高中數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類(lèi)型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析： 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過(guò)概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

2、律.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=.2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，.若，則5 ()的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 P1， P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使 =，叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：0

3、(內(nèi)分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10)7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比.8. 點(diǎn)P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn).9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)，可得=.10力做的功：W = |F|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說(shuō)明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩

4、向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0q180C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積ab，而ab是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0

5、，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0

6、時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = ae =|a|cosq2 ab ab = 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a|b|. 特別的aa = |a|2或4 cosq =5 |ab| |a|b|三、講解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角=120o，求ab.例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)(a-3b).例3

7、已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.00；0；0；若0，則對(duì)任一非零有；，則與中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量，都有（）（）；與是兩個(gè)單位向量，則.解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0；對(duì)于：應(yīng)有0；對(duì)于：由數(shù)量積定義有cos，這里是與的夾角，只有或時(shí)，才有；對(duì)于：若非零向量、垂直，有；對(duì)于：由可知可以都非零；對(duì)于：若與共線，記.則（）（）（），（）（）（）（）若與不共線，則()（）.評(píng)述：這一類(lèi)型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例6 已知，當(dāng)，與的夾角是60

8、時(shí)，分別求.解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾角是60時(shí)，有cos60369評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)時(shí)，有0或180兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= .6.已知ab、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)_.7.已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的