全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽大綱(修訂稿)及全部定理內(nèi)容

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽大綱及全部定理內(nèi)容一、平面幾何1、 數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補(bǔ)充要求：面積和面積方法。2、 幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、 幾個重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)- 費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)- 重心。4、幾何不等式。5、簡單的等周問題。了解下述定理：在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。6、幾何中的運(yùn)動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。7

2、、復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。二、代數(shù)1、 在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。三倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。2、 第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。3、n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。4、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應(yīng)用。5、 圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式。6、一元n 次方程（多項式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理。7、 簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同

3、余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。三、立體幾何1、多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。2、正多面體，歐拉定理。3 、體積證法。4 、截面，會作截面、表面展開圖。四、平面解析幾何1、直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。2、二元一次不等式表示的區(qū)域。3、三角形的面積公式。4、圓錐曲線的切線和法線。5、圓的冪和根軸。五、其它抽屜原理。容斤原理。極端原理。集合的劃分。覆蓋。數(shù)學(xué)競賽中涉及的重要定理1、 第二數(shù)學(xué)歸納法：有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果：(1)當(dāng)n= 1時，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nw k時命題成立，由此

4、可推得當(dāng)n=k+1時，命題也成立。那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立。2、 棣美弗定理：設(shè)復(fù)數(shù) z=r(cos 0 +isin ,0其 n 次方 zAn = rAn (cos(n0 )+isin(n,其則 n 為正整數(shù)。3、 無窮遞降法：證明方程無解的一種方法。其步驟為：假設(shè)方程有解，并設(shè) X為最小的解。從 X推出一個更小的解 丫。從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解。4、 同余：兩個整數(shù)a, b,若它們除以整數(shù) m所得的余數(shù)相等，則稱a, b對于模m同余，記作 a = b (mod m),讀作a同余于b模m,或讀作a與b關(guān)于模 m同余。 比如26 = 14 (mod 12)【定義】設(shè)m是

5、大于 1的正整數(shù)，a,b是整數(shù)，如果m|(a-b),則稱a與b關(guān)于模m同余，記作a=b(mod m)讀作 a同余于b模m.o有如下事實(shí)：若a三0(mod m)則m|a;(2)a = b(mod rm)價于a與b分別用 m去除，余數(shù)相同.5、歐幾里得除法：即輾轉(zhuǎn)相除法。詳見高中數(shù)學(xué)課標(biāo)人教B版必修三6、完全剩余類：從模n的每個剩余類中各取一個數(shù)， 得到一個由n個數(shù)組成的集合，叫做模n的一個完全剩余系。 例如， 一個數(shù)除以4的余數(shù)只能是 0, 1, 2, 3, 0 , 1, 2, 3和4, 5, -2, 11是模4的完全剩余系。可以看出 0 和4, 1和5, 2和-2, 3和11關(guān)于模4同余，這4

6、組數(shù)分別屬于4個剩余類。7、高斯函數(shù)：f(x)=ae-(x-b)A2/cA2 其中 a、b 與 c 為實(shí)數(shù)常數(shù)，且 a > 0.8、費(fèi)馬小定理：假如p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1,那么aA(p-1)三(mod p)假如p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么a的(p-1)次方除以p 的余數(shù)恒等。9、歐拉函數(shù)：()函數(shù)的值：通式：()(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1- 1/p4) .(-11/pn),其中 p1, p2 pn 為 x 的所有質(zhì)因數(shù)， x是不為0的整數(shù)。4 (1)=1(唯一和1互質(zhì)的數(shù)就是1本身)。若n是質(zhì)數(shù)p的k次哥，()(n)=pAk-pA(k-1)=(p-

7、1)pA(k-1),因為除了 p的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟 n互質(zhì)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)若m,n互質(zhì)，()(mn)=()(m)()(n)特殊性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時，。(2n)=。(n)證明于上述類似。10、孫子定理：此定理的一般形式是設(shè)m = m1，mk為兩兩互素的正整數(shù)， m=m1,mk , m= miMi , i= 1,2,，k 。則同余式組 x三 b1(modm1)，x三 bk(modmk的解為 x三 M'1M1b1+ M'kMkbk (modm)。式中 M'iMi = 1 (modmi), i= 1, 2,，k 。歡迎下載11、裴蜀定理:對任何整數(shù)a、b和它們的最大公約（7

8、 卜* 號 7（h-7）|ieZJ數(shù)d,關(guān)于未知數(shù) x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：若a,b是整數(shù)，且（a,b尸d,那么對于任意的整數(shù)x,y,ax+by都一定是d的倍數(shù)，特別地，一定存在整數(shù)x,y,使ax+by=d成立。它的一個重要推論是：a,b互質(zhì)的充要條件是存在整數(shù)x,y使ax+by=11、梅涅勞斯定理：如果在 ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn) D、BD ?CE ? AFE、F 且 D、E、F 三點(diǎn)共線，則 DC - EA - FB =112、梅涅勞斯定理的逆定理：如果在 ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上生？CE?”有點(diǎn)D、E、F,且滿足DC - EA - FB

9、 =1,則d、E、F三點(diǎn)共線。13、塞瓦定理：設(shè)O是 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AM ?BN ?CP 1M,則而'NC - PAAO、BO、CO分別交對邊于 N、P、14、塞瓦定理的逆定理:設(shè)M、N、P分別在 ABC的AM ?BN ?CP 1邊AB、BC、CA上，且滿足 MB ' NC ' PA ,則AN、BP、CM相交于一點(diǎn)。15、廣勾股定理的兩個推論：推論1：平行四邊形對角線的平方和等于四邊平方和。推論2：設(shè)4ABC三邊長分別為a、b、c,對應(yīng)邊上中線長分別為ma、mb、mclj2b2 2 c2 a2 V2a2 2 c2 b2 yJ，2a2 2b2 c2則：ma= 2； m

10、b= 2； mc= 216、三角形內(nèi)、外角平分線定理：BD AB內(nèi)角平分線定理：如圖：如果/ 1 = 72,則有DC AC外角平分線定理：如圖，AD是4ABC中/A的外角平分線交 BC的延長線與 D,BD AB則有DC AC17、托勒密定理：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則有AB - CD+AD - BC=AC - BDC18、三角形位似心定理：如圖，若 ABC與 DEF位似，則通過對應(yīng)點(diǎn)的三直線AD、BE、CF共點(diǎn)于P19、正弦定理、a b c,.一，-T- 2R在4ABC中有sin A sin B sinC （ R為 ABC外接圓半徑）余弦定理：a、b、c為4ABC的邊，則有：a2=b2+c2-2bc - cosA;b2=a2+c2-2ac - cosB;C2=a2+b2-2ab - cosC;20、西姆松定理：點(diǎn)P是ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PDXBC, PEXAC , PFXAB ,