初中(中考)《深本數(shù)學116解題模型》116句口訣覆蓋中考全部解題套路(含配套母題143道PPT369頁)

1、深本數(shù)學116解題模型（初中版）配套母題嚴正聲明：本課件已經權威部門版權認證，購買后只限自己使用, 未經授權不得在任何媒體發(fā)布，更不得用于商業(yè)用途。一經發(fā)現(xiàn), 將追究法律責任。您所付的費用購買的僅是自己的使用權，您無 權買賣或轉讓，請購買前慎重考慮。李潮學堂I i s h u mathematician【李諭學堂深本數(shù)學】專業(yè) 的初中（中考）數(shù)學培優(yōu)輔導深本數(shù)學，立體通關; 深入本質，舉一反三; 模型導學，難題不難。以概念、知識點的深度講解為切入點，按照：“前世T今生今后續(xù)今 朋友圈”的順序進行“地毯式”突破。做到知識、規(guī)律、法則不遺漏、無死角。深度講解概念 精準歸納題型 有效題位訓練 解題升

2、華技巧 模型經驗積累“五位一體立體通關”教學法廠概念爛熟于心1 公式運用自如 題型掌握熟練 速度令人稱奇L有效得分助陣獲得了什么“經驗” 學到了什么“技方 用到了什么“模型”Ls標：會；對；快T會不會對不對快不快目錄1等角套 雞爪圖（旋轉大法） 內含半角模型（截長補短+旋轉大法） 將軍飲馬（牛喝水）一兩村一路問題及拓展 妙趣橫生的“十字架"（四邊形十三角形） 中點處理策略五大模型角平分線處理策略（雙垂、單垂、雙等、與平行等腰疊加） 相似模型俱樂部 倍半角處理策略 三角比與解三角形及應用模型（確定即可求的理念進一步深化） 一次函數(shù)中K的顏值及其妙用 二次函數(shù)常用二級結論及解題套路反比例

3、函數(shù)中的幾何模型及二級結論完美無缺的沖的模型）妙不可言、威力無窮的12345模型目錄2 “魔鬼模型”婆羅摩笈定理及模型 方、不、函綜合應用題解題策略 數(shù)與代數(shù)中的二級結論 正方體展開模型識記 方程與不等式重點、難點、易錯點處理策略 瓜豆原理（相似+縮放+旋轉的疊加） 胡不歸（斜邊打折變對邊，正弦助力胡可歸） 最大張角（米勒定理）阿氏圓（子母相似邂逅圓創(chuàng)造奇跡）包頭中考六道大題破解策略總結及示例作輔助線的的原則季渤學堂初中數(shù)學116解題模型完整版與初中數(shù)學緊密相關的幾個歷史人物初中數(shù)學通關口訣代數(shù)抓精髓；代入是關鍵。 算功過三關；解功四門檻。函數(shù)三姐妹；勾股三用途。非負三兄弟；蛻皮兩魔鬼。幾何要

4、通透；精髓是特殊。重點特殊圖；識圖定性判。代數(shù)一般式; 方程辨兩類; 系數(shù)不為零; 統(tǒng)計要通關; 四圖加一表; 數(shù)據分析透;兩得全搞定。函數(shù)識三型。 指數(shù)要相吻。 兩查走在前。 數(shù)據整理好。三差加三數(shù)。兩圖談感情；特殊關系聯(lián)。概率也不難;全等加相似；對稱與旋轉。平移與投影；位似也要算。考點說舉做;條件挖隱含;思路技巧精;應用均同宗;元量同回代;做題改變找。 分類不漏點。 反思記模型。 關系是根本。 運算有六種O列表和樹型; 魚池魚幾多; 動點巧分類; 找準臨界點; 代數(shù)兩特殊; 數(shù)數(shù)拉關系;頻率能估算。搞清總和分。應用記概型。最短牛喝水。相似巧破題。首先特殊數(shù)。方不與函數(shù)。關系大小等；再加倍比

5、分。 每每有熱點；負元巧應用。算功：有理數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)式的三種計算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一 次方程組、不等式（組）的四種功力。勾股三用途：指勾股定理的計算；列方程；證明乖 I直的三項功能。初中數(shù)學精髓1 .幾何：兩個字概括一一特殊：特殊圖形；特 殊關系（全等、相似）。2 .代數(shù)：兩個字概括一一代入：字母的含義代 入代數(shù)式、方程、不等式或者函數(shù)。3 .幾何三大方法：全等、相似、勾股定理。4 .輔助線的認識對內分割對外補形5 .壓軸題大類：幾何綜合；代數(shù)綜合；代幾綜口 O戲說數(shù)學之一代數(shù)特殊數(shù)死數(shù)（實數(shù)）1代數(shù)式（定義）整式Y有理式4L多項式J分式無理式整式方程相等關系

6、：等式及方程,一元（一次；二次）二元（一次方程組）活數(shù)（含有字母的數(shù)）I分式方程（可化為一元一次方程）數(shù)與數(shù)之間的特殊關系 不等關系：不等式（組）代數(shù)學什么？數(shù)以及 數(shù)與數(shù)的關系！I全部關系：函數(shù)與圖象按照數(shù)的性質為代數(shù)式分類（死數(shù)（實數(shù)）永正數(shù)：非負數(shù)十正數(shù)I活數(shù)（含字母的數(shù)）非負數(shù)：平；絕；根代數(shù)式永負數(shù)：一（非負數(shù)+正數(shù)） 條件活數(shù)（川劇變臉）戲說數(shù)學之一一幾何特殊圖基本圖形（點、線、面、空）特殊圖形（三、四、多、圓）廠全等關系圖與圖之間）,“一 的特殊關系 相似關系三角形（直角等腰）特殊圖形 （ 四邊形（平矩菱正）多邊形與圓（正、圓）定義Y性質 一判定定義Y性質-判定普通圖形（丑）（整

7、容）特殊圖形（美）I變換關系 一對稱一興致一平移一位似一投影一視圖幾何學什么：特殊的圖形以及圖形之間的特殊關系!學習幾何要過四關 畫圖關：按照題意畫圖形。 語言關：文字語言（自然語言）、圖形語 言、符號語言這三種語言的轉換和翻譯。 推理關：證明，推理的能力和步驟。 模型關：掌握常用的幾何模型。® 訣曰：等角套，套等角，順藤摸瓜找相似。備注：等角套也叫共點等角、旋轉等角。分為“內套和外套。如圖：若NAOB=NCOD （等角套：內套；外套） 則立得：NAOC=NBOD （理由：）等角套等角：產生一對新的等角，“順藤摸瓜”去確定這一對等角所在的兩 個可能相似（全等）的三角形，找到條件證之用

8、之一一撥開云霧見天日！訣曰：歪八套，和歪A,形影不離似李生。特殊的三對相似（和四點共圓結合理解更加妙趣橫生）若ND=NC,這個圖形為“歪8”， 顯然aods/xboc,添油加醋一若ND=NC,這個圖形為“歪8”，顯然AODsBOC,添油加醋一連接AB、DC, AOBsDOC相彳以嗎？為I什么？J八字倒角（共邊等角，一等三等）：如圖：如果NBAC與ZBDC； ZDAC與ZDBC； NABD與ZACDNBDA與NACB四對共邊等角中，有一對相等，則另外三對一定相等。思考：為什么叫“共邊等角”？（學了圓，理解、記憶更容易）/口訣：手拉手，是旋轉，等邊等腰和任三。1 .如圖：ABC和4ADE均為等邊三

9、角形, 連接BD、CE （手拉手），延長BD交CE 于F,連接AF。求證：ABDgACE NBFC=60° AF平分NDFE2 若把上題已知條件中的等邊三角形 改為等腰直角三角形，NBAC和NDAE 為直角，請判斷：上述結論有什么變化? 試證明你的判斷。3,若把1”題已知條件中的等邊三角形 改為頂角相等的兩個等腰三角形，ZBAC 和NDAE頂角，請判斷：上述結論有什么 變化？試證明你的判斷。4.若把“1”中的條件改為：ABC中, DE/7BC,把AABC旋轉到如圖所示的 位置。其他條件不變。請判斷：上述 結論有什么變化？試證明你的判斷。L如圖：點B、C、D在一條直線上，ZkABC與A

10、ECD 都是等邊三角形，其中的點及對應的字母如圖所示。 證明：（l）ABCEAACD （BE二AD本質：等角套+旋轉全等）CDFCEG ACBGACAF （旋轉全等）ACGF是等邊三角形。MC是NGMF的平分線。（以點M為頂點的角有 六個60°角，請你找出來并說明理由）。注意：2中的點M為AABC的費 馬點：三角形中到三個頂點距 離的和最小的點！且這個最小 距離就是DC或BE （為什么？）2.如圖：把題“1”中的兩個等邊三角形繞C點 反向旋轉（左逆右順），就形成了一對新的 “雙等邊三角形”。已知：為任意三角形，AB<AC, ZBAC<120° ,分別以AB、AC

11、為邊向三角形 外側作兩個等邊三角形：4ABD與AACE。其中 中的點及對應的字母如圖所示。證明：BE二DCMA是NGME的平分線。（以點M為頂點的角有六個60°角，請你找出 來并說明理由）。4AEG是等邊三角形嗎？ 為什么？ AE二AE嗎？說明理由。母題三雙正方形模型ADL如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形, G在CD上，BG的延長線交DE于H。求證： BG=DE (2)BG±DE（內含：歪八套歪A十四點共圓，與圓結合：寶藏也）BF2.如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形,BG交DE于H。求證： BG=DE (2)BG±DE（對、“1”，類比

12、推理）母題四L如圖，等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC 上的中點，E、F分別在AB、AC上，ED±EF, 求證：(DBE=AF4EDF為等腰直角三角形 (3)BE2+CF2=EF2(4)S»bc=2S 四邊形 aedf2.在ar中,若EF與AD相交于G,其他條件 不變，求證：(1)ED2=EG-EA (2)GE-GF=GA-GDABC母題五(1)已知正方形中,對角線/C與3D相交于點O,如圖1, 將色衛(wèi)。繞點。逆時針旋轉得到90C1 0C與CD交于點M 0B與BC 交于點M請猜想線段CW與3N的數(shù)量關系，并證明你的猜想.(2)如圖2,將 中的友七丁點B逆時針旋轉得到BOB

13、 連接)。 DC請猜想線段4。與DC的數(shù)量關系，并證明你的猜想.(3)如圖3,已知矩形，3c。和Rt&lEF有公共點/,且乙4即=90。，連接圖3圖2圖1母題六操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形月38上，并使它的直角頂點H在對角線月。上滑動， 直角的一邊始終經過點的另一邊與射線DC相交于點色設工、P兩點間的距離為x.探究：（1） .當點0在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察到的結論5（2）當點Q在邊CD上時,設四邊形PBCQ的面積為“求下與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值 范圍3 （3）當點H在線段月。上滑動時，PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，

14、指出所有能使P。 成為等腰三角形的點。的位置，并求出相應x的值；如果不 可能，試說明理由.（備用圖）（備用圖） 訣日：共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉。雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉。簡釋：遇到共點等線段出現(xiàn)，可以考慮在共點等線組成的角內找一條過 角的頂點的線段（所謂的雞爪圖），把該線段繞角的頂點旋轉一個與a 相同的角度，構造“等角套”，此時必然會產生一對全等三角形。利用 全等的性質去解決問題，事半功倍。如圖：若已知AB=AC, AD是過A點的一條線段一一怎么做輔助線? 作AE=AD,且NEAD二/BAC （或：把線段AD繞A點旋轉一個 與NBAC相等的度數(shù)），可以達到柳暗花明又一村的奇效。母題

15、七如圖：等腰直角ABAC中，ZBAC=90° , D為 BC邊上任意一點。猜想：AD、BD、DC的數(shù)量 關系并證明。母題八四邊形+換個角度看等角套：共點等線旋轉解題策略；1而反 定力戒ABCD而看一Me, KEA=1, EB=2 i；EC=3,求NAEB的度數(shù)。；雞爪一旋轉（圖中幾個雞爪？選擇哪個？為什么？）口訣：輔助線，有原則，聚合補全方向明。如果AB=4, BC=3,求BD二？；2而國:ZABC=30° , ZADC=60° , AD=DC, ；求證：AB2+BC2=BD2圖)W：圖中直角=360- (360-30-60) =90如圖：等邊三角形ABC中，EA

16、=3, EB=4, EC=5 求NAEB的度數(shù)。母題十鄰補四邊形：對角互補，鄰邊相等的四邊形!“鄰補四邊形模型” 口訣：對角補，鄰邊等，知二推一角平分。如圖：四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90° ,且AB=AC, 求證：BD平分NADC=90(2)DA+DC=V2 BDS四邊形abcd=1/2BD?特別提示：類似題目可以用“旋轉大法”和“截長補短” 法以及“角平分線雙垂直模型”解決，建議對比提升解 題能力。母題L如圖：四邊形ABCD中，ZABC=60° ， ZADC=120° 且AB=AC,求證：（DBD平分NADCDA+DC= BD（3）S四邊形abcd

17、二手BD2特別提示：和“母題九”類比，條件和結論分別佛發(fā)生了 什么變化？2.如圖：四邊形ABCD中,ZABC+ZADC=180° 且AB=AC, 求證：BD平分NADC問：“1”中的其它結論還成立嗎？為什么？小結，拓展:上面是所謂的共點等線構成的，雞爪圖，旋轉后構成一對全等的三角形。如果是任意的“雞爪圖”呢？可以如法炮制嗎?如圖：若已知ABHAC,假定AB： AC=m, AD是過A點的一條線段一一 怎么做輔助線？作AD： AC=m,且NDAE二NBAC （或：把線段AC繞 A點旋轉一個與NBAC相等的度數(shù)，并使AD： AE=m ）,會發(fā)生什么？ 有全等嗎？顯然不是！找一找：是不是出現(xiàn)

18、了相似一一神氣的一轉成雙!一、首先說明什么是“一轉成雙”：如下如圖1所示：AADEAABC,將 ADE繞著點A逆時針旋轉a角度后得到AAMN,如圖1T1-2所示.連接BM、CN,則可證：AABMsAACN.且相似比為:AB1c不難發(fā)現(xiàn): 新AABM和新AACN是由原來一對相似 ABC與 AMN的對應邊AB和AM、AC和AN組合而成的.由一對相似得兩對相似三角形，即“一轉成雙”.® A ABC AMN AABMsdACN. “一轉成雙”母題十二如圖 2 所示,在 RtAACB 中,zACB=90tt rzCAB=30Q ,點口是AACB內一點,滿足CD=1,BD=7LAD二國,求NAD

19、C的度數(shù).分析s圖形定量分析如下：在Rt ACB中，zACB=90ft , zCAB=30° .圖2B則BC:AC:AB=1:石:2.我們將分散的條件通過旋轉集中起來.方法 如圖27所示：將A ACD繞點A逆時針旋轉30° ,再放177 /s大彳倍，得至IJAABF.即AACDsAABF.所以：BF二彳,AF二*V3V3 V3連接DF,此時，Rt A ACB Rt ADF （一轉成雙）.所以,DF:AD:AF=1:方：2 且NAFDA&0：由于 A廬后，所以.DF=在根據勾股定理逆定理可證：A BDF為Rt 且/DFB二夕（T所以：ZADC=ZAFB=600 +90

20、" =150°訣曰:旋轉+截長補短：破解半角模型一 共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉 雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉 線段和，要得證，截長補短是正本 正方形，等直三，內含半角轉一轉母題十三正方形內含半角L如圖：正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的 點，且NEAF=45。,證明：EF=BE+DF證明ECF的周長等于正方形ABCD周長的一半。過A作AHLEF于H,證明：AH=BC備注：用旋轉法和截長補短法兩種方法證明。2.如圖：在“1”的條件下，連接BD交AE于G, AF于 M,連接EM、GFo GF與EM相交于。點。證明：BG2+MD2=GM2證明：4AGF與AAME是

21、等腰直角三角形證明：AE平分NBEF； AF平分NDFE證明：EABsEFG； A ADF EMF圖中有至少六個圓內接四邊形，太多的相似三角 形可以自己去找。更多結論參考下頁一一正方形ABCQ中，N£4F = 45。，則有卜列結論: 線段之間的關系：EF = BE + FDBG1 + *心=GA/2CE =鼻DM、DF = 6BC. EF = 6GMBM - DCi=Aii2BE DF _ 1CE FC = 2AM = EM.AG = FG的邊上戶上的高等于正方形的邊長AfcFC的周長等于正方形邊長的2倍角度之間的關系：/.AEB = /LAEF. 戶石=Z4FD根據卜面共圓的結果,

22、每個共圓都至少可以得到四對相等的力.特殊三痢形：協(xié)5與5ME是等腰直用三加形ABEM. ADFC.GEFAh CEMF CEGE CEGMF 分別共圓面積關系：SdAEF = S&jiRE + 5a.4DFSdAEF = 2$ 叢GV$2 : Sd臼=加 3 ； EF相似關系,lAEF. AAWG. dBGE, dDAG, 8WA 相似；EFG AEA& ADF EMF母題十四鄰補四邊形內含半角（鄰邊相等，對角互補的四邊形）CL如圖：四邊形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的 點，ZABC= ZADC= 90° 且NEBF=45° , 猜想并證明線段EF、

23、CE、AF之間的數(shù)量關系 備注：用旋轉法和截長補短法兩種方法證明。2.如圖：四邊形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的 點，ZABC+ZADC= 180° 且NEBF=l/2 NABC ° , 猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關系 備注：用旋轉法和截長補短法兩種方法證明。2.如圖：等腰直角AABC中，ZABC=90° , E、F都 是AC上的點，且NEBF=45° ,猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關系 備注：用旋轉法和截長補短法兩種方法證明。此題 其實就是母題十二“2”中的第一問！自造半角模型解體策略：三角形作高翻折!說明：上圖依次是

24、45。、30°的三角形對稱（翻折），翻折形成正方形或等邊三角形等的對稱全等。（半角可以為任意角去折疊，常見度數(shù)還有22.5°半角）說明：軸對稱有如下性質：把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。在反射變換下，任意兩點A和B,變換后的對應點為A'和B',則有直線AB和直線A' B所 成的角的平分線為1。兩點之間的距離保持不變，任意兩點A和B,變換后的對應點為T和曠，則有研二A, Q中小學數(shù)學中的很多圖形都是軸對稱圖形，利用這些圖形的軸時稱性質，可以幫助我們解決 一些計算和證明的幾何問題。將軍飲馬：這個將軍飲的不是馬，是數(shù)學！解題依據：兩點間線段最

25、短；點到直線的垂直距離最短；翻折，對稱。解題策略：對稱、翻折好化同為異；化異為同；化折為直?？谠E：和與差，求最值，將軍飲馬七模型！一村兩路和最小兩村一路（線段）和最小兩村一路（異側） 差最大母題十五函數(shù)中的將軍飲馬(四大模型)如圖：平面直角坐標系中有A、B兩點A (1, 3) ； B (4, 2) o若x軸上有一動點P,當PA+PB最短 時，求P點的坐標及PA+PB的最小值。若x軸上有一動點P, y軸上有一動點 Q,當APQ的周長最短時，求出P、 Q兩點的坐標，并求出此時APQ的 周長的最小值。若x軸上有一動點P, y軸上有一動點 Q,當四邊形AQPB的周長最短時， 求出P、Q兩點的坐標。若x

26、軸上有一線段EF,且EF=1,當四 邊形AEFB的周長最短時，求出E、F 兩點的坐標。備用圖母題十六“變態(tài)的將軍飲馬”造橋選址問題直線h ”,在直線心上找一個點C,直線上上找一個點D,使得CDJL占目AC+ BD+ CD最也.作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度至點A：,連接A：E,交辦于點D,過點D作DCJJ二于點C,連接AC.則橋CD即為所求.此時最小值為*B-CD原理：兩點之間，線段最短，（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米,請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最矩？軍營腺望臺母題十七最小值BD如圖，在等邊ABC中，AB=6, A

27、DA.BC,石是NC上的一點，河是/D上的一點，/石二2,求EM+EC的兩村一路解;.二點C關于直線AD的財稱點是點，連接BE,交AD于點監(jiān) 則1因兔0最小, 過點,B作BH1AC于點區(qū)貝“EH = AH - AE= 3 - 2=1,BH 二一商二 J6 y 二 3小在直角3HE1 中,be = JbH,-EH，二回/如+F二25母題十八兩村一路如圖,正方形月28的邊長為 M在少C上, 目DM=2, N是.4C上的一動點.，ZW+ AW 的最小值為 O母題十九兩村一路如圖所示，正方形ABCD的邊長為6, AABE是等邊三角形. 點E在正方形ABCD內，在對角線前上有一點P,使PD+PE 的和最

28、小，則這個最小值為.3母題二十“變態(tài)的”兩村一路：固定變量法一如圖，若四邊形月E8是菱形，AB=Wcm, Z-45O450E為邊3C上的一個動點，P為BD上的一個動點求PC+PE的最小值；母題二d答案:先設E點不變，畫出P點后在確定E的位置！固定變量法解：點C關于BD的對稱點是點，月, 過點/作AE1BC,交BD于點巴 則工區(qū)就是PE+PC的最小值在等腰及必中,求得AE的長為5母如圖，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3. P為矩形ABCD 內一點，若矩形ABCD面積為APAB面積的4倍， 則點P到A, B兩點距離之和PA+PB的最小值為BD由面積關系得：EF與BC的距離為2, 所以，B點的

29、對稱點是A,連接AC, AC=5=PB+PC如圖，在五邊形 ABCDE 中，ZBAE=136° , ZB=ZE=90° , 在BC、DE上分別找一點M、N,使得AMIN的周長最小時. 則Namn+Nanm的度數(shù)為.D解答:如圖，VZBAE = 136" , 二 NhN A+N岫"A=44”由對稱性知，ZfflAA7 =ZMAZ A,ZNAA/y =/MT A, ZATOI+ZANM=2Z1IA/ A+2/岫" A=88°D母題二十三一村兩路L如圖，NAOB=30° ,點P為NAOB內部一點, 且0P=15, OA、OB上分別

30、有兩個動點M、N, 當AMN的周長最短時，求周長的最小值。1 .如圖，點P為NAOB內部一點且0P=15, OA、0B上分別有兩個動點M、N,當AMN的周長 最短為15時，求NAOB的度數(shù)。母題二十四兩村兩路N如I圖：矩形ABCD中，AC=6, DC=4, DM=1 BN=2, P、Q分別為AB、AC上的兩個動點， 當四邊形MNPQ的周長最小時，求周長的最 小值。母題二十五兩村一路差最大如圖：平面直角坐標系中，A、B兩點的 坐標已知，在x軸上有一動點P。.A (2, 2)當|PA-PB|最大時，求P點的坐標，并求、出|PA-PB|的最大值。B (8, -6)©十字架模型：訣曰：三角形

31、，四邊形，十字架中有乾坤又改斜，又改正，橫平豎直有矩形。母題二十六【正方形內的十字架結構】1、在正方形ABCD中, BN±AM,則常見的 結論有哪些？垂等圖2、在正方形ABCD中， E、F、G、H分別為AB、 CD、BC、AD邊上的點, (1)若EF_LGH,證明: EF=GH若EF二GH,證 明：EF±GH結論:ADMABANAM=BN法路習學ffi方a學數(shù)精過點H作HN1BC,過點F 作 FMj_AB結論：HNG逐FMEGH=EF以上結論，稱之為“垂等圖” ！以上方法：改斜 歸正，橫平豎直。Br母題二十七如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊， 使得點A落在CD的中點

32、E處，折痕為FG,點F 在AD邊，求折痕FG的長；解析【解析】連接AE,由軸對稱的性質可知， AE±FG (應該是FG垂直平分AE) 這樣就可以直接用上面的結論啦!所以由垂直得到相等，所以FG=AE=()感悟：慧眼發(fā)現(xiàn)十字架!母題二十八【思考】既然正方形內可出現(xiàn)垂直，那么矩【十字結構在矩形中】形內出現(xiàn)垂直會有什么結論呢?CE _ CD _ m BD -BC1、如圖，在矩形ABCD 中，AB=m, AD=n,在 AD上有一點E,若 CE±BD,則CE和BD之間 有什么數(shù)量關系？證明 請。圖1圖2注意：紅色的字很關鍵否則，上述結論不成立2、如圖1, 一般情況，在矩形ABCD中，

33、E、F、G、H分別為AD、BC> AB、CD 邊上的點，當EFLGH時，證明：FMEsGNHEF：GH=AB：BC母題二十九如圖，已知直細=-卜+2與x軸、y軸分別交于B、A兩點，將AOB沿著AB翻折，使點O落在點D上，當反比例函數(shù)y =-經過點D時，求k的值. XVD解析【解析】求出點D的坐標就 好啦！這個題學生不會做， 主要是圖不完整，太空啦！ 所以把它圍成一個矩形就 好啦?。ㄈ鐖D）發(fā)現(xiàn)連接0D后，有ODLAB （發(fā)現(xiàn)沒有，矩形內部垂直模型出來了！）母題三十所以有段二g|二空，0D和AB均可求出來 AO OB AB易求A (0,2)B (% 0)所以 AB=27?j OD=2OG在A

34、ab。利利用面積法可快速求出g孚，所以皿苧所以紅二匹二號二士242后 5所以ED=§, OE="，所以D (三,55516 128X =525如圖把邊長為AB = 6, BC = 8的矩形ABCD對折, 使點B和D重合，求折痕MN的長.答案15我們知道直角三角形是可 以看成是連接矩形對角線 后分成的圖形。所以矩形 的結論可沿用至直角三角 形內在RtZXACB中，AC=4, BC=3,點D為AC上一 點，連接BD, E為AB上一點，CE±BD,當 AD二CD時，求AE的長；母題三十二A在RtZkACB中，AC=4, BC=3,點D為AC上一 點，連接BD, E為AB

35、上一點，CE±BD,當 AD=CD時，求AE的長；【解析】如圖， 補成矩形ACBH, 延長CE交AH于點 G所以有結論BSsACg所以黑二受二言,AG=-, CG=z£ 3 一所以設 CEf EG=z2-x38 20所以祟=獸，即?=匚BC CE 3 x如圖:再用一次X型相似即可如圖，在RtABC中，ZABC=90° , BA=BC,點D為BC邊上的中點，BE±AD 于點E,延長BE交AC于點F,則AF： FC的值為.簡答 如圖，在RtABC中，ZABC=90° , BA=BC,點D為BC邊上的中點，BE±AD 于點E,延長BE交AC

36、于點F,則AF： FC的值為.分析：八字相似得：AF： FC=AB： CG 又全等得：CG=BD所以：AF： FC=AB： BD=2推廣：此題變式：BD： DC=2： 3,則：AF： FC=() 族口圖，在RtAABC中，NAC3=90° , AC= BC, ZABC=45° ,點。為BC的中點， CE_LAO于點其延長線交A5于點后 連 接“F.求證：ZADC= ZBDF.證明：如圖，過點J5作方交CF的延長線于點G.VZACB=90° , /.Z2+ZACF=90° .VCE±AD,AZ1 + ZACF=18O°-ZAEC=A Z

37、AEC=90 ° ，好學生都用點撥180° -90° =90° .N1 = N2.在八!。和C3G中,(Z1 = Z2,ac=cb,'ZACD= ZCBG=90° , AACDACBG(ASA). ：.ZADC=ZGf CD=BG.點。為3C的中點，：.CD=BD.：.BD=BG.又./。36=90° , NOB方=45° , :.ZGBF= ZDBG- NDBF=90° 45° =45° ZDBF=ZGBF.在和BGb中，BD=BGtNDBF=NGBF,、BF-BF9：.ABGF(S

38、AS).:.ZBDF= NG :. ZADC= ZBDF.母題三十四【十字結構在其他四邊形中】本題運用了構造法，通過作輔助線構造CbG, 3G方是解題的關鍵.還可以用十字架來尋找 思路.1.如圖，把邊長為AB= 2收BC = 4且NB=45°的平行四邊形ABCD對折,使點B和D重合，求折痕MN的長.母題三十五若BA二BC=6, DA=DC=8, ZBAD=90° . DE±CF,請求出DE： CF的值.簡答 如圖，把邊長為AB= 23BC = 4且NB=45°的平行四邊形ABCD對折, 使點B和D重合，求折痕MN的長.【解析】看著不熟悉嗎？怎么轉換為熟悉

39、的模型呢？ 看下面，補成矩形不就好了!州三BD=2%/10 j DF=2)BF=6,所以 MN二BD BF3【解析】咋一看，又是個不規(guī)則的圖形再仔細看一下條件，發(fā)現(xiàn)其實是個軸對稱的 圖形再利用一下條件，可算出BD=10,發(fā)現(xiàn) BCD也是個直角三角形要求DE與CF的比值，仍然往我們熟悉的模型上靠攏將這個圖形補成矩形所以，由前面得到的結論，可知分二三共 CF AM眼尖的言五君發(fā)現(xiàn)了熟悉的一線三等角模型所以ABMCSACND,且相似比II二4 4設 BM二X）所以 CN=-x MC=8-x 335 4所以撅二：,即片二；ND 46+x4自"日42 rrpi42 192解胃，所以AM=6+

40、=2525 25所以 DE _AD_ 8 _25所以五一父丁詼一五25母題三十六工喻硼】(1)某班數(shù)學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形 兩鄰邊的數(shù)蚩關系進行探究,提出下列問題，請你給出證明.汨圖1,矩形ABCD中，EF1GH, EF分別交CD于點巳F,FF ATGH分別交AD, BC于點G, H.求證：=5GH AB1結論應用】如圖2,在滿足的條件下,又AM_LBN,點mN分別EF 11BN在邊BC, CD上，若二=匕, 則會的值為GH 15AM 【聯(lián)系拓展】(3)如圖 3,四邊形 ABCD 中,/ABC=90 AB=AD=1。，BC=CD=5,DNAMI DN,點M, N分別在邊

41、BC, AB上，求的值.AM答案：U略3 (2)U母題三十八附2：等腰三角形中的斜十字如圖：ZkABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，G為AD、BE、CF的交點，且BD：DC=2： 1 求：AG:GE圖中三邊三線被分成的六個線段比知二求四!1 .平行線截線段成比例定理的應用。2 .三角形三條中線交點（重心）的性質定理。如圖：AABC是等腰三角形，D、E分別 是BC、CA上的點，AD、BE相交于點F, ZAFE=ZC求證：(DZkAFEs/ACDDBFs/XDABBDFs/XBECADBsBECB(5)D、C、E、F四點共圓中點解題策略（五大模型）訣曰：見中點，造垂徑，中位倍長加斜中

42、。 等腰中，造三線，兩個條件快補全。A取另一邊中點構造中位線CC連接中線 “角平分線、中 點、垂直”只要出 現(xiàn)了兩個條件，考 慮補全為等腰三角 形三線合一模型。B母題三十九1.如圖，已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點, 連接BE并延長AC于點F, AF=EFo求證：AC=BE。AD倍長中線，立竿見影!2.如圖，在4ABC中，AB=12, AC=20,求BC邊上中線AD的范圍。I倍長中線，柳暗花明！1.如圖” = XC, F為QE中點，2求證：BD = CE.A£是。中點，EFII DAr若BG = CF,求證一切平分NAJC.BEBE DC2解答g寸使EH=EF，

43、連接蜉 延長FE到點H'便7H在AFEC和heb中'FE = HE< Z1 = Z2、CE= BE.KES班5 (.SAS) J4=/FBH=CF; BG = CF:,BG = BR，NH=/3 = N4 = NF,ef!Iad/.Z4=Z6, /F=/5 J.Z5 = Z6AD平分/BMC母題四寸倍長中線，思如泉涌!如圖，CB是ZUEC申線，CD是ZUBC申線, .46=45,求證：(1)2CD=CZ.Q)C3B母題四十二三線合一 +等角套+旋轉大法+類比探究已知 Rt2kABC 中，AC=BC, Zc=90° , D 為 AB 邊的中點, 、A八/EDF=9

44、0" , /EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC、CB （或它們的延長線）于E、F。（1）當/EDF繞點D旋轉到DE1AC于E時（如圖），求證:+ S式:EF（2）當/EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，在圖和圖這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，SqeF ' 3£斯、又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出 你的猜想，不需證明。母題四十三等腰中，造三線，兩個條件快補全。三線合一+中位線例1 ：在巴ABC中CD平分/ACB r ADJ_CD于DrE是AB中點,AC =1.5,BC =27 r求DE的長.分析：本題中r點E已經是AB的中點由CD平分/AC

45、B,AD±CD r想到可以構造等腰三角形,利用三線合一使點D成為另一個中點,從而讓ED變成看得見”解答：延長“交死于ES平分/2C3, WDJLCD, /NCA/FCD zUDC=NFDC=9r,.ACAD=ZCPD：.ACCF, ADFD又是,45的中點，D是用的中點DE是上3F的中位線，,死=與尸=幻C- G =3 C-.4 Q=6母題四十四女口圖二ABC中r zB r /C的平分線BErCF相交于Or AG_lBE于G r AH±CF于H.(1)求證：GHllBC ;若 AB = 9 r AC = 14 rBC= 18 r 求GH .（3）若將條件 ZB, /C的平分

46、統(tǒng)"改為”/B的平分統(tǒng)及/C的外角平分線“（如圖2所示），或改為, zC的外角平分淺“（如圖3所示），其余條件不變，求證：結論補全三線合一 +中位線(角平分線+垂直：三線合二BGHIIBC仍成立.分析，與上例類似,有角平分線，有垂直，延長構造等腰三角形，利用三線合一. 解答：證明：分別延長2G, AH交BC于M, N,在aABM 中 BG 平分/ABMBG±M, /.Zabg=Zhbg； ZBGA=ZBGM=90°岫.G是必的中點.同理CA=C% H是AN的中點，. IGH 是畫的中位線,HG/W, HG/ BC.A由知 r ABGMBG r 上ACH2NCH /

47、.MN= BM + CN - BC = AB + AC- BC = 9tG）無字證明如下，相信同學們都能看懂.r /.AB = BM = 9 r AC = CN = 14.14 - 18 = 5母題四十五造雙中：如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,E、F分別是DC、AB邊的中點FE的延長線分別與AD、BC的延長線交于H、G點,求證：/AHF = /BGF .F分析：與例1的變式類似，要借助其 他兩個相等的角轉化，考慮到 對邊相等，則構造ADBC的 一半即可，則需要構造中位線f 自然想到對角線AC的中點.解答:證明:連接工G 取且C中點.W，連接J困4P.E是 8的中點，"是且C的中

48、點，初/是小h元的中位線，EM/AD. EM=aD JF If是"的中點，F(xiàn)是上5的中點， F_W是/5U的中位線，J./F/BC,且電片 4c'AD=BCr瓦討=.10 /.1日=/1旌. ： EM*AH, ：.ZX/E：F=ZAHF ； FY* BG ：,ZX/FE=ZBGF&HF=£5GF.母題四十六1 .如圖,邊長為2的正右形EFGH在邊長為6的正方形ABCD所在平面上移動r始終保持EFIIAB ,送段CF的中點為MDH的中點為N r則線段MN的長為2.如圖在3BC中r若/B= 2zC f ADjlBJ E為BC邊中點r求證：AB = 2DE .答案

49、解析解：如圖，將正方形EFDGH的位置特殊化，使點H與點A重合，過點M作MOLED與0,則M0是梯形FEDC的中位線,1 , 、/.E0=0D=2, M0= - (EF+CO) =2.一點N、M分別是AD、FC的中點，3，AN = ND 二,23 1A0N=0D-ND=2-=. 99在RTaMON中，MN 2=M0 2+0N即MN二取特值（圖形或位置特殊化）的妙用！口訣：選填題，巧測量，排除代入特值上2.的圖解，EF為中位線，綜合 已知條件易得：DE=DFo OK圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。角平分線加垂線,三線合一試試看,角平分線、平行、等腰三個條件知二推一等腰三角必呈現(xiàn)。圖中有角平分線,

50、可將圖形對折看。角分線加平行線,若BM和CM 為4ABC的 角平分線。NBMC=()A若BD和CD 為4ABC的 內外角的角平分線。ZBDC=()A若AD和AE為ABC的高和 角平分線。則 NEAD=( )直角三角形斜高=兩條直角邊的乘積除以A斜邊。等邊三角形的 面積=四分之 根號三乘邊長 的平方。母題四十七已知N1 = N2, Z3=Z4,求證：AP平分 NBACA【提示】“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”母題四十八已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90° , AB=AC, BD平分NABC, CE±BD,垂足為點E,求證： BD=2CE母題四十九角平分線+垂直二構造三線合一；找全等：4CAF會4BDACE=EF=1/2CF=1/2DB作輔助性的本質就是：補全圖形！1 在三角形