2018年高考數(shù)學(xué)破解命題陷阱專題15數(shù)列的通項公式的求解方法

1、專題1515數(shù)列的通項公式的求解方法一.高考命題類型：1 .累和法求通項2 .累積法求通項3 .歸納法求通項4 .項和互化求通項5 .構(gòu)造輔助數(shù)列求通項(1) an1panq的形式(2) an1panf(n)的形式6 .轉(zhuǎn)化為等差等比求通項7 .倒序相加求通項8 .分奇偶數(shù)求解9 .利用周期性求通項10 .裂項求通項二.類型舉例1 .累和法求通項例1.數(shù)列an的首項為3,bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN),若b32,甌12,則a8()A.0B.3C.8D.11【答案】B解析】由題意可謾等差數(shù)列的苜項為公差為d,所以3=4忌=3=2所”芻二鳥2d=-24-=Y,所以2二2附一8j即ia=2

2、n-8nA=勺+(吃-6H3一勺)(4)+-+(211-1。)=3+5-用(汽一1),所以餐=3,選B.練習(xí)1.已知數(shù)列an滿足a11,an1an1n11，則數(shù)列1nan的前40項的和為nn2【答案】D國斤】由已知條件得到囁廣比/%旭產(chǎn)方一而）爹，-6二|1-丁丁左右西側(cè)累加得到1 1。一嗎g+3s-出亂一日as+.+q一q二的前40項的f口，消去一些項，計算得到理，41故答案為D.【方法總結(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列的求和問題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項求和，主要用于分式能夠通過寫成兩項相減的形式從而消掉中間的項；分組求和，用于相鄰兩項之和是定值，或者有規(guī)律的;錯位相減求和，用于一個等差一

3、個等比乘在一起求和的數(shù)列。本題選擇A.1920B.325C.41D.462842041T）正好是數(shù)列5練習(xí)2.數(shù)列an滿足a1且對于任意的*.nN都有an1anEl1a1n,貝U一aia21 等 于a2017A.空B.20174032C.2017D.201840342018【解析】由題意可得:an1ann則:a11,a2a12,a3223,L,anan1以上各式相加可得:ananaa?a2017120171201840342018列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一【方法總結(jié)】：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法,根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系

4、可以依次寫出這個數(shù)個通項公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項.使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.的通項an2 .累積法求通項練習(xí)3.已知數(shù)列an滿足a1a2nan12an13an1an1n2,nN,則數(shù)列anA.1B.2n1【答案】B六C.D.12n11123123【解析【解析】見_十3+=的L L門斤1 1仆是首項為2 2公比為2 2的等比數(shù)列.- - -=2x2=2=2x2=2ffff, ,利疊加法jkijki% %十十

5、=1=1十2 2+ +2 2”十.十廣工例2.數(shù)列an滿足:a11,a22,anan1an2-.*N),則asB.1C.2D.-20132由題意可得a3a2a12,a4曳a21,a5旦a31二，a62a51a42a7生a5K+la-7.3Q2o選Coa6練習(xí)1已知數(shù)列an滿足lna1lna2,lna3.,lnan迎nNi,則a13693n2110100A A-30-40A.eB B. .eC.e于D.e丁【答案】C由學(xué)，吟*第亨 5故選C.C.3 .歸納法求通項因為前兩項均為1,是奇數(shù)，所以從第三項開始，第3n項均為偶數(shù)第3n+1項均為奇數(shù)，第3n+2項均為奇數(shù)，所以a2017一定是奇數(shù).二彳

6、（打已町例3.已知數(shù)列anif5j-n,貝Ua2017定是2A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.小數(shù)D.無理數(shù)【解析】因為an52，所以ai1島1,a32,a43,a55,L，則數(shù)列an從第3項開始，每一項均為其前兩項的和【方法總結(jié)】：由前幾項歸納數(shù)列通項或變化規(guī)律的常用方法及具體策略（1）常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見的數(shù)列）等方法.(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和,對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；k對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用1,kN處理.1,一,.的

7、一個通項公式可能是(816n111D.【解析】由已知中麴列可得獺列各項的絕對值是一個以，為苜項，以為公比的等比2481622數(shù)列，又丫數(shù)列所有的奇數(shù)項為正，偶數(shù)嗯為負(fù)，故可用(-1(-1廣來控制各項的符弓故數(shù)列的一個通項公式為(T故迭口練習(xí)2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,的通項公式是an=()1 1ifiifi2 2AA.9(10n-1)B.ml107C.y(10n-1)D.10(10n-1).【答案】B【解析】1E=0.9,1由=0.99,，故原數(shù)列的通項公式為an=i(1M.選B.練習(xí)3.兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題小石子表示數(shù)，按照

8、點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類.如下圖中實心點的個數(shù)5,9,14,20,為梯A.20232017B.20232016C.10082023D.20171008【答案】C【解析】解：觀察梯形數(shù)的前幾項，得5=2+3=a19=2+3+4=生14=2+3+4+5=a3絕對值特征；化異為同一一,.11練習(xí)1.數(shù)列112,4n1.他們在沙灘上畫點或用形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2017項為a2017,則a20175()1an=2+3+(n+2)=n1n4,21由此可得a20i75-201820215100920215,2該數(shù)的個位數(shù)字為4,結(jié)合選項只有C選項符合題意.本題選擇C選項.【方法總結(jié)】

9、：根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：相鄰項的變化特征；拆項后的各部分特征；符號特征.應(yīng)多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.4 .項和互化求通項例4.設(shè)了是數(shù)列；/的前理項和，且sn11an，則an=(22【解析】由題意可得：6 6二瓦二-一不如珥=鼻p p考查所給選項：則選項AC錯誤,本題選擇D選項.【方法規(guī)律總結(jié)】：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an,常用思路是：一是利用Sn1&a0轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系，先求出S與n之間的關(guān)系，再求an.A.B.C.D.則選項J J錯誤夕當(dāng)界=2=2時:c cIIII口

10、 r111111s s； i=q+q=i=q+q=不一5%5%即三+/二亍一不叼 為qArJKrKrMt練習(xí)1.設(shè)數(shù)列an滿足a12a222a3L2n1annnN*，通項公式是()2A1r1anB.ann12n2【答案】CC.an【解析】當(dāng)n1時,n12an2.a12a22a222an1(1)-(2)得：2n1an1ann.2n1212n.(1).(2),練習(xí)2.設(shè)數(shù)列an滿足22a3aiA.an1B.2nanC.an【解析1 1當(dāng)網(wǎng)=1時,CJj十之巧+.Tr.+1，、一，口符合，則通項公式是2n12anan-12nnN,通項公式是（C.)an-Q）馬十2勺十2%十，_十2“,=，/=;符合

11、，則通項公式是?=選0.練習(xí)3.已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn且十SnnSn1Sn1ai現(xiàn)有如下說法:Da25；當(dāng)n為奇數(shù)時,an3nm3；a2a4a2n3n2則上述說法正確的個數(shù)為（A.0個B.1個C.2個D.3因為an由題意得an16Snnan11時，a26,a25;當(dāng)n2時,an1an1161an60,所以化簡得an1an16,n2,因此當(dāng)n為奇數(shù)時,ana16上13nm3；當(dāng)n為偶數(shù)時，ana26n13n563n1；因此22n56n12a2a4a2n3n2n;所以正確的個數(shù)為3,選D.2【方法總結(jié)】：給出Sn與an的遞推關(guān)系求an,常用思路是：一是利用HnSnSn1,n2轉(zhuǎn)化為Hn的

12、遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.應(yīng)用關(guān)系式S1,n1an時，一定要注意分n1,n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在SnSn1,n2一起.5.構(gòu)造輔助數(shù)列求通項(1) an1panq的形式例5.1數(shù)列an滿足a12,an1241則a6()A.33B.32C.31D.34【答案】A【解析】數(shù)列滿足對=2%=2%=血1 1j j6 61=2(1=2(見1),1),q qT T是以2 2為公比的等比數(shù)列，苜嗔為L L得到4 41 1= =22今% %= =33.33.故答案為：AQ練習(xí)1.已知數(shù)列an滿足白=2,an+1=3an+

13、2,則an的通項公式為A.an=2n-1B.an=3n-1C.an=2n-1D.an=6n-4【答案】B【解析】an113an1,得an1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an13n,即an3n1。故選B。(2) an1panf(n)的形式一、一n11例5.2設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，2anan132n2，且3al2a2.記Tn為數(shù)列anSn的刖n項和，右nN,Tnm,則m的最小值為()A.1B.1C.2D.1323【答案】A【解析】由2an-an1=3?2廣1(n2),得，牛1-毛1-an11七12n4242n42n1由2an-an1=3?2n1(n2),且3a1=2出，可得2a2a1=

14、6,即2a1=6,得a1=3.麴列黑-口是以;為首項,以）為公比的等比數(shù)列，=-，=以嚴(yán)+1 1產(chǎn)+才一一，一1m的取小值為一.3故答案為Ao【方法總結(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列求通項的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以直接觀察，比如這個題目，一般情況下需要研究和的表達式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，做差和0比研究單調(diào)性，直接研究表達式的單調(diào)性。練習(xí)1.已知數(shù)列an的前n項和為Sn=2n1,bnan+2n1,則數(shù)列bn的前n項和為（）A.2n1n21B.2n12n21C.2nn21D.2n1n21【答案】C【解析】數(shù)列an的前n項

15、和為Sn=2n1,Sn12n11,SnSn1小2n2n12n1,代入bnan+2n1,得到bn2n12n1,求數(shù)列bn的前n項和，可以分組求和，分為一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列。Tn1222.2n1135.2n112n2n*n2nn.n21.122故答案為Co【解析】由4得4一口d=3并一2p一/=4+7+一一+3月-2=（丙1）（?3辦2）=3*:用2| |，4 4=苴了，當(dāng)耳=1 1時也符合,，數(shù)列的通項公式為222鼻!一,楨在1an13n2n2,則an的通項公式為（【答案】C23nnan.故選C.26.轉(zhuǎn)化為等差等比求通項上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)x,y有fxyfxfy,已知1f-1,若

16、一個各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足fSnfanfan11nN，其中Sn是2練習(xí)2.已知數(shù)列an滿足a11,anan13n2n則an的通項公式為（A.an3n2B.an3n2nC C. .an23nn2D.an23nn2練習(xí)3.已知數(shù)列an滿足a11,an2-A.an3nB.c2an3nnC.an23nn2【解析】由anan13n2得anan13n2,ana147.3n2n143n23n2n22an3n2n當(dāng)1時也符合，數(shù)列的通項公式為例6.設(shè)函數(shù)fx是定義在0,數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列an中第18項a18（）36【答案】C1解析】0)+fdX)Q+D.堿fH)是定義域在0；e)上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列

17、佃各項為正如.=：昵G+D當(dāng)口=1時1可得譏=匕當(dāng)9時，=：%】&T)，Jb-可得3 3Q Q=一3c(3(+1)3fl/fSn-i+l),%*&_)，32)2)ft當(dāng)龍=L%=1也適合%=2*1所以刁是以1為首項J J4為公比的等比娜%所以才+4+4+%+%【解析】由an1a2ja：1可知,an1.：an1練習(xí)4.已知數(shù)列1,an12aan匚，則a72A.1B.1C.an工或41D.2由條件可知故答案選B.an2anan2,兩邊去倒數(shù)得，故得an21n，a7an11_12anan是等差數(shù)列，故練習(xí)3.數(shù)列an中，已知對任意正整數(shù)a3n22an21,則a1a2A.2n21B.1n141C.21

18、D.334n1戶*7)7),故選民2，、，Er上，代入n=7,求得結(jié)果即可.1n已知數(shù)列an的首項a0,an1an2叵11,則a2?！痉椒偨Y(jié)】2a:已知數(shù)列an1，a要求通項，可以兩邊取倒數(shù)，得到an2是等差數(shù)列，已知an一，一1可以求出11,再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項公式,an1n1什一1，再取倒數(shù)可22A.99B.101C.399D.401解析 由此也*1=口同+2 2也%十1 1十1111可得為+1+11+1= =也+1+1+1)，業(yè)alal+1-+1-J&J&+ +1=1=1J向n n是以1 1為公差，以1 1為首項的等差數(shù)列向五二鞏為二儲=20=201 1-l-l= =3W

19、,3W,故選C C7.倒序相加求通項例7.已知1是R上的奇函數(shù),anan的通項公式為（A.anB.an2nC.ann1D.an2n3【解析】一是奇函數(shù)，F(xiàn)fnn2, a12,f2,an2,同理可得fn1(n以求出an練習(xí)4.故選C【方法總結(jié)】：本題首先考查函數(shù)的基本性質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)處理數(shù)列問題問題，十分巧妙，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，奇函數(shù)的應(yīng)用與數(shù)列第一項聯(lián)系起來，就知道該怎么對x賦值了，繼續(xù)推導(dǎo)8 .分奇偶數(shù)求解例8.已知數(shù)列an滿足a11,an1anA.0B.325C.41D.20204628441【答案】D【解析】由已知條件得到“鼻=(-聯(lián)舄可陽-/產(chǎn)二=仁-耗.硝甸=管-叼-a左右兩

20、惻累加導(dǎo)到20的前鈍項的和消去一些項，計算得到若。故答案為Do【方法總結(jié)】：這個題目考查的是數(shù)列的求和問題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項求和，主要用于分式能夠通過寫成兩項相減的形式從而消掉中間的項；分組求和,錯位相減求和，用于一個等差一個等比乘在一起求和的數(shù)列。A.32B.48C.64D.80【答案】Cn12,要求學(xué)生理解nf(t)+f(1-t)=2.本題有一定的探索性，難度大1nan的前40項的和為(用于相鄰兩項之和是定值，或者有規(guī)律的;練習(xí)1.正整數(shù)數(shù)列an滿足an11an,an是偶23an1,anwan的前7項和的最大值為S，把a1的所有可能取值按從小到大排成一個新數(shù)列bn,bn所有項

21、和為T,則ST【解析】q=2q=2則佐=4=4口5=*5=*或1,1,(D(D當(dāng)?shù)?0 0則=16=16，q=32q=32或5,5,I)I)當(dāng)伺=32,=32,則%=64,64,q=12Xq=12X或2121，當(dāng)為=53則,=1 10 0nOjnOj- -2020或3 35(2)當(dāng)a51,則a42,a34,a28或1,當(dāng)a28,則s116,當(dāng)a21,則&2；所以S248163264128254,所以ST64,故選C。2anan二.一一一.2練習(xí)2.在數(shù)列an中，an1-/12an-1an一2【答案】1a32a2111a42a322525a52a4,_*.4可以看出四個循環(huán)一次故a2017a45

22、041a1-5故選B9 .利用周期性求通項A.B.C.D.T12821203162190,44，右為一，則a2017的值為（41a1-【解析】52a22al11例9.已知數(shù)列an中，a11,an1,則a2018等于（）an1A.1B.-1C.1D.-22以上可知該數(shù)歹功周期數(shù)列？其周期為3,又因為201R=3x672+2j所以%=%;選故練習(xí)1.已知數(shù)列an滿足*、，、a1=2,an+1=1%(nN),a1,a2,a322017=()A.1B.2C.3D.-3解析1 1由遞推關(guān)系式可知：%=-4/%=-4/,=2：可得二巧可得二巧JH=%，所以練習(xí)2.已知數(shù)列anA.2B.【解析】由題意，對2

23、x(-3)xn n1 1X2J3 3滿足a13,%anan1an10,*nN,則a2016C.an1anan1an10進行變形，得an1an1an11一，a432,a53,即4個一循環(huán)，那么a2016a42,故選A.【方法總結(jié)】：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵練習(xí)2.在數(shù)列中,a11一,an21-nana15A.2B.C.D.【解析】一a1an.a11,a?Ia1a3a2a3，數(shù)列an是周期為3的數(shù)列ai5a32故選練習(xí)A.0戶,則%=(3.C.B.D.【解析】，班C.10.裂項求通項例10.數(shù)列滿足ai且對任意的1,m,nmn,an已知數(shù)列1%）*

24、N都有am力是周期為$的數(shù)列j則-a1a2等a2017A.空B.2017【答案】C20172018C.40342018D.40242017【解析】Qanamanmn對任意的m,n都成立,ana1nan1ana1n,a2a12,a3a23,.,an1n,把上面1個式子相加可得,anannn1aa2a3a20171201712018【方法點晴】本題主要考查遞推公式求通項、累加法的應(yīng)用,以及裂項相消法求數(shù)列的和,屬于中檔題項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：（1）1111；(4)111-1；此nn1n22nn1n1

25、n2外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤三.高考真題演練1.12017課標(biāo)1,理4】記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4as24,048,則a的公差為ft試題分析：設(shè)公差為d,/+q=巧f3d+為+逮2+7d=24,邑=6q+d-6al4-15d-48；2+7(f=24乜 q 山 a二必破*=4,故選秒殺解析：因為S。=班亨=3（勺十%）=4%即%貝人,+丐）一&-%）=16二用艮一仁=2/=8,解得目=4j故選C.【考點】等差數(shù)列的基本量求解【名師點睛】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如mnpq,貝Uamanapaq.2.12017課

26、標(biāo)3,理9】等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則為前6項的和為A.24B.3C.3D.8【答案】A【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a2,a3,a6成等比數(shù)列可得：a；a2a6,22即：12d1d15d,整理可得：d2d0,公差不為0,則d2,661661數(shù)列J白刖6項和為S66ald61224.22故選AA.1B.2C.4D.8(3)2n12n122n12n1聯(lián)立an為等差數(shù)列，若【考點】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計算【名師點睛】（1）等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量ai,an,d,n,3,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的

27、思想解決問題.（2）數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而ai和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法3.12017課標(biāo)II,理3我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A,1盞B,3盞C,5盞D.9盞試題分析；設(shè)塔的頂層共有燈兀盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為五，公比為2的等比數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)【考點】等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式【名師點睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合

28、理建立數(shù)學(xué)模型一一數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計算得出的結(jié)果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結(jié)論。4.12017課標(biāo)1,理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一項是2,接下來的兩項是2,21,再接下來的三項是2,21,2：依此類推.求滿足如

29、下條件的最小整數(shù)NN100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)哥.那么該款軟件的激活碼是A.440B.330C.220D.110【答案】A【解析】試題分析：由題意得，數(shù)列如下:1,1,2,1,2,4,L1,2,4,L,2k1=321;解得艮口塔的質(zhì)層共有燈 m 盞，故選入列的求和公式有:L則該數(shù)列的前12Lkk(k1)項和為2Sk(k1)1(12)L(12L2k)2k1k22要使k(k-100,有k14,此時k22k1,所以k2是之后的等比數(shù)列1,2,L,2k1的部分和，即2_t1_tk212L221,所以k2t314,則t5,此時k25329,2930對應(yīng)滿足的最小條件為N5440,故選A.2【考點

30、】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷5.12017浙江，6】已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為S,則“d0”是“&+&24”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：由用+1-2=10q+2以-2(56+1M)二人可知當(dāng)貝I品+&0,即/十戶2sL反之，虱+S廣編所以為充要條

31、件,選匚【考點】等差數(shù)列、充分必要性【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，通過公式的套入與簡單運算，可知S402S5d,結(jié)合充分必要性白判斷，若pq,則p是q的充分條件，若pq,則p是q的必要條件，該題“d0”“S4S62s50”，故為充要條件.6.12015高考北京，理6】設(shè)an是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是(A.右&a?0,則a2a30B.若aa?0,則aa20C.若0aia2,則a?g%D.若a0,則a2aa2a30【答案】CK解析】先分析四個答案支JA舉一反例與=z%=T4=-4/AO而+與4QjA錯誤,E舉同樣反例%=Z4=-L%=-476+/弋0,而B錯誤,下面針對C進行研究

32、,4是等差物列， 若(Uq但,則4s。 役公差為則4S0,數(shù)列者項均為正，由于%司空=(+d)*戔(鼻+2d)=a：+2d+,T2agd20,貝444,選c-考點定位：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重點是對知識本質(zhì)的考查.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效7.12016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列an前9項的和為27,ai08,則ai00()(A)100(B)99(

33、C)98(D97【答案】C【解析】9a36d27.試題分析：由已知，所以a11,d1,a100a199d19998,故選C.a19d8考點：等差數(shù)列及其運算【名師點睛】我們知道，等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組)，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法8.12016高考浙江理數(shù)】如圖，點列A,R分別在某銳角的兩邊上，且-*_*AnAn1An1An2AnAn2,nN,BnBn1Bn1Bn2BnBn2,nN,（PQ表示點P與Q不重合）

34、.若dnABn,Sn為ABnBn1的面積，則（）2A.&是等差數(shù)列B.S2是等差數(shù)列C.dn是等差數(shù)列D.d：是等差數(shù)列【答案】A【解析】試題分析；叫表示點4 4到對面直線的距離（設(shè)為兒】乘以|凡血工長度一半,即邑=；見外為由題目卬條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關(guān)系式，過4 4作垂目得到初始曲離舟，那么4,4,4 4和兩個垂足構(gòu)成了等腰梯形J J那么九=匕十|43|43屆|團。,其中e e為的條線的夾角，即為定值，那么睚+ +14411441劭見瓦用/，%1=入片+|44|446 6）但遇屈，作差后；取同=；（|1 1篇也刃網(wǎng)/山都為定值，所以I I現(xiàn)為定值故選隊考點：等差數(shù)列的定義

35、.【思路點睛】先求出nnn1的高，再求出nnn1和n1n1n2的面積Sn和Sn1,進而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得Sn1&為定值，即可得Sn是等差數(shù)列.9.【2016年高考四川理數(shù)】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）（A）2018年（B）2019年（C2020年（D）2021年【答案】B【解析】試題分析：設(shè)第n年的研發(fā)投資資金為a-a1130,則an1301.12n1

36、,由題意，需_n1_.一“_一一一一.an1301.12200,解得n5,故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B.考點：等比數(shù)列的應(yīng)用.【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用.在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個作為數(shù)列的首項，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結(jié)論.10.12015高考浙江，理3】已知%是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是&,若a3,a,，a8成等比數(shù)列，則（）A.ad0,dS40B.ad0,dS,0C.aid0,dS40D.ad0,dS40【答案】B.【解析】:等差數(shù)列也上小為成等比數(shù)現(xiàn)工=血十

37、2 2雙勺十7 7田=研=25 51，S.=2（研+%）=4勺+色+3d）=W）a=V。，的4=_d工弋/故選氏【考點定位】1.等差數(shù)列的通項公式及其前n項和；2.等比數(shù)列的概念【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的概念等知識點，同時考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于容易題，將ad,dS4表示為只與公差d有關(guān)的表達式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運用11.12014高考重慶理第2題】對任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是（）Aa1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,ag成等比數(shù)列D.a3,a6,為成等比數(shù)

38、列【答案】D【解析】2c試題分析：因為數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則a3a9&qaqaqa6所以，a3,%,a9一定成等比數(shù)列，故選D.考點：1、等比數(shù)列的概念與通項公式；2、等比中項.【名師點睛】本題考查了等比數(shù)列的概念與通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，利用下標(biāo)和相等的兩項的積相等更能快速作答.12.12015高考重慶，理2】在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2,則a6=()A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a62a4a22240,選B.【考點定位】本題屬于數(shù)列的問題，考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的性質(zhì)【名師點晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通

39、項公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力.是基礎(chǔ)題.13.12014福建，理3】等差數(shù)列an的前n項和Sn,若a12,012,則a6()A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】試題分析：假設(shè)公差為d,依題意可得3,2+$3x2J=12口=2斯以故選匚考點：等差數(shù)列的性質(zhì).t名師忘晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及簡單的計算問題，等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程J利用這些方程可將等差等比數(shù)列中的運算問題,引七解關(guān)于基本量的方程(組)，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決薊列問題是一種

40、行之有效的方法.14.12015高考福建，理8】若a,b是函數(shù)fxx2pxqp0,q0的兩個不同的零點，且a,b,2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】由韋達定理得abp,abq,則a0,b0,當(dāng)a,b,2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，2必4為等比中項，故abq4,b-.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，2必不是等差中項，當(dāng)a是等差中項a一，448時，2a2,解得a1,b4；當(dāng)是等差中項時，a2,解得a4,b1,綜上所述,aaaabp5,所以pq9,選D.【考點定位】等差中項和等比中項.【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項

41、和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心.三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進行討論，屬于難題.15.12014遼寧理8】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則()A.d0B.d0C.a1d0D,a1d0【答案】C【解析】分析；因為%差數(shù)列1則%=,十S-S-a,2a,2嗎=2=2小加叫又由于2 2皿為翻數(shù),勺勺t列J所以“1=2也M1=20,故選C.-S-S考點：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵，是寫出等差數(shù)列的通項，oa1an7aa2-a

42、1d0利用2a1*是遞減數(shù)列，確定彳#到2112，得到結(jié)論.2a1an1本題是一道基礎(chǔ)題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力16.12015課標(biāo)2理4】已知等比數(shù)列an滿足a3,a1a3a5=21,則a3a5a7()A.21B.42C.63D.84【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為q,則a1a1q2a1q421,又因為a13,所以q4q260,解得q22所以a3a5a7(a1a3as)q42,故選B B. .【考點定位】等比數(shù)列通項公式和性質(zhì).【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，通過求等比數(shù)列的基本量，利用通項公式求解，若注意到項的序號之間的關(guān)系，則可減少運算量，屬于

43、基礎(chǔ)題.2,_一、一、一、，一一、_，一_*_17.12016局考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項和為$.若&=4,an+i=2S+1,nCN,則ai=,&=.【答案】1121【解析】試題分析：a1a24,a22aI1a11,a23,再由an12Sn1,an2Sn11(n2)an1an2anan13an(n2),又a23a,135所以413an(n1)區(qū)-121.13考點：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前n項和.1轉(zhuǎn)化為an13an的過程中，一定要檢驗當(dāng)n1時是否滿足an13an,否則很容易出現(xiàn)錯誤.18.12017課標(biāo)3,理14】設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,貝Ua4

44、=,試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為g*很明顯g=T,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組二十2(+qj=-1,.由可得可得/=由等比數(shù)列的通項公式可得：.二勺/=-8.【考點】等比數(shù)列的通項公式【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程19.12017課標(biāo)II,理15等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a33,S410,則【答案】n1【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,【易錯點睛】由an12Snk1S

45、k那么a2b2【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）分運算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法21.12016局考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列an滿足ai+a3=10,a2+a4=5,則aaan的最大值為由題意有:數(shù)列的前裂項有:k1Skai4aln項和2d3Snai等差數(shù)列前,解得10據(jù)此:2nn項和公式；裂項求和?！久麕燑c睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a,an,d,n,8b知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是

46、等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。20.12017北京，理10】若等差數(shù)列an和等比數(shù)列a2bn滿足a1=b=-1,a4=b4=8,則一=b2試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為3q8,求得q2,d3,【名師點睛】我們知道，等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利,因此可以說數(shù)列中的絕大部【答案】64戚 E 工=222，于是當(dāng)#1二3或4時馮,4取得最大值V=64.考點：等比數(shù)列

47、及其應(yīng)用【名師點睛】高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點，在解答時要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，盡量避免小題大做.21.12015高考新課標(biāo)2,理16設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11,an1SnSn1，則Sn.1【答案】1n1111【解析】由已知得an1Sn1SnSn1Sn,兩邊同時除以Sn1sn,得1,故數(shù)列一是Sn1SnSn11以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則1(n1)n,所以Sn.Snn【考點定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系.,，-1，一，一的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題.Sn22.12016高考江蘇卷】已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1a；3

48、,S5=10,則a9的值是.【答案】20.2【解析】由S510得a32,因此22d(2d)3d3a23620.考點：等差數(shù)列性質(zhì)試題分析二i殳等比數(shù)列的公比為4,由碉4%=1口得叼+%=51*1十二h10/:廨得巧=5坳=?1 1般q=一2*=1+1=：8wx【名師點睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項公式,要搞清楚項an與Sn的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為Sn1與Sn【名師點睛】本題考查等差數(shù)列基本量，對于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關(guān)于首項及公差的兩個獨立條件即可.為使問題易于解決，往往要利用等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，如Snna一an)nam-aL),(mt1n,m、t、nN*)及等差數(shù)列廣義通項公式

49、anam(nm)d.22【考點定位】等比數(shù)列的通項公式.【名師點晴】在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a/口d等基本量，通過建立方程(組)獲得解.即等差數(shù)列的通項公式anai(n1)d及前n項和公式Snna-an)nan(n-1)d,共涉及五個量22ai,d,n,an,Sn,知其中三個就能求另外兩個，即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題，注意要弄準(zhǔn)它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量ai、d,掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算.123.12015江蘇局考，11數(shù)列an滿足a11,且an1

50、ann1(nN),則數(shù)列一的刖10項和an為【答案】20111 1解析】由題意得；4=(4-4_114_1一47)十+(叫一4十&=八十?1一14一十2十1誓2 所以 9*Si2*=2cl一片/磊嘉。.專【考點定位】數(shù)列通項，裂項求和【名師點晴】由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項.數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進行選用24.12015高考陜西，理13】