相似三角形模型分析大全

1、CO第一部分相似三角形模型分析大全三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識（一）A字型、反A字型（斜A字型）CAA（二）8字型、反8字型BC（不平行）（四）一線三等角型:DEDEBAD（蝴蝶型）ABCABCDABJ（不平行）DCD中竽土廿尸我展牌（五）一線三直角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型.旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。拓展一線三等角的變形一線三直角的變形第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1、已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上，DEBABC.求證：（1）DB2DEDA；DCEDAC.證明：（1）在即E和中

2、9;'ZDEB=ZAEC）ZBDE-ZADE./.AbdeAdab）（1分）口匕昵f1鈿''6D=AD）/.BD£=AP'PE.（1分）（公二就是中線,CDg.cd2=ad*le,，賽二音一曲又/ADC=NCDE,1分）,'.decsdc%（1分）/.ZDCE=ZDJUC.（1分）例2、已知：如圖，等腰ABC中，AB=AC,ADZBC于D,CGZAB,BG分別交AD、AC于E、F.求證：BE2EFEG.解答:證明：隹接CEn如右圖所示=£B=M.AD±EC,二是re定的角平分統(tǒng)J.EEKE,ZEBC=ZEC0J又ZABC=Z

3、ACB,.".ZABC-ZEBC=ZJUCB-ZECB,即/如E二ZACEi/.ZABE=/CGF.二ZCGFZFCE.又/F£C=/OE&/.Acef<Agec,-CE;E戶EG:CEi目Pc/=EFEG又C艮=RR,-BE£=EF'EG.點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).關(guān)鍵是能根據(jù)所證連接CE相關(guān)練習(xí):1、如圖，梯形ABCD中，ADZBC,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,BECD交CA延長線于E.答案：證明:-皿"BC.二會-二OCQB又EE#CD,二-°匚OB

4、QE,§Poc£=oa-oe.2.32、如圖，已知AD為ZABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FD2FBFC.證明,連接AF.丁仙是角平分線，/.ZEAD=ZCAD,又EF為處的垂直平分統(tǒng)，樂EhZDAF=ZJiDF./.ZDAC-ZCAFZB4-ZBAD,/.ZCAfZB,Z£FC=ZJiFC-/.AACFiBAF,即匚F一至AFEF,嶺=CF5F,即FD2=CF叩F.3、已知：如圖，在RtABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，PD±AB,(第4題圖)交邊AC于點(diǎn)D(點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合)，E是射

5、線DC上一點(diǎn)，且ZEPD=ZA.設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x,BEP的面積為y.(1)求證：AE=2PE;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)BEP與4ABC相似時，求BEP的面積.1.ZDAP=ZO90&，Za=ZA三角形APDs三角形a。FD：AF=BC：AC=2：4=1：2/EPg/ZAEP=ZDEP三角形EPDs三角形hapPE：AEPD：AP=1；2他=2PE口.過EfFEF-LAEF為垂足因?yàn)镻口-Lae故IEFIFD故rNFEP=2EPr=2A故rtanA=B:/AC=2/d=EF/AF=tanZRE?=PF/EFSPtBF/AF=PF/EF-l/2故：AF

6、-2EFEF-SPF-EfiF-Ar)-(2EF-AF)故：EF=2/3AF-2/3x囚為爐，BC-2MT,微；A3-25幀：PB=AB-G2J5f故：y=l/2PB-EFl/12-2/3i<-(275-k)即：y=l/3也75k，3E與C重合,x取最大值，此時ER=2/3k=2乂4/I276),w=fi75/F即I：定義域?yàn)?，?lt;*至EjB而口.因沏故：=CFE-dMC如昊ALEFs缸c，貝hZDEA-ZA)PE/bC-DE/A：K?rAE-CE5iDET二CT4TM1(AC-AE)'+EC1=CZC-BE)1+BC1故：BE=5/2,FE=5/4故；45即的面積=172

7、BEPE=25/16雙垂型1、如圖，在ABC中，ZA=60°,BD、CE分別是ACAB上的高求證：(1)ABDsACE;(2)AADEsABC;(3)BC=2ED解答：證明：（1）CE1AB于E,BF,AC于F, .ZAFB=ZAEC/A為公共角，ABDACE（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）.（2）由（1）得AB:AC=ADAE,/A為公共角， .ADEsABC（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）（3）AADEABC .AD:AB=DEBC又:/A=60°.1.BC=2ED共享型相似三角形1、AB諜等邊三角形，D、B、C、E在一條直線上/DA120,已知BD=1,C

8、E=3,，求等邊三角形的邊長如圖,ABC是等邊三角形 /ABC4BAC4ACB=60又DBC位一條直線上 /ADB-+ZDAB4CAE吆AEC至ABC=60 ./DAE=120DAB吆CAE4DAE-/BAC=120-60°=60°由上可知/ADB=/CAE/DABhCAE .DABAEC 三角形相似對應(yīng)邊成比例 BDXAC=AB/CE.BD=1,CE=3.AB=AC=/32、已知：如圖，在RtzABC中，AB=AC,ZDAE=45°.求證：（1）以BEAACD;（2）BC22BECD.解答：證明：（1）在RtABC中，AB=AC/B=ZC=45°.（1

9、分）/BAE=/BAD+ZDAE/DAE=45,/BAE4BAD+45.（1分）而/ADChBAD+ZB=ZBAD+45,（1分）/BAE4CDA（1分）.AB&4DCA（2分）BE一AC（2）由AB&DC/得初8.（2分）BE?CD=ABAC（1分）而AB=ACBC2=aB?+AC2,BC2=2AB2.（2分）2BC=2BE?CD（1分）點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是與勾股定理聯(lián)系起來綜合性很強(qiáng),一線三等角型相似三角形例1:如圖，等邊必BC中，邊長為6,D是BC上動點(diǎn)，在DF=60°（1）求證：ZBDEACFD（2）當(dāng)BD=1,FC=3時，求BEAB

10、C是等邊三角形/B=Z0=60°./EDF=60/CDF+ZEDB=180°-ZEDF=120°/BED+ZEDB=180-ZB=120°./CDFNBED.一/B=/C=BDE相彳以CFD2、BD=1.CD=BC-BD=6-1=5BDE相彳以CFD.BE/CD=BD/CF中學(xué)生廿匹我蠲。品牌BE/5=1/3BE=5/3例2、已知在梯形ABCD中，AD旭C,ADVBC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如圖8,P為AD上的一點(diǎn)，滿足也PC=".求證；ZABPADPC求AP的長.(2)如果點(diǎn)P在AD邊上移動(點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合)，且滿足ZBPE

11、=必，PE交直線BC于點(diǎn)E,同時交直線DC于點(diǎn)Q,那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;當(dāng)CE=1時，寫出AP的長.解答：解：(1)ABC虛梯形，AD/BCAB=DC/ABP吆APB叱A=180°,/APB叱DPC吆BPC=180,/BPC4A/ABP土DPC.ABWDPCAPAP_2，歷一歷，即：口解得：AP=1或AP=4.(2)由(1)可知：ABWDPQ(1VXV4).當(dāng)CE=1時，AP=2或3一，點(diǎn)評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵.例3：如圖，在梯形ABCD

12、中，ADABC,ABCDBC6,AD3.點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMFB，射線ME交腰AB于點(diǎn)E,射線MF交腰CD于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF.(1)求證：zWIEFAZBEM;(2)若ABEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長;(3)若EFCD,求BE的長1 .證明:AB=CD. 梯形ABC陰等腰梯形,/B=/C;又/EMF=/B,則：/CMF=18Qg-/EMF-ZBME=18Qg-/B-ZBME=BEM.CMQBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. MF/EM=BM/BEZEMF=B. .MESBEM.2 .解：當(dāng)BM=BE=3時:MF/ME=BM/BE=1則MF=ME.EF/BC;

13、又BE=3=AB/2.故EF為梯形的中位線，EF=(AD+BC)/2=9/2;當(dāng)ME=BM=3f:/MEB=B=ZC=ZFMC.連接DM.BM=BC/2=3=ADKBMFRTBM則四邊形ABMM平行四邊形./DMC=B=ZFMC即F與D重合，此時EF=CD=6.3 .解：;EF±CD;/CFMWBMEWEFM./EFM=45=/BME.作EG!BMTG,則EG=GMfAHLBMTH.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=V(AB2-BH2)=3V15/2.設(shè)EG=GM=X,UBG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3，15/2),X=(45-3V15)/

14、14.BE/BA=EG/AH即BE/6=(45-3V15)/14/(3，15/2),BE=(6，15-6)/7.練習(xí):昂工智立方如圖，已知邊長為3的等邊ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF1,點(diǎn)E是射線BA上一動點(diǎn),以線段EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，直線EG,FG交直線AC于點(diǎn)M，N,(1)寫出圖中與BEF相似的三角形;(2)證明其中一對三角形相似;(3)E備用圖一ABEF<AANEi(1分)產(chǎn)CFC備用圖二設(shè)BEx,MNy,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;若AE1,試求GMN的面積.SB：(1)ABEF«AAMEACFNMAGMNJ證明：(2)在8蹉與AME中，.

15、"Z8=A=60?，,iEM+2AME=l20°，(1分)，.=GEF=6(T，人EM十/5EF=1201Z3EF=ZAME"(1分)前：(3)(i：當(dāng)點(diǎn)E在虢段處上，臣NUM在線段AC上時，如圖，丁ABEFsZME，申孝上廿滬，感品，-BE：AH=BF：&E，即：k：AM=2；(3-k)2同理可證BEFsdCFW0E：CF=0F：CNj肌if：1-2!QUCN)xJAC=RM+MM+CN，XCii)當(dāng)點(diǎn)E在線收加上，點(diǎn)G在EEC內(nèi)時，如備用圖一，同上可得；AM二±之，Cg二，2xVAC=AM+MH+CNf二一工*十3工工上3=+y+-2工產(chǎn)士上

16、士ine彳(ii)當(dāng)點(diǎn)E在線段且5上，點(diǎn)G在&ABC內(nèi)時，如曾用圖一，同上可售：AM=JE_,CMt-，1*JAC=AMyN-MN，知一工工-尸,2x.工T/FT，2x(111>當(dāng)點(diǎn)E在線段E2的直長線上時，加備用圖二,產(chǎn)312A>1=_»CN=-21'/kCMNKN-AM,，3J十工日至，x2.y=？-3-6x-4u>3)f2xlx綜上面迪汁2.37，備用圖綜上斫述：y二包三變巴2x或二產(chǎn)及;FTu>1);2x<4)(i)當(dāng)AE=1時，AGMN是邊長犬H等邊三房形,，SGMN"1父1"曰="<1分22

17、4(li)當(dāng)以E:1時.也6皿是有一個角為3(TWRtAj413皿Ofng=fc-F2巨L怎巫13JT927JT上2上H一線三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,點(diǎn)P是AD上的一個動點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作PECP,交邊AB于點(diǎn)E設(shè)PDx,AEy,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。(2)如果PCD勺面積是AEP面積的4倍，求CE的長；是否存在點(diǎn)P,使APE沿PE翻折后，點(diǎn)A落在BC上？證明你的結(jié)論。BC中字上廿滬也展牌(2)解：當(dāng)PCD勺面積是AEP面積的4倍,AE_AP_1則：相似比為2：1,，F(xiàn)D3-,.CD=2.1.AP=1,PD=2，PE

18、&,PC=2(,.EC摳(3)不存在.作AUPE,交PE于O,BC于F,連接EF.AFXPE,CP±PE若OA=AF3x2-6x+4=0_2=6-4X4X3=-12x無解因此，不存在.點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面積比是相似比的平方._._31、(2009虹口二模)如圖，在ABC中，C90,AC6,tanB-,D是BC邊4的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個動點(diǎn)，作DEF90,EF交射線BC于點(diǎn)F.設(shè)BEx,BED的面積為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BED相似，求BED的面積.申景土廿滬，<1):在必將匚中.ZC='OO&q