北京課改版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元《長(zhǎng)方體和正方體》知識(shí)點(diǎn)匯總

1、第一單元長(zhǎng)方體和正方體一、長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)1. 長(zhǎng)方體和正方體的特征。(1) 長(zhǎng)方體和正方體各部分的名稱。面 : 圍成立體圖形的平面圖形叫作立體圖形的面。棱 : 立體圖形中 , 兩個(gè)面相交的線段 , 叫作棱。 頂點(diǎn) : 三條棱相交的點(diǎn)叫作頂點(diǎn)。(2) 長(zhǎng)方體的特征。長(zhǎng)方體面的特點(diǎn)。a.長(zhǎng)方體共 6 個(gè)面 , 分別是上面和下面、 前面和后面、左面和右面 , 它們分別是一組相對(duì)的面。b. 把長(zhǎng)方體放在一個(gè)平面上, 從任意角度觀察 , 最多能同時(shí)看到3 個(gè)面。圖1圖2c. 一般情況下 , 長(zhǎng)方體每個(gè)面的形狀都是長(zhǎng)方形,如圖 1; 但有的長(zhǎng)方體有2 個(gè)相對(duì)的面是正方形, 其余 4個(gè)面都是長(zhǎng)方形 ,

2、 如圖 2。重點(diǎn)提示 :立體圖形和平面圖形的區(qū)別 , 平面圖形只在平面上占有一定的面積 , 立體圖形不僅在平面上占有一定的面積 , 還占有一定的空間。易錯(cuò)點(diǎn) :判斷 : 長(zhǎng)方體的 6 個(gè)面一定都是長(zhǎng)方形。 ( )錯(cuò)解分析 : 此題錯(cuò)在對(duì)長(zhǎng)方體的特征理解不全面。一般情況下 , 長(zhǎng)方體的 6 個(gè)面都是長(zhǎng)方形 , 但也有 2 個(gè)相對(duì)的面是正方形的長(zhǎng)方體。正確答案 : ?方法提示 :沿著不同的棱剪開(kāi)長(zhǎng)方體后 , 可以得到多種形狀的平面圖。d.通過(guò)折一折長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖可以發(fā)現(xiàn): 相對(duì)的面能夠完全重合, 即上面和下面、前面和后面、左面和右面完全相同。長(zhǎng)方體棱的特征。長(zhǎng)方體有 12 條棱 ; 相對(duì)的棱互

3、相平行, 相鄰的棱互 相垂直 ; 相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等, 即 4 條相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相 等。長(zhǎng)方體頂點(diǎn)的數(shù)量: 長(zhǎng)方體共有8 個(gè)頂點(diǎn)。(3) 正方體的特征。正方體的面 : 一個(gè)正方體有6 個(gè)面 , 每個(gè)面都是正方形 , 并且 6 個(gè)面完全相同。正方體的棱 : 正方體有 12 條棱 ,12 條棱的長(zhǎng)度都 相等 , 相對(duì)的棱互相平行, 相鄰的棱互相垂直。 重點(diǎn)提示 :正方體的頂點(diǎn) : 正方體有 8 個(gè)頂點(diǎn)。有 2 個(gè)正方形的面的長(zhǎng)方2. 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)。體中有 8 條棱的長(zhǎng)度相等 , 而另外 4 條棱的長(zhǎng)度相等。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱, 分別叫作長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。長(zhǎng)方體的 12 條棱

4、可以分成3 組 , 即 4 條長(zhǎng)、4 條寬、4 條高 ,4 條相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等。長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=( 長(zhǎng) +寬 +高) ×4。 3. 正方體棱和棱長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)。正方體有 12 條棱 , 每條棱的長(zhǎng)度都相等。正方體棱長(zhǎng)的總和=1 條棱的長(zhǎng)度× 12。 4. 長(zhǎng)方體和正方體的關(guān)系: 正方體是特殊的長(zhǎng)方體。5. 長(zhǎng)方體和正方體的聯(lián)系與區(qū)別。面棱頂點(diǎn)重點(diǎn)提示 :個(gè)數(shù)形狀大小關(guān)系條數(shù) 長(zhǎng)度關(guān)系個(gè)數(shù)對(duì)于同一個(gè)長(zhǎng)方體來(lái)說(shuō) ,每個(gè)面一般它的擺放方式不同 , 所對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)方形 , 也相對(duì)的面相對(duì)的長(zhǎng)、寬、高也就不同。一般把長(zhǎng)方6可能有兩個(gè)形狀相同 ,12 棱長(zhǎng)度8體底面較長(zhǎng)的那條棱叫作長(zhǎng)、底相

5、對(duì)的面是面積相等相等面較短的那條棱叫作寬 , 垂直正方形于底面的那條棱叫作高。正方每個(gè)面都是面積都相12 條棱6128體正方形等都相等二、長(zhǎng)方體和正方體的表面積1. 長(zhǎng)方體、正方體表面積的意義。(1) 長(zhǎng)方體的表面積 : 把長(zhǎng)方體 6 個(gè)面的面積合在一起, 就是長(zhǎng)方體的表面積。重點(diǎn)提示 :正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體。重點(diǎn)提示 :長(zhǎng)方體和正方體展開(kāi)圖(2) 正方體的表面積 : 把正方體 6 個(gè)面的面積合在一的形狀不是唯一的, 可以有多起, 就是正方體的表面積。種展開(kāi)方法。2. 長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算方法。(1) 長(zhǎng)方體的表面積 =長(zhǎng)×寬× 2+長(zhǎng)×高

6、15; 2+寬× 高× 2=(長(zhǎng)×寬 +長(zhǎng)×高 +寬×高 ) ×2。(2) 長(zhǎng)方體表面積的字母公式: S=2ab+2ah+2bh=( ab+ah+bh) × 2。( S表示長(zhǎng)方體的表面積 , a、 b、h 分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高 )3. 正方體的表面積的計(jì)算方法。(1) 正方體的表面積 =棱長(zhǎng) ×棱長(zhǎng) ×6。 2(2) 正方體表面積的字母公式: S=6a。 ( S 表示正方體的表面積 , a 表示正方體的棱長(zhǎng))易錯(cuò)點(diǎn) : 棱長(zhǎng) 1 厘米的正方體的體積是 1 厘米 3, 但是體積為 1 厘米 3 的物體

7、不一定就是棱長(zhǎng)為 1 厘米的正方體。重點(diǎn)提示 :已知長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式中的任意三個(gè)量 , 都可以求出第四個(gè)量。 即 V=abh、a=V÷ b÷h、b=V÷a÷h、 h=V÷a÷ b。三、長(zhǎng)方體和正方體的體積1. 體積和體積單位。(1) 物體所占空間的大小叫作物體的體積。(2) 體積單位 : 常用的體積單位有厘米3、分米 3、米重點(diǎn)提示 :3。a×a×a 可以寫(xiě)成 a3, a31 厘米3: 棱長(zhǎng) 1 厘米的正方體 , 它的體積是1 厘米讀作 a 的立方 , 表示 3 個(gè) a 相3。乘。1分米 3: 棱長(zhǎng) 1 分米的

8、正方體 , 它的體積是1 分米易錯(cuò)題 :3。 1 米 3: 棱長(zhǎng) 1 米的正方體 , 它的體積是 1 米 3。體積的大小是由體積單位的個(gè)數(shù)決定的。(3) 體積單位的換算。1 米 3=1000 分米 3 或 1 m3=1000 dm3;1 分米 3=1000 厘米 3 或 1 dm3=1000 cm3。相鄰的兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率都是1000。2. 長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式。(1) 長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式。長(zhǎng)方體的體積 =長(zhǎng)×寬×高 (2) 用 V表示長(zhǎng)方體的體積 , 用 a、b、h 分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高 , 那么長(zhǎng)方體的計(jì)算公式用字母表達(dá)式為 V=abh。3. 正方體

9、的體積計(jì)算公式。(1) 正方體是特殊的長(zhǎng)方體 , 即正方體是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體 , 根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出正方體的體積公式。長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高正方體的體積 =棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) × 棱長(zhǎng)(2) 如果用 V表示正方體的體積 , 用 a 表示正方體的棱長(zhǎng) , 那么正方體體積計(jì)算公式用字母表達(dá)式為V=a×a3×a, 通常寫(xiě)成 V=a。(3) 長(zhǎng)方體、正方體統(tǒng)一的體積計(jì)算公式。判斷 : a3 一定大于 3a。()錯(cuò)解分析 : a3 表示 3 個(gè) a相乘 , 即 a×a×a;3 a 表示 3 個(gè)a 相加 , 即 a+

10、a+a; 當(dāng) a=1時(shí) , a3=1,3 a=3, a3 小于 3a。正確答案 : ?重點(diǎn)提示 :計(jì)算體積從外部測(cè)量數(shù)據(jù) , 計(jì)算容積從容器里面測(cè)量數(shù)據(jù)。易錯(cuò)題 :判斷 : 電冰箱的體積和容積相等。 ()錯(cuò)解分析 : 此題錯(cuò)在沒(méi)有理解容積和體積之間的區(qū)別 , 兩者之間雖有聯(lián)系 , 但意義完長(zhǎng)方體的體積 = 長(zhǎng)×寬 ×高全不同。冰箱的體積指的是冰(底面積 )棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) ( 看作高 )箱所占空間的大小 , 冰箱的容正方體的體積 =(底面積 )積指的是冰箱容納物體的體長(zhǎng)方體 ( 或正方體 ) 的體積 =底面積×高積 ; 計(jì)算冰箱的體積要從外部如

11、果用 V 表示體積 , S表示底面積 , h 表示高 , 長(zhǎng)方測(cè)量數(shù)據(jù) , 計(jì)算冰箱的容積要從里面測(cè)量數(shù)據(jù)。因此電冰箱體、正方體統(tǒng)一的體積計(jì)算公式可以表示為V=Sh。的體積和容積相等是錯(cuò)誤的。四、容積正確答案 : ?1. 容積的意義和單位。(1) 容器 : 包裝箱、油桶、醫(yī)院用的注射器、集裝箱等都是用來(lái)容納物體的 , 通常被稱為容器。(2) 包裝箱、油桶、倉(cāng)庫(kù)等 所能容納物體的體積 ,通常叫作它們的容積。(3) 容積的單位 : 計(jì)量容積一般就用體積單位 , 如厘米 3、分米 3、米 3, 但計(jì)量容器內(nèi)所盛的液體的體積時(shí) ,通常用“升”“毫升”作單位。升用字母“ L”表示 , 毫升用字母“ mL

12、”表示。計(jì)量較大容器的容積用“升”作單位 , 計(jì)量較小容器的容積用“毫升”作單位。2. 容積單位間的進(jìn)率及容積單位與體積單位間的換算。(1)1 升=1000 毫升1 L=1000 mL (2)331分米 =1升1 dm=1 L 331 厘米 =1 毫升1 cm=1 mL3. 容積的計(jì)算方法。(1) 規(guī)則容器容積的計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同 , 但要從容器的里面測(cè)量所需的數(shù)據(jù)。(2) 求不規(guī)則較小容器的容積時(shí) , 可用量杯或量筒測(cè)量容器中所容納的液體的體積 ; 求不規(guī)則的較大容器的容積時(shí) , 可以借助液體把它轉(zhuǎn)化成求規(guī)則容器的容積方法提示 :來(lái)計(jì)算。在研究一般性問(wèn)題之前,先研究幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別

13、的、4. 容積與體積的聯(lián)系與區(qū)別。特殊的情況 , 從而歸納出一般(1) 容積與體積的聯(lián)系 : 容積的大小可以通過(guò)所能容納物體的體積呈現(xiàn)出來(lái), 容積的計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同。(2) 容積與體積的區(qū)別。的規(guī)律和性質(zhì)。意義不同 , 體積是指物體所占空間的大小; 容積是指所能容納物體的體積。計(jì)算時(shí) , 測(cè)量數(shù)據(jù)的方法不同, 計(jì)算體積從物體的外部測(cè)量所需數(shù)據(jù); 計(jì)算容積從容器的里面測(cè)量所需數(shù)據(jù)。有容積的物體一定有體積, 但有體積的物體不一定有容積。五、探索規(guī)律1. 組合正方體表面涂色情況的規(guī)律。如果用 n 表示正方體的棱長(zhǎng), 那么 , 規(guī)律如下 :(1)3 面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)=正方體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)=8。(2)2 個(gè)面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)=正方體棱的條數(shù)乘棱長(zhǎng)減 2 的差 =12×( 棱長(zhǎng) - 2) =