課后習(xí)題解答

1、AB邊界上的x,y,xy圖2-16xHr彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)之間的關(guān)系式【解答】由題可得：lcos,mcos90sinfXAB0,fvAB0xy將以上條件代入公式（2-15）,得：cosyxabsin0,yABsin(xy)ABcos0(x)AByxABtanyABtan2【2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。7五丁!兒，x圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精

2、確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17:上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100fxs0gy幾gy幾7ysgh100代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0,x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件:g(yh1),xy0;g(yN),xyxb0;在小邊界y0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件:yy0gh，xyy00在小邊界yh2±,能精確滿足下列位移邊界條件：Uyh20,Vyh20=1這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：Fs0,Fnghib,M0由于yh2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有:xyh2h2

3、h2dxxdxdxghib圖2-18上下主要邊界y=-h/2,y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式(2-15)lmfx(s)fy(S)hy2hy20-1-q1(y)y-h/2q,(yx)y-h/20,(y)yh/20,(yx)yh/2q1在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有h/2h/2(h/2h/2(h/2h/2xy)xx)xx)x0dxFs0dxFn0ydxM在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件Uxl0,vxl0這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力:

4、Fx0,FnFnqlFnqilFnFy0,FsFsql0FsqlFs121MA0,MM'FSlqlq1lh022由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故h/2h/2(x)xldyFnqilFnh/2qjhh/2(x)xlydym(Mh/2M粵MFJ日ql220FnMx【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個(gè)問題中OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于h冷l,OA為小邊界，故其上可用圣維南原理,寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：x(a)上漏面OA面上面力fx0,fy-qb由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有b

5、vdx0yy0bvcxdx0yy0b0fydxb-fvxdx0y-qdxbqbxdxb,圖2-19qb212(對(duì)OA中點(diǎn)取矩)b/2b/2qb2qb212b0yxy0dx0(b)應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反,主矩為負(fù)，則面力主矢y向?yàn)檎?h/2(xy)xldyFsqlFsbvdxFn0yy0NbvxdxM0yy0qb2qb212xy0dx綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的?！?-11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）;（2）在S

6、上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）;（3）在Su上的位移邊界條件式（2-14）;對(duì)于平面應(yīng)變問題，需將E、作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）;（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）;（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題；（4）對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變

7、分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）;（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。【2-14】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：圖2-202(a)圖2-20,外=與4，ybxy0?！窘獯稹吭趩芜B體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答,必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）;（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）;（3）應(yīng)力邊

8、界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且fx（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21),有y=與0=右b2應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此,該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答o(b)圖2-21,由材料力學(xué)公式，xxybl（取梁的厚度b=1）,得出所示問題的解答：x3xy2q甘lh3xy四三行4Ih2.一.4y）。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：3qxyy2Ih-0試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。2l（1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下,梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形，其對(duì)中性軸（Z軸）h3的慣性矩I12應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程M(x)

9、9x3,Fx6l2除o2l所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:xy23Fsx4yZ1T2bhh23qx2了書h24y2根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）yxyyx得:3qxy.2Ih32qxL2qih3根據(jù)邊界條件yyh/20qx2,T3qxy.2ih將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：22xyxy6q.6q0右滿足h3ih3第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）2222xy12q型12q過qih3qih3應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。第一章平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,

10、而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15）,將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15）,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問題的解答精度不

11、足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對(duì)象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的，因而可以不必校核。【3-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在

12、m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15）,共2m個(gè)；在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個(gè)；如果不能滿足公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共3n個(gè)?！?-4】試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所示的矩形板Ox和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）?h_l【解答】相容條件：yf圖3-8不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)ay3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式（2-25）.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得x6ay,y0,xyyx0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界

13、上無面力左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí),考察x分布情況，注意到xy左端:fx(x)x06ay0yhfyxyx00右端：fx6ay(0yh)fy(xy)xl0應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l，>h時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b,集中ei-PL-荷載p的偏心距e：('八Pbhpe2_bh/60eh/6同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，可以解決偏心壓縮問題。【3-5】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：ax2y,bxy2,cxy3,試求出應(yīng)力1h/211h/2Ox-I*分量（不計(jì)體力），

14、畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩。圖3-9(1/h)【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)2一，一axy,得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式（主要邊界，上邊界yfx(y0,2-15)y2ay,xy(lx(my面力為2axyx2axyx)sxy)sfx(s)fy(s)fy(yh)ah主要邊界，下邊界yahx向主矢:Fxh/2h/2(x)xody0y向主矢:Fyh/2h/2(xy)x0dy0主矩：Mh/2h/2(x)xoydy0次要邊界,右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢:Fxh/2h/2(x)xidyy向主矢:Fyh/2h/2(xy)xldyh/2h/2(

15、2al)dy2alh主矩：Mh/2h/2(x)xlydy0yx彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式y(tǒng)x2byfy(y次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界，由公式（2-15）得fxbh,fy,h在y一主要邊界，上邊界上，面力為2,.hhh在y-，下邊界上，面力為fxybh,fyy0222在次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件求得:在左邊界x=0,面力分布為fxx0,fyx02by面力的主矢、主矩為x向主矢:Fxh2h2x0dyy向主矢:Fyh

16、2h2xyx°dyh2h22byx0dy0主矩；Mh/2h/2(x)x°ydy在右邊界x=l上，面力分布為fxxl2bl,fyxl2by面力的主矢、主矩為h/2h/2X向主矢：Fxh/2xxidyh/22blS2blhy向主矢：Fy'h/2h/2xyxldyh/2h/22bydy0h/2h/2主矩：M'h/2xxlydyh/22b1ydy0彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示3cxy(3)將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式x6cxy,y0,xy考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）上邊界yh上，面力為3.24

17、ch，fyy下邊界y=-±,面力為23 .2hch,fyy04 2次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得:左邊界x=0上，面力分布為2fxx00,fyx03cy面力的主矢、主矩為h/2x向王矢：Fxxxody0xh/2xx0一、h/2h/2213y向王矢：Fyxydy3cydychyh/2xyx0h/24、h/2主矩：Mydy0-h/2xx0'右邊界xl上，面力分布為面力的主矢、主矩為fxxl6cly,fyxl3cy2x向主矢Fxh/2x,dyh/2xxlh/2h/26clydy0y向主矢：Fyh/2h/2yxldyh/2h/22,3

18、cydy1ch34主矩：Mh/2h/2xx1ydyh/2h/22136clydy-clh彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)F22市xy(3h24y2),能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖:h/2h/2O3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。(1與h)【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25)圖3-94222xy0,顯然滿足（2）將代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式12Fxy-0x3,y,xyhyx3F(12h（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力:在主要邊

19、界上（上下邊界）上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15),應(yīng)力yyh/201yxyh/20h因此，在王要邊界y一上，無任何面力,2即fx0,fyy在x=0,x=1的次要邊界上，面力分別為:x0:fx0,fy或1名2hh2xl:fx12Fly-3,fyh因此，各邊界上的面力分布如圖所示:在x=0,x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=0上x=l上加主矢：FnJh/2_fxdyh/20,FN2h/2fxdy0h/2則主矢：Fs1=h/2_fydyh/2yJF,Fs2h/2_fydyFh/2y、心h/2主矩：M1=1-h/2-Lydy0,m2h/2_h/2fxydyFl因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖:(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。232【3-7試證予453孑1）果3yy,4、一，一，（2方-）能滿足相容方程，并考察它在hh圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè)矩