中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座 幾何綜合題

1、中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座 幾何綜合題概述：幾何綜合題一般以圓為基礎(chǔ)，涉及相似三角形等有關(guān)知識(shí)；這類(lèi)題雖較難，但有梯度，一般題目中由淺入深有13個(gè)問(wèn)題，解答這種題一般用分析綜合法典型例題精析 例1如圖，已知O的兩條弦AC、BD相交于點(diǎn)Q，OABD （1）求證：AB2=AQ·AC：（2）若過(guò)點(diǎn)C作O的切線(xiàn)交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，求證：PC=PQ 分析：要證AB2=AQ·AC，一般都證明ABQACB有一個(gè)公共角QAB=BAC，只需再證明一個(gè)角相等即可 可選定兩個(gè)圓周角ABQ=ACB加以證明，以便轉(zhuǎn)化，題目中有垂直于弦的直徑，可知AB=AD，AD和AB所對(duì)的圓周角相等 （2）欲證PC=PQ，

2、 是具有公共端點(diǎn)的兩條線(xiàn)段， 可證PQC=PCQ（等角對(duì)等邊） 將兩角轉(zhuǎn)化，一般原地踏步是不可能證明出來(lái)的，沒(méi)有那么輕松愉快的題目給你做，因?yàn)閿?shù)學(xué)是思維的體操 BQC=AQD=90°-1（充分利用直角三角形中互余關(guān)系） PCA是弦切角，易發(fā)現(xiàn)應(yīng)延長(zhǎng)AO與交于E，再連結(jié)EC，利用弦切角定理得PCA=E，同時(shí)也得到直徑上的圓周角ACE=90°， PCA=E=90°-1 做幾何證明題大家要有信心，拓展思維，不斷轉(zhuǎn)化，尋根問(wèn)底，不斷探索，充分發(fā)揮題目中條件的總體作用，總能得到你想要的結(jié)論，同時(shí)也要做好一部分典型題，這樣有利于做題時(shí)發(fā)生遷移，聯(lián)想 例2如圖，O1與O2外切于

3、點(diǎn)C，連心線(xiàn)O1O2所在的直線(xiàn)分別交O1，O2于A、E，過(guò)點(diǎn)A作O2的切線(xiàn)AD交O1于B，切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)E作O2的切線(xiàn)與AD交于F，連結(jié)BC、CD、DE （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的條件下，求sinA和tanDCE的值；（3）當(dāng)AC：CE為何值時(shí)，DEF為正三角形？ 分析：（1）根據(jù)題的結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)上證明ADCAED，進(jìn)而可求AC，CE，設(shè)CD=2x，則AC=x，易證ADCAED， ， ， AE=4x， CE=AE-AC=3x， AC：CE=x：3x=1：3（此題憑經(jīng)驗(yàn)而做） （2）求sinA，必須在直角三角形中，現(xiàn)存的有RtABC和RtAEF，但都只知一邊無(wú)

4、法求sinA 另想辦法，連結(jié)DO2，則DO2=x， 且ADO2=90°，AO2=x+x=x， sinA= 欲求tanDCE即求，易證ADCAED， =2， tanDCE=2 （3）假設(shè)DEF為等邊，則FED=DCE=60°， tan60°=，設(shè)DE=x，則DC=x，CE=2x，易證BDCDEC， ， BC=x，連DO2，易證BCDO2， 即， AC=x， AC：CE=1：2中考樣題訓(xùn)練 1如圖O的直徑DF與弦AB交于點(diǎn)E，C為O外一點(diǎn)，CBAB，G是直線(xiàn)CD上一點(diǎn)，ADG=ABD，求證：AD·CE=DE·DF 說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索，沒(méi)

5、有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路推導(dǎo)過(guò)程寫(xiě)出來(lái)（要求至少寫(xiě)3步）（2）在你經(jīng)過(guò)說(shuō)明（1）的過(guò)程之后，可以從下列、中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明 CDB=CEB；ADEC；DEC=ADF，且CDE=90° 2已知，如圖，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交O于點(diǎn)E，且EM>MC，連結(jié)DE，DE= （1）求EM的長(zhǎng)；（2）求sinEOB的值 3如圖，已知O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AEDC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且AC平分EAB （1）求證：DE是O切線(xiàn)；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC

6、的長(zhǎng) 4如圖：O1與O2外切于點(diǎn)P，O1O2的延長(zhǎng)線(xiàn)交O2于點(diǎn)A，AB切O1于點(diǎn)B，交O2于點(diǎn)C，BE是O1的直徑，過(guò)點(diǎn)B作BFO1P，垂足為F，延長(zhǎng)BF交PE于點(diǎn)G （1）求證：PB2=PG·PE；（2）若PF=，tanA=，求：O1O2的長(zhǎng) 考前熱身訓(xùn)練 1如圖，P是O外一點(diǎn)，割線(xiàn)PA、PB分別與O相交于A、C、B、D四點(diǎn)，PT切O于點(diǎn)T，點(diǎn)E、F分別在PB、PA上，且PE=PT，PFE=ABP （1）求證：PD·PF=PC·PE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的長(zhǎng) 2如圖，BC是半圓O的直徑，EC是切線(xiàn)，C是切點(diǎn)，割線(xiàn)EDB交半圓O于D，A是半圓

7、O上一點(diǎn)，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tanDCE的值；（2）求AB的長(zhǎng) 3如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交A于F，CM=2，AB=4 （1）求A的半徑；（2）求CE的長(zhǎng)和AFC的面積4如圖，正方形ABCD是O的內(nèi)接正方形，延長(zhǎng)BA到E，使AE=AB，連結(jié)ED （1）求證：直線(xiàn)ED是O的切線(xiàn)； （2）連結(jié)EO交AD于點(diǎn)F，求證：EF=2FO答案:中考樣題看臺(tái)1證明：連結(jié)AF，則ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF為O的直徑，DAF=90°， ADF+F=90°，ADG+ADF=FDG=90°

8、;， DAF=CDE=90°，CBAB， ADG+ADF=FDG=90°， DAF=CDE=90°，CBAB，CBE=90°取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM、BM，則DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上， ABD=DCE，DCE=F， DAFEDC， AD·CE=DE·DF，以下略；2（1）DC為O的直徑，DEEC， EC=7 設(shè)EM=x，由于M為OB的中點(diǎn)， BM=2，AM=6，AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x）， 解得x1=3，x2=4，EM>MC，EM=4（2）O

9、E=EM=4，OEM為等腰三角形，過(guò)E作EFOM，垂足為F，則OF=1，EF= sinEOB=3（1）連結(jié)CO，則AO=BO=CO， CAO=ACO，又EAC=CAO， ACO=EAC，AEOC， DE是O的切線(xiàn) （2）AB=6，AO=BO=CO=3 由（1）知，AEOC， DCODEA， = 又AE=， 解得BD=2 AB是O的直徑，ACB=90°又EAC=CAB，RtEACRtCAB，即AC2=AB·AE=6×= 在RtABC中， 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-= BC>0，BC=4（1）BE是O1的直徑，BPE=90° BFO1

10、P，BPF+FBP=90° GPE+BPF=90°，GPF=BPF O1E=O1P， E=GPF=PBF，又BPG=EPB=90°， GPBBPE，PB2=PE·PG （2）AB是O1的切線(xiàn)，O1BAB， O1BFO1AB，O1BF=A tanA=，tanO1BF= 設(shè)O1F=3m，則BF=4m 由勾股定理得：O1B=5m=O1P，PF=5m-3m=2m 又PF=，m=，O1B=O1P，BF=×4=3 由tanA=，AF=4，AP=4-=， PO2= ，O1O2=+=5考前熱身訓(xùn)練1（1）連CD，因A、B、D、C四點(diǎn)共圓， DCP=ABP，而P

11、FE=ABP， DCP=PFE，CDEF，即PD·PF=PC·PE （2）設(shè)PT長(zhǎng)為x，PE=PT，由（1）結(jié)論得PF=x， 由PT2=PC·PA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，PT=72（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去） BC為直徑，CDBE，由勾股定理得CD=，tanDCE= （2）連AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC= 可證ADFBCF，= 設(shè)DF=2x，則CF=3x由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，DF=2，CF=3，BF= 由相交弦定理得AF=， AB= 3（1）由勾股定理，列方