考研數(shù)學一公式手冊大全

1、考研數(shù)學一公式手冊大全導數(shù)公式:2(tgx)=secx(ctgx)二-csc2x(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(ax)=axIna1(logax)xlna,、1(arcsinx).1一x2/、1(arccosx):.1-x2(arctgx)二一2-21x1(arcctgx)=21x基本積分表:Jtgxdx=-Incosx+CJctgxdx=lnsinx+Cfsecxdx=lnsecx+tgx+Cdx2cosxdxsinx2=secxdx=tgxC2=cscxdx=-ctgxCsecx tgxdx = secx Cdx2a xdx2x -adx2a -xdx1, x

2、-= - arctg- Can2anax -ax + aa x 八 Ccscx ctgxdx = -cscx Cxaxdx = CIn ashxdx = chx CIn2a a -x.x _=arcsin C achxdx= shx Cj dx= ln(x +Vx2 ±a2) + Cx2,a2=sinn xdx = cosn,n -1xdx = I n an2卜 Edx = 2x 42W 十、ln(x + GW)+C 2J22 , x 22x -a dx = x -a2aIn x +72222 4cx -a +C、-、a2 -x2dxx 22 a . x- a - x arcsin-

3、 CJcscxdx=Incscx-ctgx+C,x u =tg-, 2, 2dudx 二；1 u2三角函數(shù)的有理式積分:2u-1-usinx=7,cosx=1u21u一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦雙曲余弦,e-e:shx:2x-X,ee:chx二2sinx(lim二1x-0xlim(1-)x=e=2.718281828459045.一：xxx雙曲正切:thx=arshx=ln(xx21)archx=ln(x.x2-1)arthx1,1x=-ln21-x三角函數(shù)公式:和差角公式:誘導公式：、理i數(shù)角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosa

4、sinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga和差化積公式:sin(,之二l：,)=sin:cos|J,二cos：sin:cos（二：）二tg（）=cos-cos:"sin二sin:tg工-tg-Ra+Pasin工"sin

5、:=2sincos2Ra+Pasin-sin-=2cossin-P21-tg-tg:,:、ctg二ctg：-1ctg-gl-ctg：22Ra+Pa-Pcos二cos-=2coscos22Ra+Pa-Pcos：-cos-=2sinsin倍角公式:sin 2 1二2sin 二 cos：cos2二=2 cos2 二-1 =1 -2sin2 1二cos2 ;2-sin 二ctg2 1tg2 =1,2ctg :-12ctg ;2tg ;,2-tg -3sin3：= 3sin： -4sin 二3cos3： - 4cos : - 3cos：c 3tget -tg3a tg3 =f1 -3tg2：半角公式:a

6、sin=21 - cos：a cos21 cos：一 2atg2 =_1 -cos：1 - cos：sin ：,1 cos：sin*1 cos。：actg-=-1 cos：1 - cos-：1 cos：sin ：sin：1 一 cos：正弦定理：asin Absin Bc =2R sin C,、22余弦定理：c =a.2b -2abcosC冗arctgx = - arcctgx2,反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=-arccosx2高階導數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式:n(n)-vi(n*)(k)(UV)八CnUVk£(n)(nJ)-n(n-1)(n-2).n(n-1)(n-k1

7、)(nA)(k)(n)=uvnuvuvuvuv2!k!中值定理與導數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(j(b-a)柯西中值定理：f(b)-f(a)=u)F(b)-F(a)F()當F(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds=x-1+y%x,其中y'=tga化量；As： MM弧長。平均曲率：K=|詈卜口：從M點到M點，切線斜率的傾角變M點的曲率：K=lim,s-0直線：K=0;半徑為a的圓：K=工.a定積分的近似計算:b矩形法：f(x)：ab梯形法：f(x)：ab拋物線法：f (x)a函數(shù)的平均值：y二b-a,、(v。yiyni)nb-ar1,-

8、V2(y0yn)y1»b-aF(y。yn)2(y2y4”)4(y1y3yn)定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=Fs水壓力：F=pA引力：F=kmg曳,k為引力系數(shù)rbf(x)dxa均方根:空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d=|MiM2=d(x2-xi)2+(y2-yi)2+%zi)2向量在軸上的投影：PrjuABfAcosQ中是ABfeu軸的夾角。Prju(aia2)=PrjaPrja2ab=|abcos9=axbx+ayby+azbz,是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角：cos-axbxaybyazbz22a*ayabx2by2bz2ic=a黑b=axbxjk一ayaz,c=|a

9、9;bsin.例：線速度：v=wMr.bybz_axay向量的混合積：abc=(aMb)c=bxbyaz一bz=aMbccosa,a為銳角時,代表平行六面體的體積cxcz平面的方程：1、點法式：A(xxo)B(yy0)C(z-zo)=0,其中n=A,B,C,Mo(X0,yo,Z0)2、一般方程：AxByCzD=03、截距世方程：個丫一=1abc平面外任意一點到該平面的距離：d=lAxo+By0+Cz0+Dl.,A2B2C2Xx=x°mt空間直線的方程：士x0=y=三亙=t,其中S=m,n,p;參數(shù)方程：|y=y°+ntmnpz=z0Pt二次曲面：2221、橢球面：與yY.勺

10、=1abc222、拋物面：人+L=z,(p,q同號)2p2q3、雙曲面：222單葉雙曲面：與勺=1abc222雙葉雙曲面：與一冬.0=1(馬鞍面)abc多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz=dxdyfxy二u二u二udu=dxdydzfx：:yfz全微分的近似計算：；：z:dz=fx(x,y)xfy(x,y)：y多元復(fù)合函數(shù)的求導法：z=fu(t),v(t)z=fu(x,y),v(x,y)dz：:z：:u：:zA=T+*dt：:uft：:v2tz：z.uN:v=十xtu:X二vtx當u=u(x,y),v=v(x,y)時,fu.fu.du=dxdy；:x；:y隱函數(shù)的求導公式:dlxdxdy；:y隱

11、函數(shù)F(x,y)=0,dy=dxFx"Fyd2y二(_&"二(_dx2一：:xFy：:yFxFy隱函數(shù)F(x,y,z)=0,:z:xFzyFyFz隱函數(shù)方程組：*x,y,u,v)=0J=m9=G(x,y,u,v)=0c(u,v).u1；：(F,G)：N1f(F,G):x一J；:(x,v)一xF(u,x).U_1F(F,G)N1；:(F,G)y一J：:(y,v)yJ：:(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x=(t)空間曲線y=¥在點M儀0,%,4)處的切線方程:z=m千-U;G.U.VVFGuuFG-irCFI-WCGI一加x-X0_N-Voz-Zo=7t)M=

12、(M在點M處的法平面方程：(t'(to)(xXo)+w&o)(yyo)+rn'(t。)(zz0)=0若空間曲線方程為:F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0L，則切向量T=FyGyFzFzFxFxFyGz'GzGx'GxGy)曲面F(x,y,z)=0上一點乂(%,丫0,4),則：1、過此點的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)&過此點的法線方程:x-x0Fx(x0,y0,4)2、過此點的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x%)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(

13、z4)=0y-y°z-z0Fy(x0,y0,4)Fz(x0,y0,z°)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z=f(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：史=fcos中十之sin中J；xFy其中華為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。f開函數(shù)z=f(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jfxZ它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：'f=gradf(x,y)-e,其中e=cos邛i+sin中j,為l方向上的J單位向量。二f是gradf(x,y)在l上的投影。,:l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=。令：fxx(x0,y0)=Afxy(x°

14、;,y°)=B,fyy(x0,y0)=C二口2、卅入<0,(%,丫0)為極大值A(chǔ)CB>5VJ4皿1/士、A0,(x0,y0)為極小值則AC-B2<0時，無極值A(chǔ)C-B2=00寸，不確定重積分及其應(yīng)用:!”x,y)dxdy=f(rcosi,rsini)rdrd二DD'曲面z=f(x,y)的面積A=R；1+©+包'D(Ox)18y/x.x,y)d二平面薄片的重心：x=膽=-MiiP(x,y)d。Ddxdyy：(x, y)dcD：(x, y)d二D平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ix=Hy2P(x,y)db,對于y軸Iy="x2P(x,y)

15、d。DD_；(x,y)xd 二Fx - f I I3，D (x2 y2 a2)"柱面坐標和球面坐標：匚 _ f ；(x, y)yd 二Fy - f I I3,D (x2 y2 a2產(chǎn)Fz=-fa(x，y)xdD (x2y2 a2產(chǎn)平面薄片(位于xoy¥面)對冽上質(zhì)點M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz,其中:x = r cos1柱面坐標： y =r sin9, z = z其中 M = x： hi -dvQ= .(x2 y2)：dvQ設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,；藍，(?？談tinf(x,y,z)dxdydz：mF(r,z)rdrddz

16、,QQ其中：F(r,i,z)=f(rcos.rsini,z)x=rsincos球面坐標：y=rsin中sin9,dv=rd*rsin中d日dr=r2sin*drd*dez=rcos中2二二r(rTinf(x,y,z)dxdydz：mF(r,)r2sindrdd-d?d:F(r,)r2sindr70001_1.1_重心：xxdv,yydv,zzdv,MM/MIz轉(zhuǎn)動慣量：Ix=(y2z2)Pdv,Iy=(x2z2)：dv,QQ曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：x 二tP(ff(x,y)ds=f&t)W巾M(t)十中'2(t)dt(«<P)特殊情況：la

17、第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)：設(shè)L的參數(shù)方程為,x=*(t),則：yWt)PP(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t),-(t)：(t)Q：(t)J(t)dtL：兩類曲線積分之間的關(guān)系：jPdx+Qdy=J(Pcos«+QcosP)ds其中o(和口分別為LLL上積分起止點處切向量的方向角。Q二PQ二P格林公式：(一一一)dxdy=PdxQd冊林公式：(一一一)dxdy=，PdxQdyd:xFylD:xFyl當p=一y,Q=x,即：氈P=2時，彳3到D的面積：A=ffdxdy=1qxdyydx：xZD2L平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個單連通區(qū)域；2、P(x,y),Q

18、(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),且氈=空。注意奇點，如(0,0),應(yīng)二x二y減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：二Q二P.在=一時，Pdx+Qdy才是一兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：.xjy(x.y)u(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常設(shè)x0=y0=0。(Xo.yo)曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)1z2(x,y)z2(x,y)dxdyVDxy,對坐標的曲面積分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：ZJjR(x,y,z)dxdy=±JjRx,y,z(x,y)

19、dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號；、DxyJjP(x,y,z)dydz=±JjPx(y,z),y,zdydz取曲面的前側(cè)時取正號；DyzJJQ(x,y,z)dzdx=±JJQx,y(z,x),zdzdx,取曲面的右側(cè)時取正號。、Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：口Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=口(Pc。®+QcosP+Rcos?)dsZZ高斯公式:)dv=PdydzQdzdxRdxdy=(Pcos二-Qcos-Rcos)ds高斯公式的物理意義通量與散度:.斯托散度：div十處十里，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divJc。,則為消失.x二y一z通量：口A6ds

20、=口Ands=口(Pcosa+QcosP+Rcos?)ds,zzz因此，高斯公式又可寫成：jqdivAdv=由AndsQZ克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：(-)dydz(-R)dzdx(-P)dxdy=；PdxQdyRdz工一y:z:z:x一x:ydydzdzdxdxdyCOsaCOsPCOs?上式左端又可寫成：nrccc=ffrrrCGCexcycZJJEexcyczPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：丑=由空cQ_cP一5一yZz.cz£xexcyijk旋度：rotA=ccexyyZz.PQR向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：cPdx+Qdy+Rdz=qAtdsfr常數(shù)項

21、級數(shù):n等比數(shù)列：1qq-.-q=1-q等差數(shù)列：1233nn=(n1)n2調(diào)和級數(shù)：1+1+1+1是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法:別法)：1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判Py1時，級數(shù)收斂設(shè)：七變，則91時，級數(shù)發(fā)散。=1時，不確定2、比值審斂法:設(shè)：P=lim-1nT:Un'p<1時，級數(shù)收斂,則p>1時，級數(shù)發(fā)散。=1時，不確定3、定義法：sn=u1+u2+un;limsn存在,則收斂；否則發(fā)n.散。交錯級數(shù)Ui-U2U3-U4-U1+U2-U3+，UnA0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足Un之Un書一nn：，那么級數(shù)收斂且其和sEU1,其余項rn的絕對值rn

22、<Un#limUn=0、n-jpc絕對收斂與條件收斂：(1)U1+u2+Un+，其中Un為任意實數(shù);(2池卜卜2月“一-u如果(2)收斂，則肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：工1發(fā)散，而ZGC攵斂n一一1一一級數(shù):收斂;p -1時發(fā)散p .1時收斂np級數(shù):£工!，；np|x：二1時，收斂于廣|x1時，發(fā)散對于級數(shù)（3）a0 , a1x a2x2' anxn+，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存 在R,使R時收斂R時發(fā)散,其中R稱為收斂半徑。=R時不定求收斂半徑的方法：設(shè)lim二an 1a a

23、n=p，其中an，：;叫，R = 1Pan 1是的系數(shù),則：10時,R 一二 p = " 時，R = 0函數(shù)展開成哥級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x) = f (Xo)(x Xo) f(X0)2!2(x- xo)n!(n 1)()(n 1)!(xx。)”*, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的 充要條件是：lim Rn =0 n F 二x0 =0時即為麥克勞林公式：f(x) = f (0) f (0)x 工祟乂2 fXn.n!些函數(shù)展開成騫級數(shù):mm(m -1) 2(1 x) 1 mxx2!35sinx =x -(-1)n J3!5!mg) (m-n 1) n .xn!(-1 :二 x

24、 ： 1)2n 1 x+'(2n -1)!(-二：x ：二)a0f(x)=2bn1 二=一 f (x)cosnxdx冗.jr1 二=f (x)sinnxdxH 二-31(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )111 22352242162一- 12411+ +2232。.上一223214：142+-2= (相力口)6- 2=(相減)12正弦級數(shù):an=0,bn余弦級數(shù):bn二0,an2 二=f (x)sin nxdx二 02 二二一 f (x)cosnxdxji 0n =1,2,3n -0,1,2f(x)=" bnsin nxwf (x) = a0八,ancosn娓偶函數(shù)

25、 2歐拉公式:ix.Jxe+ecosx:_ixe =cosx i sin x或.2.ix-ixe-esinx=2一一一二一一ac：.f(t)=A-aAnsin(ntn)二一%(ancosnxbnsinnx)n12n4其中，=aA0,an=Ansin中n，bn=Ancos中n，毗=x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2Xsinnx,cosnX,任意兩個不同項的乘積在-n,n上的積分=0傅立葉級數(shù)：QO一二(ancosnxbnsinnx),周期二2二n1周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):f(x)QO”(ancosn11lanf(x)cosl_Ln二x,.n二x、-bnsin),同

26、期=2llln-：x,dxl(n=0,1,2)l(n =1,2,3 ),1n-x.bn=f(x)sinjdx微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y.=f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy=0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy=f(x)dx的形式，解法:fg(y)dy=f(x)dx得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。dudu.,、=u+x ,u+=(u),二dxdx齊次方程：一階微分方程可以寫成dy=f(x,y)=(x,y),即寫成丫的函數(shù)，解法:dxxdx=分離變量，積分后將衛(wèi)代替u,x(u)-ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1、階線性微分方程:dx p

27、("(x)當Q(x)=0日t為齊次方程，y=CeTP(x)dx、當Q(x)黃0時,為非齊次方程，y=(JQ(x)e""dx+C)e1'"'dx2貝努力方程：dyP(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：uux. u(x, y) =C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：du(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy=0,其中：一=P(x,y),一=Q(x,y)d2ydyf(x)=0時為齊次rP(x)Q(x)y=f(x)dxdxf(x):0時為非齊

28、次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)ypyqy=0,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：(A)r2+pr+q=0,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y”,y：y的系數(shù);2、求出()式的兩個根r1,r2&卞!據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解:r1,r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p2_4q>0)1x,r2xy=Ge1+C2e2兩個相等實根(p24q=0)y=(G+c2x)er1x一對共軻復(fù)根(p24q<0)r1=a+iP,r2=a-iPapB.一p222y=e(C)cosPx+c2sinPx)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y&q

29、uot;+py'+qy=f(x),p,q為常數(shù)f(x)=e'Pm(x)型，九為常數(shù);f(x)=e邇Pl(x)cos0x+Pn(x)sin®x型概率論與數(shù)理統(tǒng)計1 .隨機事件及其概率A 一AA - EA (A B) = AA.C.吸收律：A二七：=aA.(AB)=AA-B=AB=A-(AB)反演律：A.B=ABAB=A_.Bnn_A=Ai1i12 .概率的定義及其計算P(A)=1-P(A)若AB=P(B-A)=P(B)-P(A)對任意兩個事件AB,有P(B-A)=P(B)-P(AB)加法公式：對任意兩個事件AB,有P(A.B)=P(A)P(B)-P(AB)P(A.B)P

30、(A)P(B)nnnP(UA)=£P(Ai)-工P(AAj)+工P(AAjAk)+(-1)n“P(AA2An)i1i11'1：jin1_L:j:k_n3.條件概率PBP(AB)乘法公式P(AB)=P(A)PBA(P(A)0)全概率公式P(AAAn)=P(A)P(A2A廣P(AnAA?人)/(P(AA2An。0)nP(A)- P(ABi)i 1n=Z P(Bi) P(A Bi) i 4Bayes公式P(Bk A) =P(ABk)kP(A)P(Bk)P(A Bk) n、P(Bi)P(A Bi)i 44 .隨機變量及其分布分布函數(shù)計算P(a:二XMb)=P(XMb)-P(X<

31、a)=F(b)-F(a)5 .離散型隨機變量(1)0-1分布P(X=k)=pk(1-p)Jk=0,1(2)二項分布B(n,p)若P(A)=pP(X=k)=C；pk(1-p)n”,k=0,1,n*Possion定理limnpn=10n，,k有nmckpld-pn)n*=e一下k=0,1,2,Poisson分布P(九),kP(X=k)=e,k=0,1,2,k!6.連續(xù)型隨機變量(1) 均勻分布U(a,b)fj二0,a：x：b其他0,F(x)=x-ab-a(2)指數(shù)分布E(九)0,其他0,x:01exx_0(x-?22 二-二；x : ,二(3)正態(tài)分布N(R,仃2)1f(x)：e.2二二1F(x)

32、=2二(ti)2222二dt*N(0,1)一標準正態(tài)分布1(x)12ex2t2e 一萬dt1x1J(x)二.2二f7 .多維隨機變量及其分布二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)xyF(x,y)i.,j/(u,v)dvdu邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)x7'吸Fx(x)J-：Hf(u,v)dvdufx(x)-：,pf(x,v)dvyFY(y)ir,ir,f(u,v)dudvfY(y)二：日(u,y)du8 .連續(xù)型二維隨機變量(1)區(qū)域G上的均勻分布，U(G)rif(x,y)A，(x，y)wG國其他(2)二維正態(tài)分布jx")22dx3(y廣1O-CKJ(i_R)Jy性)2f(x,y)條

33、件分布1ve&9.二維隨機變量的ee2二二1二2-1-:?2-二：二x:二二，-二：y:二二f(x,y)=fx(x)f；x(yx)fx(x)>Q=fY(y)fxy(xy)fY(y)>Qfx(x)=J(x,y)dy=J/iy(xy)fY(y)dy"bo-bofy(y)=_：f(x,y)dx=_：fY|x(yx)fx(x)dxfx y (x y)f(x, y)fYx(yx)fx(x)fY(y)fY(y)fYx(yx)f(x,y)fxy(x|y)fY(y)fx(x)fZTx)1Q.隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望-beE(x)-xkPkk=1E(x)=i-xf(x)dx-=O

34、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望x的k階原點矩E(xk)x的k階絕對原點矩E(|x|k)x的k階中心矩E(x-E(x)k)x的方差E(xE(x)2)=D(x)x,Y的k+l階混合原點矩E(xkYl)x,Y的k+l階混合中心矩E(x-E(x)k(Y-E(Y)1x,Y的二階混合原點矩E(xY)x,Y的二階混合中心矩x,Y的協(xié)方差E(X-E(X)(Y-E(Y)X,Y的相關(guān)系數(shù)E/(XE(X)(YE(Y)，二、：D(X7D(Y)廠XYX的方差D(X)=E(X-E(X)2)22D(X)-E(X2)-E2(X)協(xié)方差cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY).E(X)E(Y)1一、一、一、D(X,

35、Y)-D(X)-D(Y)2相關(guān)系數(shù)：-XY-cov(X,Y).D(X)1D(Y)簡單整理了一下，中心極限定理及數(shù)理統(tǒng)計部分多概念少公式故未詳細列出線性代數(shù)行列式n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2“行列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aij和aij的大小無關(guān)；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|A;代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij=(-1)iJAjAj=(-1)ijMj設(shè)n行列式D:n(nA)將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為Di,則Di=(-1尸D；n(n)將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90：,所得行列式為D2,則D2

36、=(-1)D；將D主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為D3,則D3=D；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4,則D4=D;行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n(n月、副對角行列式：副對角元素的乘積X(-1)2；、上、下三角行列式(I、=|):主對角元素的乘積；n(n二)、|和，：副對角元素的乘積M(T)1、拉普拉斯展開式：C=AB、A=(-1)mnAB、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;、特征值;n對于n階行列式A，恒有：EEA=?+!(-1)kSkZn-，其中Sk為k階主子式;k2證明A=0的方法:、A=A;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解;、禾1J用

37、秩，證明r(A)<n;、證明0是其特征值；矩陣A是n階可逆矩陣：uA00(是非奇異矩陣)；=r(A)=n(是滿秩矩陣)UA的行(列)向量組線性無關(guān)；U齊次方程組Ax=0有非零解；UVbWRn,Ax=b總有唯一解；uA與E等價；UA可表示成若干個初等矩陣的乘積；uA的特征值全不為0;uATA是正定矩陣；UA的行(列)向量組是Rn的一組基;UA是Rn中某兩組基的過渡矩陣；對于n階矩陣A:AA*=A*A=AE無條件恒成立;(A1)*(A*)(A工)T=(AT)±(A*)T=(AT)*(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB/二B二A矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)

38、值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A、若A=A2.，則：I.<AJI、A=a|A2IIIAs;As)O1B-J;(主對角分塊);(副對角分塊);(拉普拉斯);(拉普拉斯)矩陣的初等變換與線性方程組一個mxn矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的:Er OF I r O O等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣 A、3,若(A) =r(B)UA|_B；行最簡形矩陣:、只能通過初等行變換獲得;、每行首個非。元素必須為1;、每行首個非。元素所在列的其他元素必須為0;初等行變換的應(yīng)用：(初等列

39、變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)若(A , E)(E , X),則 A可逆，且 X =A-；c、對矩陣(A,B)做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成A-B,即：(A,B)-(E,A'B);r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),則A可逆，且初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;,左乘矩陣A,九乘A的各行元素；右乘,九乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號E(i,j),且E(i,j),=E(i,j),例如:1(k #0)；、倍乘某仃或某列，符號E(i(k),且e(i(k)=E(i(

40、-),例如:k-k、倍加某行或某列，符號E(ij(k),且E(ij(k)-=E(ij(_k),如:(k ¥0)；D、0 <r(Am) <min(m,n)；矩陣秩的基本性質(zhì):r(AT)=r(A)；若A|_|B,則r(A)=r(B);若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)r(A+B)<r(A)+r(B);(X)r(AB)<min(r(A),r(B)；(X)如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0,則：(B的列向量全部是齊次方程組A

41、X=0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；r(A)-r(B)<n1、型如0二項展開式:、若A、B均為n階方陣，則r(AB)>r(A)+r(B)n；三種特殊矩陣的方哥:、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)M行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;cb的矩陣：利用二項展開式;1n(a+b)n=c0an+C才1+3+雷2曲|元：工a1-1+C：bn=£Cnmamb2；m=0注：I、n、Cnmn(n-1)l|H(nm1)m!(nn-m)!C0=Cn=1出、組合的性質(zhì)：cnm=C：Hncn=2nr差rC：=nCnr：;r (A) =nr (A) =n -1 ;r (A) :：: n -1、

42、利用特征值和相似對角化:伴隨矩陣:n、伴隨矩陣的秩：r(A*)=10、伴隨矩陣白特征值："(AXA=AX=?X);、A*=|AA,、A*|=|An-關(guān)于A矩陣秩的描述：、r（A）=n,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;（兩句話）、r（A）<n,A中有n階子式全部為0；、r（A）之n,A中有n階子式不為0；線性方程組：Ax=b,其中A為mxn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;線性方程組Ax=b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：

43、自由變量賦初值后求得；由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:aiixiai2x2ainXnD、a21弱氣22x2Ia-a2nxn=3,川I附川川川川皿川MIIHamixim2x2HII.Anm*n=bnaila21a12a 22III前I I Ia2b2Ax=b （向量方程， A為mxn矩陣，m個方程,n個未知數(shù)）aIaamnaia2IIIan)=p（全部按列分塊，其中p=b2<xn/、aiKi+a2x2丑|+anxn=P(線性表出)、有解的充要條件：r（A）=r（A,P）<n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）向量組的線性相關(guān)性m個n維列向量所組成的向量組A：Qi,%,l|l,c（

44、m構(gòu)成nMm矩陣A=（ai,a2,lll,am）；m個n維行向量所組成的向量組B：胃，用',111,圮構(gòu)成mMn矩陣B='PT含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)、向量的線性表出、向量組的相互線性表示=Ax=0有、無非零解；（齊次線性方程組）=Ax=b是否有解；（線性方程組）uAX=B是否有解；（矩陣方程）矩B$Am;1n與Bl刈行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（P01例14）r（ATA）=r（A）;（P101例15）n維向量線性相關(guān)的幾何意義:u 口 =0 ；=a, P坐標成比例或共線（平行）；u ot,P&quo

45、t;共面；、1a線性相關(guān)、a,P線性相關(guān)、a,P/，線性相關(guān)線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若5,。21,Ots線性相關(guān)，則3,出|,5,Cfs+必線性相關(guān)；若0,0（2,111,as線性無關(guān)，則0（1,a2,III,as工必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上nr個分量，構(gòu)成n維向量組B：若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組A（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則r<s（二版P74定理7）；向量組A能由向量組B線性表示，則r（A）<r（B）;（P86定理3）向量組A能由向量組B線性表示UAX=B有解；=r（A）=r