-1-2)所謂最小二乘法，就是選擇a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回歸直線?津,8工是在所有直線中與測量值殘差平方和值總是存在的。下面討論的三、正規(guī)方程組根據(jù)微分中求極值的方法可知,Q最小的一條。由(2-1-2)式可知Q是關(guān)于a,b的二次函數(shù)，所以它的最小a和b的求法。Q(a,b)取得最小值應(yīng)滿足逗=oda3Q門-U(2-1-3)由(2-1-2)式，并考慮上述條件，則da=-2工

3、仇-0占3匹=Q(2-1-4)(2-1-4)式稱為正規(guī)方程組。解這一方程組可得(2-1-5)其中(2-1-6)MH1HM也-初%-刃=%乂一2-1典i-12七聞一的=春-(2-1-7)(2-1-8)(2-1-9)1-114儲1式中，Lxy稱為xy的協(xié)方差之和，Lxx稱為x的平方差之和。如果改寫(2-1-1)式，可得1P切一人k+&芯或y-y-x-x由此可見，回歸直線是通過點(亂了)的，即通過由所有實驗測量值的平均值組成的點。從力學(xué)觀點看,(冗用即是n個散點(玉，辦)的重心位置?，F(xiàn)在我們來建立關(guān)于例1的回歸關(guān)系式。將表2-1-1的結(jié)果代入(2-1-5)式至(2-1-7)式，得出a=1231.65

4、b=-2236.63因此，在例1中灰鑄鐵初生奧氏體析出溫度(y)與氮含量(x)的回歸關(guān)系式為y=1231.65-2236.63x四、一元線性回歸的統(tǒng)計學(xué)原理如果X和Y都是相關(guān)的隨機變量，在確定x的條件下，對應(yīng)的y值并不確定，而是形成一個分布。當取確定的值時，Y的數(shù)學(xué)期望值也就確定了，因此Y的數(shù)學(xué)期望是x的函數(shù)，即E(Y|x=x)=f(x)(2-1-10)這里方程f(x)稱為Y對X的回歸方程。如果回歸方程是線性的，則E(Y|X=x)=a+3x(2-1-11)或Y=a+3x+e(2-1-12)其中一隨機誤差從樣本中我們只能得到關(guān)于特征數(shù)的估計，并不能精確地求出特征數(shù)。因此只能用f(x)的估計式y(tǒng)a

5、門工來取代(2-1-11)式，用參數(shù)a和b分別作為“和3的估計量。那么，這兩個估計量是否能夠滿足要求呢？1 .無偏性把(x,y)的n組觀測值作為一個樣本，由樣本只能得到總體參數(shù)“和3的估計值。可以證明，當滿足下列條件：(1)(xi,yi)是n個相互獨立的觀測值(2)是服從也”)分布的隨機變量則由最小二乘法得到的a與b分別是總體參數(shù)“和3的無偏估計，即E(a)=aE(b)=3由此可推知AE()=E(y)即y是回歸值在某點的數(shù)學(xué)期望值。2 .a和b的方差可以證明，當n組觀測值（xi,yi）相互獨立，并且D（yi尸（y2,時，a和b的方差為。電二哈（2-113）口-Lpf同方%n（2-1-14）以上

6、兩式表明，a和b的方差均與Xi的變動有關(guān)，Xi分布越寬，則a和b的方差越小。另外a的方差還與觀測點的數(shù)量有關(guān)，數(shù)據(jù)越多，a的方差越小。因此，為提高估計量的準確性，Xi的分布應(yīng)盡量寬，觀測點數(shù)量應(yīng)盡量多。建立多元線性回歸方程，實際上是對多元線性模型（2-2-4）進行估計，尋求估計式（2-2-3）的過程。與一元線性回歸分析相同，其基本思想是根據(jù)最小二乘原理，求解力產(chǎn)使全部觀測值用與回歸值H的殘差平方和達到最小值。由于殘差平方和Q力-珀3,力北一（44瓦西1+如豆+40）廣1-1J（2-2-5）是包劣凡的非負二次式，所以它的最小值一定存在。根據(jù)極值原理，當Q取得極值時，稀/卜上，應(yīng)滿足由（2-2-5

7、）式，即滿足，乂+%由+3%）卜口i-1見習(xí)力一小十包。十%十%。）*=0U1+/%+%和）%=0一ZfM一色十仇。十%玉十%）5=。(2-2-6)U-i（2-2-6）式稱為正規(guī)方程組。它可以化為以下形式HX*叫十（20也十（2?揖尹川十（工當bHri-lUL睥.JBRRDm十（工再；曲十天-十01,電=工碣乂i-li-Ji-li-i：肅X-M（%泡十（%鼻溝十（Z%玉,泡十十但片）=受與凹(2-2-7)i-li-lili-li-l如果用A表示上述方程組的系數(shù)矩陣可以看出A是對稱矩陣。則有(2-2-8)式中X是多元線性回歸模型中數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)矩陣,比是結(jié)構(gòu)矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣。（2-2-7）式右端常數(shù)

8、項也可用矩陣D來表示因此（2-2-7）式可寫成(2-2-9)(2-2-10)(2-2-11)Ab=D或（xxyb-XY如果A滿秩（即A的行列式*）那么A的逆矩陣A1存在，則由（2-10）式和（2-11）式得/的最小二乘估計為(2-2-12)b=/”=五幻7里也就是多元線性回歸方程的回歸系數(shù)。為了計算方便往往并不先求（無幻“，再求b,而是通過解線性方程組（2-2-7）來求bo（2-2-7）是一個有p+1個未知量的線性方程組，它的第一個方程可化為(2-2-13)瓦一了一瓦司一與片&網(wǎng)式中1x=-X八12邛盟2-1(2-2-14)將（2-2-13）式代入（2-2-7）式中的其余各方程，得上他十工1也

9、十十上1/7=%2A+4向+4%=474al十/與十十上浮%=上期(2-2-15)其中上聲=工%-弓）（弧-冗）=-（工叼）（%）2-11-1#i-1國龍程超J=工函-用）3-于）=工再涓-（工際立卬、用】內(nèi)儲15（2-2-16）將方程組（2-2-15）式用矩陣表示，則有Lb=F（2-2-17）其中于是b=L-1F（2-2-18）因此求解多元線性回歸方程的系數(shù)可由（2-2-16）式先求出L,然后將其代回（2-2-17）式中求解。求b時，可用克萊姆法則求解，也可通過高斯變換求解。如果把b直接代入（2-2-18）式，由于要先求出L的逆矩陣，因而相對復(fù)雜一些。例2-2-1表2-2-1為某地區(qū)土壤內(nèi)含

10、植物可給態(tài)磷（y）與土壤內(nèi)所含無機磷濃度（X1）、土壤內(nèi)溶于K2CO溶液并受澳化物水解的有機磷濃度（x2）以及土壤內(nèi)溶于&CQ溶液但不溶于澳化物的有機磷（x3）的觀察數(shù)據(jù)。求y對X1,X2,X3的線性回歸方程。表2-2-1土壤含磷情況觀察數(shù)據(jù)樣本序號土堞中含碟星ppm土漂中植梭可給態(tài)-y白卬Y03q,邦Eri心10.4JZ153420.42/163603工.1S377J4061刀61547.4五耳461.7心J2j77191H61R101幻1P消911C然173931Q125%1125111io.y3711：7b1223.14C11406n制1snP4?71421（5gY汨1523.1561639516q3614F0.01(2,10),說明回歸方程是高度顯著的。下面對回歸系數(shù)作顯著