【2021高考數(shù)學(xué)壓軸題】9、恰當(dāng)分類搞定含參討論問題(2)

1、2021高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第一篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題03由“導(dǎo)，尋"源二 妙解函數(shù)不等式一.方法綜述對于僅利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可求解的不等式問題，師生己有應(yīng)對的 良好方法，重在應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化成解答具體不等式或不等式組問題. 在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了一類抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式交匯的重要題型, 這類問題由于涉及抽象函數(shù)，很多學(xué)生解題時，突破不了由抽象而造成的解題障 礙，不能從容應(yīng)對不等式的求解問題.實際上，根據(jù)所給不等式，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的運(yùn) 算法則，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性是解決此類問題的通 法.常見的構(gòu)造函數(shù)方法有如下幾種:(1)利用和、差

2、函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)對于不等式 f(x)+g，(x)>0QKv0),構(gòu)造函數(shù) F(x) = f(x)+g(x)；對于不等式f(x) g，(x)>0(或0),構(gòu)造函數(shù)F(x) = f(x)g(x)； 特別地，對于不等式f(x)>k(或<k)(k#0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)(2)利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)對于不等式 F(x)g(x) + f(x)g，(x)>0(或0),構(gòu)造函數(shù) F(x)=f(x)g(x)；對于不等式 F(x)g(x)f(x)g，(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)*,、)=竽(武力工。).A? (x J(3)利用積、商函數(shù)求導(dǎo)法則的特

3、殊情況構(gòu)造函數(shù)對于不等式4。)+f(x)>0(或VO),構(gòu)造函數(shù)F(x)=a/W；對于不等式W(x) f(x)>0(或0),構(gòu)造函數(shù)/(月=久義(大工0)；對于不等式.(X)+械(刈>0(或V0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=x"/(X). 9對于不等式W(x) (x)>0(或0),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=二("0);對于不等式？(X)+ f(X)>0(或(0),構(gòu)造函數(shù)F(X)= exjx);對于不等式f(x)f(x)>0(或(0),構(gòu)造函數(shù)/(力=42：對于不等式 f(x)+f(x)tan x>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù) F(x) = sin

4、 xf (x)；對于不等式f(x)fxMaii x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)(工)=1儂11%a0)； sinx對于不等式f(x) f(x)tan x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)= cosM(r)；對于不等式f(x)+f(x)tan x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=2&cos%w0). cos X(理)對于不等式？3)+歹*)>0(或0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=*/(x)；(理)對于不等式F(x)的幻>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)尸("=坐2；二.解題策略類型一構(gòu)造具體函數(shù)求解【例1】【2020屆河北冀州中學(xué)期中】已知函數(shù)/

5、是定義在A上的可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)x,都有衛(wèi)=/,當(dāng)XV0時/*) +./8)>0,若e"(2a + l)對3 + 1),則實 /U)數(shù)。的取值范圍是()A. 0,B. -.0JJC. 0, +x) De (-00 , 011/14【答案】B【解析】X，- - = exf(X) = e-xf(-x)，令 g(x) = exf(x),則 g(-x) = g(x)，當(dāng) xv0 時 f(x) + r(x)>0 ,二 g(X)= exf(X) + r(x)>0,即函數(shù) g(x)在(to,0)上單調(diào)遞增,g(x)在(0,+OD)上單調(diào)遞減，g(2a + l)g(a + l

6、)，I2a + ll" + ll，解可得，-|w“wo，故選【指點迷津】對于與函數(shù)有關(guān)的不等式的求解問題：通常是代入函數(shù)的解析式，直接求解不等 式的解集，若不等式不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù) 的性質(zhì)單調(diào)性與奇偶性等，結(jié)合函數(shù)的圖象求解，這樣會使得問題變得直觀、 簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.對于復(fù)合函數(shù)問題，先換元,再構(gòu)造函數(shù)， 是常用的方法.【舉一反三】【2020年河南信陽一中期末】設(shè)/是偶函數(shù)x)(xhO)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng) xe(0.+8)時，才則不等式”(x+2019)-(x + 2019)"(-2)<0 的解集為()A. (十,202

7、1)B. (-2021 , -2019)<J(-2019 , -2017)C. (-2021,-2017)D. (-a , -2019)0(-2019 , -2017)【答案】B【解析】由題意 a/V)-2/(x)>0(x>0),得 丁 ,- 2xf(x) > 0 ,進(jìn)而得到 X /'( '=2 Vz > 0 , X令尸)=42,則尸叱入小丁。, 廠AF(x + 2019) =/(x+2019)3 + 2019)2由 4/(x + 2019)-(x + 2019)2/(-2) <0，得了(x + 2019) </(-2).+2019)2

8、4R|J F(x + 2019)<F(-2),所以當(dāng)xe(0.+8)時，F(xiàn)f(x)>0 ,所以F(x)在(0.飲)是增函數(shù).因為函數(shù)幻是偶函數(shù)，所以尸(幻=要也是偶函數(shù)，且尸在(yo,0)上是減函數(shù), X-所以IX + 2019lv2 ,解之得2021 <x<-2017,乂 x + 2019工0， 即 xh-2019 ,故xe(2021 , -2019)LJ(-2019 , -2017),故選3.類型二構(gòu)造抽象函數(shù)求解例2 2020屆江西新余渝水一中期末】定義在A上的函數(shù)/a)滿足 eV(x+2) = .f(-x),且對任意的都有尸3 + 2f(x)>0 (其中尸

9、(x)為/(力的導(dǎo)數(shù)),則 下列一定判斷正確的是()A.ef(2)>/(0)B.e2f (3) >f (2)C.e6 f(3)> /(-I)D.el0f (3) > f(-2)【答案】B【解析】設(shè) F(x) = /(x),貝 r(x) = 2e2f(x) + e2r(x) = e2x2f(x) + f(X),對任意的珍1都有f(x)+2/(x) > 0 ;則F(x)>0,則尸在1, +<»)上單調(diào)遞增;尸* + 2) =f(x + 2);F(-x) = e-2x.f(-x);因為 ”2f(x + 2) = /(r)，2x.e2x+2.f(x

10、+ 2) = f(-x)； ：.e2x+2.f(x + 2) = e-2x.f(-x)F(x + 2) = F(-a),所以 F(x)關(guān)于x = l對稱,則 F(-2) =尸(4),F(x)在1, +8)上單調(diào)遞增；：,F (3) <F (4)即尸(3) < F(-2), .e6./ (3) <e«/(-2);U|J ew.f (3) v/(-2)成立.故。不正確；F (3) =F(-1), F(0) = F(2)故A, C 均錯誤；F(3) >F (2) :.ef (3) > f (2). 4 正確.故選3.【指點迷津】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)

11、是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇 到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制 條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出 符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的 函數(shù),構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手:根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”； 若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).【舉一反三】【2020河南南陽一中期中】己知函數(shù)/(X)的定義域為H,其導(dǎo)函數(shù)為 f3對任意xeR,恒成立，且/ (1) =1,則不等式叭x)>e,的解集為()A.B. 1, +x) C. (-8,0) D. (-

12、co, 0【答案】A【解析】./。)>/(幻，C>。,e*(e y設(shè)如、)=綽，則 g，(x) = ")>o, e(exY.g（x）在/e上是增函數(shù).丁靖（*）/,lJg（x）g （ 1） =" ex ee：.x ,故選 A .類型三追根求源，抽象問題具體化【例3】【2020屆江西南昌二中期末】定義在/?上函數(shù)“X）滿足/（t） = /（x）,且對任意的不相等的實數(shù)和9包。，內(nèi)）有如上上口。成立，若關(guān)于x的不等式 內(nèi)一/（2儂-扇-3）之23）-/（-2m+山+3）在工41,3上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A.1 t ln61十2e 6B.1 ln3+ 2

13、e 6C.一,2 +eln3D.【答案】B【解析】結(jié)合題意可知/（X）為偶函數(shù)，且在0，）單調(diào)遞減，故/(2"a-lar-3)>2/(3)-/(一2"a+liu+3)可以轉(zhuǎn)換為2儂-丘-3）之/對應(yīng)于xel,3恒成立，即|2心-山-3區(qū)3即 0 < 22i-Inx < 6 對 x £ 1,3恒成立B|J 2/h>H2/h<x6 + lnx對x«l,可恒成立A /、 nx、 1 -Iilv令 g(x) = ，則 g (M =X所以在1,6）上遞增，在億3上遞減,令 (x) =6 + lnx=在1,3上遞減X所以口"小

14、牝產(chǎn)故機(jī)61 t ln3,1 + 2e 6，故選B.【指點迷津】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它們應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué) 之中.學(xué)習(xí)中應(yīng)注意牢記奇偶性、單調(diào)性的不同表達(dá)形式.對于所遇到的數(shù)學(xué)問題， 應(yīng)注意挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的奇偶性單調(diào)性解題，能起 到化難為易、化繁為簡、化抽象為具體的作用.【舉一反三】【安徽省淮南市2018屆二?！考褐瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 且在區(qū)間(8,0上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(2iog3a)>.f(VI),貝必的取值范圍是 ()A. (VX+8) B. (1,V3) C. (0,V3) D.(8,施)【答案】A【解析

15、】:函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(-知0上單調(diào)遞增，f (x)在R上都是增函數(shù)，則不等式f(2og3a)> -f(-V2),等價為f(2og3a)> f(V2),即210g3a >72=2,則log3a > |= log332,即 a>32 = y/3即實數(shù)a的取值范圍是(b,+8),故答案為：A三.強(qiáng)化訓(xùn)練1 .【遼寧省部分重點高中2019屆9月聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)為定義在.3,仁2上的偶 函數(shù)，且在30上單調(diào)遞減，貝IJ滿足f(x2 + 2x-3) < f(x2 +的x的取值范圍() A. (1,+8) B. (0,1 C. (1,V2

16、D. 0,V2|【答案】c【解析】因為函數(shù)f(x)為定義在.3,仁2上的偶函數(shù)，所以-3 +t2 = 0,t = 5, 因為函數(shù)f(x)為定義在-3,3上的偶函數(shù)，且在3,0上單調(diào)遞減， 所以f(x2 + 2x-3) < f(x2 + 2)等價于f(x2 + 2x-3) < f(-x2-l),即0 > -x2 + 2x-3 > -x2-l > -3,1 <x< V2,選 C.2 .【2020甘肅甘南一中期末】)定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)產(chǎn),的導(dǎo)函數(shù)八x),滿足 f(x)> fx),且F ( 1)=2,則不等式f(x)<2e*T 的解集為()A.

17、(L+OO)B. (-oo,2)C. (fl) D. (2,4oc)【答案】A【解析】令g(x) =華，則不等式式等價為綽一， ee e/(1) =2,(1)= M 即不等式等價為以 X)<g (l)，e e函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)短/加一/, evf(x)>/(%), g，a)<o,即g(x)在r上是減函數(shù),則不等式月(X)<g ( 1)的解為X> 1 ,二不等式的解集為0,m),故選A.3.【云南省曲靖市第一中學(xué)2019屆9月監(jiān)測卷二】己知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)， 當(dāng)x < 0時,f'(x) > 0且f(2) = 0,則不等式xf(x) <

18、; 0的解集為()A. (-2,0) U (0,2) B. (-2,0) U (2,+09)C. (-oo,-2) U (0,2) D.(8,2) U (2, +oo)【答案】A【解析】由題意，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x v 0時，f'(x) > 0,即函數(shù)f(x)在(-8,0) 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在(0, +8)也為單調(diào)遞增函數(shù)，義由f=f(-2) = 0.所以當(dāng)(-2,0),(2,+8)時，f(x)>0,當(dāng)(8,2),(0,2)時，f(x) < 0,又由不等式xf(x) <。，即朦)>2或施>°0 , 所以解集為(-2,0) U (

19、0,2),故選A.4.【2020福建寧德期末】己知奇函數(shù)/(幻在區(qū)間(0收)上滿足：/(x)+ /(x)>o,且 /(-1) = 0,則不等式4(x)v0的解集為()A. (-1, 0)kJ(0, 1)B. (-00， -i)kJ(o , 1)C. (-00, -1)51，+x)D. (-1 , 0)51，+8)【答案】A【解析】f(%)在區(qū)間(0,y)上滿足：xf,(x) + f(x)>0,可知函數(shù)引力在(0,內(nèi))上為增函 數(shù)，L/(-l) = 0,可得/ (1)=0, /(0) = 0,所以 V(x)V (1),可得xvl,故/*)在(-8,0)上為減函數(shù)，可得人>-1,

20、故不等式加幻0的解集為.WOvxvl,或-IvxvO,故選A.5.【河北省武邑中學(xué)2019屆第一次調(diào)研】己知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，滿足大2)=且f(x)在(0,+8)上的導(dǎo)函數(shù)f'(x) vx2,則不等式f(x)>亭的 OO解集為()A. (-2,2) B.(8,2) C. (-co, D.【答案】B【解析】設(shè)g(X)=觸)33 + 1,則山=f'(X)x2. of(x)在(0,+8)上的導(dǎo)函數(shù)f(X)< x2/.g (x) = f (x)-x2 < 0,.g(x)在(0, +8)上為減函數(shù),f(2)=|g(2) = f(2)+l = 0 o不

21、等式f(x) >萼的解集為(.8,2)故選B.6.12020屆四川阿壩一中期末】設(shè)函數(shù)/(X)= 2M +4 , g(x)=" +4X ,其中4 vl ,若存在唯一的整數(shù)兒使得/(%)<g5),貝/的取值范圍是()A. -, 1) B. , 1) C. - , -) D,上，-) 2e2e2e 42e 4【答案】D【解;析】由題意川知，存在唯一的整數(shù)X,使得 “構(gòu)造函數(shù) h(x) = (2x 一 W，則/=(2x + 1)ex.時1 -2 <X 當(dāng)/(X)< 0 ;當(dāng) x >時，hf(x) > 0.2所以，函數(shù)心) = (2x-W的單調(diào)遞減區(qū)間為(

22、YD,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,用). 22函數(shù)y = A(a)在一 x = -處取得極小仁L，22 后如下圖所示,由于(。)=-1，6(-1) = -2,所以，A(-l)<A(0),e結(jié)合圖象可知，坐，解得上<1，故選4.(- 1)次 x ( 1) “2e7.【江西省新余市第四中學(xué)2019屆10月月考】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且 對任意的實數(shù)x都有f'(x) = e-x(2x +)f(x) (e是自然對數(shù)的底數(shù))，且f(0) = 1, 若關(guān)于x的不等式f(x)m < 0的解集中恰有唯一一個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是( )A.6,。) B.6,0 C

23、.(.？0 D.(.篙勺【答案】B【解析】對任意的實數(shù)x都有f'(x)=鏟(2乂 +1)f(x),變形得至ijf'(x) +f(x)ex=2x + |構(gòu)造函數(shù) G(x) = f(x)ex,G(x) = 2x + |故G(x) = x2 + |x + c,根據(jù)f(0) = 1,得到G(0) = c = 1, G(x) = x2 + |x + 1, 進(jìn)而得到f(x)= 智上,，對函數(shù)求導(dǎo)得到f'(x)= 一眸+："用根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) 得到函數(shù)在(-8,|) , (-：, 1) / , (1, 4-00)7, A-|,yA, B(l,yB)由此可 得到函數(shù)的圖像，不

24、等式f(x)m < 0的解集中恰有唯一一個整數(shù)，則此整數(shù)只能為-1,故f(l) <m<解得m的范圍是:(-泗.8.12020河南高三月考】己知函數(shù)/")是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足x>0時，+則 *-2019)/(刈>。的解集為()XA. (T0)U(L2019)B. (-2019,-1)U(1.2019)C. (0.2019)D. (Tl)【答案】c【解析】設(shè) g(x)= InX / (x), g'(x) = L /(x) + Inx / (*) < 0 , X可知函數(shù)g(x)在X>O時單調(diào)遞減，又g=。，可知函數(shù)g(x) = lnx/(x)在(0,1)大于零，且ln<0,可知/(x)vO,同理在。,")上，/«<0,可知函數(shù)f0)在(0,1)和。,河)均有f(x) < 0,又y = f(x)(x R)為奇函數(shù),則在區(qū)間(-1,